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1.（教材练习变式）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AB的长为4.8 km，则M、C两点间的距离为 （
A.2.4 km
B.3.6 km
C.4.2 km
D.4.8 km
A
）A.2.4 km
B.3.6 km
C.4.2 km
D.4.8 km
答案
1. A 解析:
∵公路AC、BC互相垂直,
∴∠ACB=90°.
∵M为AB的中点,
∴CM=1/2 AB.
∵AB=4.8 km,
∴CM=2.4 km,即M、C两点间的距离为2.4 km.
∵公路AC、BC互相垂直,
∴∠ACB=90°.
∵M为AB的中点,
∴CM=1/2 AB.
∵AB=4.8 km,
∴CM=2.4 km,即M、C两点间的距离为2.4 km.
解析
【分析】
解题时先从题干已知条件入手：首先看到公路AC、BC互相垂直，可判断△ABC为直角三角形，∠ACB=90°；其次已知M是AB的中点，要求M、C两点的距离即求斜边AB上的中线CM的长度，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，只需代入AB的长度计算即可得到结果。
【解析】
∵公路AC、BC互相垂直，
∴∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形。
∵M为AB的中点，
∴CM是Rt△ABC斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质可得CM=$\frac{1}{2}$AB。
∵AB=4.8 km，
∴CM=$\frac{1}{2}$×4.8=2.4 km，即M、C两点间的距离为2.4 km。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形判定；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础应用类题目，主要考查直角三角形斜边中线性质的直接运用，只要准确识别直角三角形以及斜边中点的条件，熟练掌握对应性质即可快速求解，是对基础知识点掌握程度的常规考查。
【难度系数】
0.9
解题时先从题干已知条件入手：首先看到公路AC、BC互相垂直，可判断△ABC为直角三角形，∠ACB=90°；其次已知M是AB的中点，要求M、C两点的距离即求斜边AB上的中线CM的长度，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，只需代入AB的长度计算即可得到结果。
【解析】
∵公路AC、BC互相垂直，
∴∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形。
∵M为AB的中点，
∴CM是Rt△ABC斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质可得CM=$\frac{1}{2}$AB。
∵AB=4.8 km，
∴CM=$\frac{1}{2}$×4.8=2.4 km，即M、C两点间的距离为2.4 km。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形判定；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础应用类题目，主要考查直角三角形斜边中线性质的直接运用，只要准确识别直角三角形以及斜边中点的条件，熟练掌握对应性质即可快速求解，是对基础知识点掌握程度的常规考查。
【难度系数】
0.9
2. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$D$是边$BC$上一点,$P$是$AD$的中点.若$AC$的垂直平分线经过点$D$,$DC=8\ \mathrm{cm}$,则$BP$的长为 （
A.$2\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$4\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}$
C
）A.$2\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$4\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}$
答案
2. C 解析:
∵AC的垂直平分线经过点D,DC=8 cm,
∴DA=DC=8 cm.
∵∠ABC=90°,P是AD的中点,
∴BP=1/2 DA=4 cm.
∵AC的垂直平分线经过点D,DC=8 cm,
∴DA=DC=8 cm.
