哪种方法好
让未知数参与运算,列出代数式,能顺利地解决“猴子分桃”问题.我国数学家张广厚小时候曾解过一道有趣的“吃面包”问题:一个大人,一餐吃4个面包,四个小孩,一餐合吃一个面包,现有大人和小孩共100人,一餐刚好吃100个面包.问大人、小孩各有几人?
按照算术解法,解题步骤是:
(1)若100人全是大人,需要几个面包? $4×100=400$(个).
(2)实际上比这个数目少吃几个面包? $400-100=300$(个).
(3)把一个大人换成一个小孩,可省下几个面包? $4-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}$(个).
(4)为了少吃掉300个面包,需要把多少个大人换成小孩? $300÷\frac{15}{4}=80$(个).
所以,有20个大人,80个小孩.
这个解题步骤颇费思索,而代数解法就很直截了当:
设有$x$个大人,那么小孩有$(100-x)$个.
根据题意,一个大人一餐吃4个面包,一个小孩一餐吃$\frac{1}{4}$个面包,
所以大人和小孩一餐共吃$[4x+\frac{1}{4}(100-x)]$个面包,
他们一餐刚好吃掉100个面包,所以得到方程$4x+\frac{1}{4}(100-x)=100$.
解得$x=20$.
所以有20个大人,80个小孩.
对于下面的问题,同学们先试着自己用算术方法和代数方法来解,再看题后的答案.
七年级(2)班有50个同学,集体去看电影,乙种票标价每张10元,甲种票标价每张15元,买票共用去620元.问两种票各买了多少张?
用算术方法解:
如果50张票全是乙种票,那么总价应该是$10×50=500$(元).
可现在共用去620元,超出了$620-500=120$(元).
为什么会超出120元钱呢?这是因为实际买的票不完全是每张10元的,有一部分是每张15元的.
如果把一张10元的票换成15元的票,每张需多付$15-10=5$(元).
现在一共多付了120元,显然,每张15元的票的张数应为$120÷5=24$(张).
由此不难求出每张10元的票有$50-24=26$(张).
把上面的思路写成完整的算式是$(620-10×50)÷(15-10)=120÷5=24$(张).
所以票价是15元的有24张,票价是10元的有$50-24=26$(张).
用代数方法来解:
设每张10元的票买了$x$张,则每张15元的票买了$(50-x)$张.
根据总票价,可得方程$10x+15(50-x)=620$.
解得$x=26$.
所以票价是10元的有26张,票价是15元的有$50-x=50-26=24$(张).
显然,上面两种解法中,用代数解法要比用算术解法容易得多.一般说来,用代数方法解应用题,要比用算术方法优越.这是为什么呢?因为算术解法始终使未知数处于一种特殊的地位,在解题过程中,一般由已知数作先导,一步步地向前探索,直到解题基本结束时,才建立起要求的那个未知数与已知数之间的关系,这样做当然比较费力.而代数解法首先用字母代替未知数,从而使未知数与已知数在所有的数量关系中始终处于平等的地位,比较容易找到反映等量的关系,从而得到解答.所以,算术方法思路比较狭窄,代数方法则比较开阔平坦.
任务一:你能总结一下代数方法与算术方法的区别与各自的特点吗?
任务二:如图是一根可伸缩的鱼竿,鱼竿是用10节大小不同的空心套管连结而成的,闲置

区别：①算术方法：未知数不直接参与运算，解题从已知数逐步推导，最后建立未知数与已知数的关系；②代数方法：用字母代替未知数，未知数与已知数在数量关系中地位平等，通过等量关系列方程求解。特点：算术方法思路较狭窄，步骤繁琐，仅适合简单问题；代数方法思路开阔，步骤简洁，更易解决各类问题，尤其是复杂问题。

从解题思路、未知数的作用、适用场景等角度分析。算术方法解题时，未知数不直接参与运算，需从已知数出发逐步推导，最终建立未知数与已知数的关系，思路较狭窄，步骤繁琐；代数方法用字母表示未知数，使未知数与已知数在数量关系中处于平等地位，易找到等量关系，通过列方程求解，思路开阔，步骤简洁，更适合解决复杂问题。