∵∠ABC=90°,P是AD的中点,
∴BP=1/2 DA=4 cm.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：首先看到AC的垂直平分线经过点D，联想到线段垂直平分线的性质，可推出DA与DC长度相等，得到AD的长度；再结合∠ABC=90°，P是AD中点的条件，回忆直角三角形斜边中线的性质，可知BP是Rt△ABD斜边AD的中线，等于AD长度的一半，代入数值即可求出BP的长。
【解析】
∵AC的垂直平分线经过点D，DC=8 cm，
∴根据线段垂直平分线的性质，得$DA=DC=8\ \mathrm{cm}$。
∵$∠ ABC=90°$，即$△ ABD$是直角三角形，P是AD的中点，
∴根据直角三角形斜边中线的性质，得$BP=\frac{1}{2}DA=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是几何基础应用题，解题核心是准确匹配已知条件对应的几何性质，两步推导即可得到结果，考查对基础几何性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：首先看到AC的垂直平分线经过点D，联想到线段垂直平分线的性质，可推出DA与DC长度相等，得到AD的长度；再结合∠ABC=90°，P是AD中点的条件，回忆直角三角形斜边中线的性质，可知BP是Rt△ABD斜边AD的中线，等于AD长度的一半，代入数值即可求出BP的长。
【解析】
∵AC的垂直平分线经过点D，DC=8 cm，
∴根据线段垂直平分线的性质，得$DA=DC=8\ \mathrm{cm}$。
∵$∠ ABC=90°$，即$△ ABD$是直角三角形，P是AD的中点，
∴根据直角三角形斜边中线的性质，得$BP=\frac{1}{2}DA=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是几何基础应用题，解题核心是准确匹配已知条件对应的几何性质，两步推导即可得到结果，考查对基础几何性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.8
3. 若直角三角形斜边上的高是 4 cm，面积是 10 cm²，则斜边的中线长是________cm.
答案
3. 2.5
解析
【分析】
要求直角三角形斜边的中线长，首先回忆直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因此只需先求出斜边的长度即可。已知直角三角形的面积和斜边上的高，可利用三角形面积公式（面积=1/2×底×高，此处底为斜边，高为斜边上的高）求出斜边的长度，再代入性质计算中线长。
【解析】
设该直角三角形的斜边长为$ x $ cm。
根据三角形面积公式可得：
$ \frac{1}{2} × x × 4 = 10 $
化简得：$ 2x = 10 $
解得：$ x = 5 $
根据直角三角形斜边中线的性质，斜边的中线长为斜边长度的一半，因此中线长为：
$ \frac{1}{2} × 5 = 2.5 $（cm）
【答案】
2.5
【知识点】
三角形面积计算，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题的核心是先通过面积公式求出斜边长度，再结合直角三角形斜边中线的性质计算结果，熟练掌握相关公式和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要求直角三角形斜边的中线长，首先回忆直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因此只需先求出斜边的长度即可。已知直角三角形的面积和斜边上的高，可利用三角形面积公式（面积=1/2×底×高，此处底为斜边，高为斜边上的高）求出斜边的长度，再代入性质计算中线长。
【解析】
设该直角三角形的斜边长为$ x $ cm。
根据三角形面积公式可得：
$ \frac{1}{2} × x × 4 = 10 $
化简得：$ 2x = 10 $
解得：$ x = 5 $
根据直角三角形斜边中线的性质，斜边的中线长为斜边长度的一半，因此中线长为：
$ \frac{1}{2} × 5 = 2.5 $（cm）
【答案】
2.5
【知识点】
三角形面积计算，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题的核心是先通过面积公式求出斜边长度，再结合直角三角形斜边中线的性质计算结果，熟练掌握相关公式和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=54°$,$D$是$AB$的中点,则$∠ BCD$的度数为________.
答案
4. 36° 解析:
∵∠ACB=90°,∠A=54°,
∴∠B=36°.
∵D为线段AB的中点,
∴CD=BD,
∴∠BCD=∠B=36°.
∵∠ACB=90°,∠A=54°,
∴∠B=36°.
∵D为线段AB的中点,
∴CD=BD,
∴∠BCD=∠B=36°.
解析
【分析】
解题时首先从已知的直角三角形和锐角∠A的度数入手，利用直角三角形两锐角互余先算出∠B的度数；再结合D是AB中点这一条件，联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可推出CD=BD，得到△BCD是等腰三角形，最后利用等边对等角即可求出∠BCD的度数。
【解析】
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=54°，
∴∠B=180°-∠ACB-∠A=180°-90°-54°=36°，
∵D是AB的中点，
∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=BD，
∴∠BCD=∠B=36°。
【答案】
36°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；直角三角形斜边中线性质；等腰三角形等边对等角
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，结合等腰三角形的性质完成角度转化即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知的直角三角形和锐角∠A的度数入手，利用直角三角形两锐角互余先算出∠B的度数；再结合D是AB中点这一条件，联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可推出CD=BD，得到△BCD是等腰三角形，最后利用等边对等角即可求出∠BCD的度数。
【解析】
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=54°，
∴∠B=180°-∠ACB-∠A=180°-90°-54°=36°，
∵D是AB的中点，
∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=BD，
∴∠BCD=∠B=36°。
【答案】
36°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；直角三角形斜边中线性质；等腰三角形等边对等角
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，结合等腰三角形的性质完成角度转化即可求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$于点$D$,$∠ ECD=3∠ BCD$,$E$是$AB$的中点,则$∠ ECD$的度数为________.
答案
5. 54° 解析:
∵∠ECD=3∠BCD,
∴∠BCE=4∠BCD.
∵E是AB的中点,∠ACB=90°,
∴CE=BE,
∴∠B=∠BCE=4∠BCD.
∵CD⊥AB,
∴∠BDC=90°,
∴∠B+∠BCD=90°,
∴4∠BCD+∠BCD=90°,
∴∠BCD=18°,
∴∠ECD=3×18°=54°.
∵∠ECD=3∠BCD,
∴∠BCE=4∠BCD.
∵E是AB的中点,∠ACB=90°,
∴CE=BE,
∴∠B=∠BCE=4∠BCD.
∵CD⊥AB,
∴∠BDC=90°,
∴∠B+∠BCD=90°,
∴4∠BCD+∠BCD=90°,
∴∠BCD=18°,
∴∠ECD=3×18°=54°.
解析
【分析】
解题时先梳理题干条件：△ABC是直角三角形，E是斜边AB的中点，首先回忆直角三角形斜边中线的性质，可得CE=BE，进而推出∠B=∠BCE；再结合已知∠ECD=3∠BCD，可推出∠BCE=4∠BCD，即∠B=4∠BCD；最后根据CD⊥AB可知△BCD是直角三角形，两锐角∠B与∠BCD互余，建立等量关系求出∠BCD的度数后，即可算出∠ECD的度数。
【解析】
∵∠ECD=3∠BCD，
∴∠BCE=∠ECD+∠BCD=4∠BCD，
∵E是AB的中点，∠ACB=90°，
∴CE是Rt△ABC斜边AB的中线，
∴CE=BE，
∴∠B=∠BCE=4∠BCD，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
在Rt△BCD中，∠B+∠BCD=90°，
∴4∠BCD+∠BCD=90°，
解得∠BCD=18°，
∴∠ECD=3×18°=54°。
【答案】
54°
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形等边对等角；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于直角三角形性质的基础常考题，解题核心是利用直角三角形斜边中线的性质得到等角，再结合角的和差关系、直角三角形两锐角互余的性质建立等式计算角度，理清各角的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理题干条件：△ABC是直角三角形，E是斜边AB的中点，首先回忆直角三角形斜边中线的性质，可得CE=BE，进而推出∠B=∠BCE；再结合已知∠ECD=3∠BCD，可推出∠BCE=4∠BCD，即∠B=4∠BCD；最后根据CD⊥AB可知△BCD是直角三角形，两锐角∠B与∠BCD互余，建立等量关系求出∠BCD的度数后，即可算出∠ECD的度数。
【解析】
∵∠ECD=3∠BCD，
∴∠BCE=∠ECD+∠BCD=4∠BCD，
∵E是AB的中点，∠ACB=90°，
∴CE是Rt△ABC斜边AB的中线，
∴CE=BE，
∴∠B=∠BCE=4∠BCD，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
在Rt△BCD中，∠B+∠BCD=90°，
∴4∠BCD+∠BCD=90°，
解得∠BCD=18°，
∴∠ECD=3×18°=54°。
【答案】
54°
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形等边对等角；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于直角三角形性质的基础常考题，解题核心是利用直角三角形斜边中线的性质得到等角，再结合角的和差关系、直角三角形两锐角互余的性质建立等式计算角度，理清各角的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6. 已知:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ BAC=30°$,求证:$BC=\frac{1}{2}AB$.
小娟采用“截长法”:如图1,在$AB$上截取$BD=BC$,连接$CD$……
小丽采用“补短法”:如图2,延长$BC$到点$D$,使得$BC=CD$,连接$AD$……
小辉采用“中线法”:如图3,取$AB$的中点$D$,连接$CD$……
请你任选一位同学的方法完成证明.
小娟采用“截长法”:如图1,在$AB$上截取$BD=BC$,连接$CD$……
小丽采用“补短法”:如图2,延长$BC$到点$D$,使得$BC=CD$,连接$AD$……
小辉采用“中线法”:如图3,取$AB$的中点$D$,连接$CD$……
请你任选一位同学的方法完成证明.
答案
6. 选小娟的方法.证明如下:如
,在AB上截取BD=BC,连接CD.∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴∠B=60°,
∴△BCD是等边三角形,
∴∠BCD=60°,BD=BC=DC,
∴∠ACD=30°=∠BAC,
∴DA=DC,
∴AD=BD=BC,
∴BC=1/2 AB.
选小丽的方法.证明如下:延长BC到点D使CD=BC,连接AD,则BC=1/2 BD. 又
∵∠ACB=90°,
∴AC垂直平分BD,
∴AB=AD. 又
∵∠BAC=30°,
∴∠B=90°−∠BAC=90°−30°=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴BD=AB,
∴BC=1/2 AB.
选小辉的方法.证明如下:取AB的中点D,连接CD,则BD=1/2 AB.
∵∠ACB=90°,
∴CD=1/2 AB,
∴CD=BD.
∵∠BAC=30°,
∴∠B=90°−∠BAC=90°−30°=60°,
∴△BCD是等边三角形,
∴BC=BD=1/2 AB.
解析
【分析】
本题要求证明直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半，可通过构造辅助线建立BC与AB的数量关系：
若选截长法：先利用三角形内角和求出∠B=60°，结合截取的BD=BC，可证△BCD为等边三角形，再推导∠ACD=∠BAC得到AD=DC，进而得到BC=BD=AD，即可推出结论；
若选补短法：延长BC至D使CD=BC，先由AC垂直平分BD得到AB=AD，结合∠B=60°证△ABD为等边三角形，得到AB=BD后即可推导结论；
若选中线法：利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到CD=BD，结合∠B=60°证△BCD为等边三角形，即可得到BC与AB的数量关系。三种方法任选其一即可完成证明。
【解析】
我们以小娟的方法为例解析：
1. 作辅助线：在AB上截取BD=BC，连接CD；
2. 求∠B的度数：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，由三角形内角和为180°可得∠B=180°-90°-30°=60°；
3. 证△BCD是等边三角形：已知BD=BC，且∠B=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可得△BCD是等边三角形，因此BD=BC=DC，∠BCD=60°；
4. 推导出AD=DC：∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-60°=30°，即∠ACD=∠BAC，根据“等角对等边”可得DA=DC；
5. 推出结论：由DA=DC=BC=BD，可知AB=AD+BD=2BC，即BC=$\frac{1}{2}$AB。
（也可选择小丽或小辉的方法，推导逻辑与上述类似，核心都是通过构造等边三角形建立BC与AB的等量关联。）
【答案】
选小娟的方法.证明如下:如,在AB上截取BD=BC,连接CD.
∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴∠B=60°,
∴△BCD是等边三角形,
∴∠BCD=60°,BD=BC=DC,
∴∠ACD=30°=∠BAC,
∴DA=DC,
∴AD=BD=BC,
∴BC=1/2 AB.
选小丽的方法.证明如下:延长BC到点D使CD=BC,连接AD,则BC=1/2 BD. 又
∵∠ACB=90°,
∴AC垂直平分BD,
∴AB=AD. 又
∵∠BAC=30°,
∴∠B=90°−∠BAC=90°−30°=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴BD=AB,
∴BC=1/2 AB.
选小辉的方法.证明如下:取AB的中点D,连接CD,则BD=1/2 AB.
∵∠ACB=90°,
∴CD=1/2 AB,
∴CD=BD.
∵∠BAC=30°,
∴∠B=90°−∠BAC=90°−30°=60°,
∴△BCD是等边三角形,
∴BC=BD=1/2 AB.
【知识点】
直角三角形性质；等边三角形判定；等腰三角形判定
【点评】
本题通过三种不同的辅助线构造方法推导直角三角形30°角的性质，能够帮助学生拓展几何解题思路，加深对特殊三角形相关性质的理解与运用。
【难度系数】
0.7
本题要求证明直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半，可通过构造辅助线建立BC与AB的数量关系：
若选截长法：先利用三角形内角和求出∠B=60°，结合截取的BD=BC，可证△BCD为等边三角形，再推导∠ACD=∠BAC得到AD=DC，进而得到BC=BD=AD，即可推出结论；
若选补短法：延长BC至D使CD=BC，先由AC垂直平分BD得到AB=AD，结合∠B=60°证△ABD为等边三角形，得到AB=BD后即可推导结论；
若选中线法：利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到CD=BD，结合∠B=60°证△BCD为等边三角形，即可得到BC与AB的数量关系。三种方法任选其一即可完成证明。
【解析】
我们以小娟的方法为例解析：
1. 作辅助线：在AB上截取BD=BC，连接CD；
2. 求∠B的度数：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，由三角形内角和为180°可得∠B=180°-90°-30°=60°；
3. 证△BCD是等边三角形：已知BD=BC，且∠B=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可得△BCD是等边三角形，因此BD=BC=DC，∠BCD=60°；
4. 推导出AD=DC：∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-60°=30°，即∠ACD=∠BAC，根据“等角对等边”可得DA=DC；
5. 推出结论：由DA=DC=BC=BD，可知AB=AD+BD=2BC，即BC=$\frac{1}{2}$AB。
（也可选择小丽或小辉的方法，推导逻辑与上述类似，核心都是通过构造等边三角形建立BC与AB的等量关联。）
【答案】
选小娟的方法.证明如下:如
,在AB上截取BD=BC,连接CD.∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴∠B=60°,
∴△BCD是等边三角形,
∴∠BCD=60°,BD=BC=DC,
∴∠ACD=30°=∠BAC,
∴DA=DC,
∴AD=BD=BC,
∴BC=1/2 AB.
选小丽的方法.证明如下:延长BC到点D使CD=BC,连接AD,则BC=1/2 BD. 又
∵∠ACB=90°,
∴AC垂直平分BD,
∴AB=AD. 又
∵∠BAC=30°,
∴∠B=90°−∠BAC=90°−30°=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴BD=AB,
∴BC=1/2 AB.
选小辉的方法.证明如下:取AB的中点D,连接CD,则BD=1/2 AB.
∵∠ACB=90°,
∴CD=1/2 AB,
∴CD=BD.
∵∠BAC=30°,
∴∠B=90°−∠BAC=90°−30°=60°,
∴△BCD是等边三角形,
∴BC=BD=1/2 AB.
【知识点】
直角三角形性质；等边三角形判定；等腰三角形判定
【点评】
本题通过三种不同的辅助线构造方法推导直角三角形30°角的性质，能够帮助学生拓展几何解题思路，加深对特殊三角形相关性质的理解与运用。
【难度系数】
0.7
