登录
25.某市筹集了大量的生活物资，用甲、乙两种型号的货车，分两批运往县城，具体运输情况如下表(每辆货车都满载)：
已知第一批、第二批每辆货车均满载，第一批累计运输物资42吨，第二批累计运输物资58吨.
(1)求甲、乙两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
(2)该市后续又筹集了100吨生活物资，计划同时使用甲、乙两种型号的货车一次性运完.已知甲型货车每辆运输成本400元/次，乙型货车每辆运输成本500元/次，请问共有几种运输方案？哪种运输方案的成本最低？最低成本为多少元？
已知第一批、第二批每辆货车均满载，第一批累计运输物资42吨，第二批累计运输物资58吨.
(1)求甲、乙两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
(2)该市后续又筹集了100吨生活物资，计划同时使用甲、乙两种型号的货车一次性运完.已知甲型货车每辆运输成本400元/次，乙型货车每辆运输成本500元/次，请问共有几种运输方案？哪种运输方案的成本最低？最低成本为多少元？
答案
解：
(1) 设甲型货车每辆满载能运$x$吨生活物资，乙型货车每辆满载能运$y$吨生活物资。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = 42 \\3x + 4y = 58\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x=6 \\y=10\end{cases}$
(2) 设使用甲型货车$m$辆，乙型货车$n$辆。
根据题意得：
$6m + 10n = 100$
化简得：
$3m + 5n = 50$
变形得：
$m=\frac{50-5n}{3}$
因为$m$、$n$均为正整数，可得符合条件的解为：
$\begin{cases}m=15 \\n=1\end{cases},\quad \begin{cases}m=10 \\n=4\end{cases},\quad \begin{cases}m=5 \\n=7\end{cases}$
因此共有3种运输方案。
设总运输成本为$W$元，则：
$W=400m + 500n$
将$m=\frac{50-5n}{3}$代入得：
$W=\frac{20000 - 500n}{3}$
因为$-500＜0$，所以$W$随$n$的增大而减小，当$n=7$时，$W$取得最小值：
$W_{\mathrm{最小}}=\frac{20000 - 500×7}{3}=5500$
答：(1) 甲型货车每辆满载能运6吨，乙型货车每辆满载能运10吨；(2) 共有3种运输方案，使用5辆甲型货车、7辆乙型货车时成本最低，最低成本为5500元。
(1) 设甲型货车每辆满载能运$x$吨生活物资，乙型货车每辆满载能运$y$吨生活物资。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = 42 \\3x + 4y = 58\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x=6 \\y=10\end{cases}$
(2) 设使用甲型货车$m$辆，乙型货车$n$辆。
根据题意得：
$6m + 10n = 100$
化简得：
$3m + 5n = 50$
变形得：
$m=\frac{50-5n}{3}$
因为$m$、$n$均为正整数，可得符合条件的解为：
$\begin{cases}m=15 \\n=1\end{cases},\quad \begin{cases}m=10 \\n=4\end{cases},\quad \begin{cases}m=5 \\n=7\end{cases}$
因此共有3种运输方案。
设总运输成本为$W$元，则：
$W=400m + 500n$
将$m=\frac{50-5n}{3}$代入得：
$W=\frac{20000 - 500n}{3}$
因为$-500＜0$，所以$W$随$n$的增大而减小，当$n=7$时，$W$取得最小值：
$W_{\mathrm{最小}}=\frac{20000 - 500×7}{3}=5500$
答：(1) 甲型货车每辆满载能运6吨，乙型货车每辆满载能运10吨；(2) 共有3种运输方案，使用5辆甲型货车、7辆乙型货车时成本最低，最低成本为5500元。
解析
【分析】
(1) 要求甲、乙两种型号货车的满载运量，可从题目中提取两个等量关系：第一批2辆甲型货车运量+3辆乙型货车运量=42吨，第二批3辆甲型货车运量+4辆乙型货车运量=58吨，设两个未知数列二元一次方程组即可求解。
(2) 第二问先根据总运输量100吨列出两种货车数量的关系式，由于车辆数必须为正整数，因此需要找出该不定方程的所有正整数解得到运输方案；再结合成本公式，通过分析成本表达式的增减性或直接计算各方案成本，即可找到最低成本的方案。
【解析】
(1) 设甲型货车每辆满载能运$x$吨生活物资，乙型货车每辆满载能运$y$吨生活物资。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = 42 \\3x + 4y = 58\end{cases}$
给第一个方程两边乘3得$6x+9y=126$，第二个方程两边乘2得$6x+8y=116$，两式相减得$y=10$，将$y=10$代入$2x+3y=42$，解得$x=6$。
(2) 设使用甲型货车$m$辆，乙型货车$n$辆（$m$、$n$均为正整数）。
根据总运输量为100吨得：
$6m + 10n = 100$
化简得：
$3m + 5n = 50$
变形得：
$m=\frac{50-5n}{3}$
由于$m$、$n$均为正整数，因此$50-5n$需为3的正整数倍，验证可得符合条件的解为：
$\begin{cases}m=15 \\n=1\end{cases},\quad \begin{cases}m=10 \\n=4\end{cases},\quad \begin{cases}m=5 \\n=7\end{cases}$
因此共有3种运输方案。
设总运输成本为$W$元，则：
$W=400m + 500n$
将$m=\frac{50-5n}{3}$代入得：
$W=\frac{20000 - 500n}{3}$
因为$-500＜0$，所以$W$随$n$的增大而减小，当$n$取最大值7时，$W$取得最小值：
$W_{\mathrm{最小}}=\frac{20000 - 500×7}{3}=5500$，此时$m=5$。
【答案】
(1) 甲型货车每辆满载能运6吨生活物资，乙型货车每辆满载能运10吨生活物资；
(2) 共有3种运输方案，使用5辆甲型货车、7辆乙型货车的运输方案成本最低，最低成本为5500元。
【知识点】
二元一次方程组应用，不定方程正整数解，最优方案选择
【点评】
本题以物资运输为实际背景，既考查了二元一次方程组的列解能力，也考查了结合实际意义分析不定方程解、求解最值的能力，解题时需注意变量的取值要符合实际要求，综合性较强，贴近生活应用。
【难度系数】
0.6
(1) 要求甲、乙两种型号货车的满载运量，可从题目中提取两个等量关系：第一批2辆甲型货车运量+3辆乙型货车运量=42吨，第二批3辆甲型货车运量+4辆乙型货车运量=58吨，设两个未知数列二元一次方程组即可求解。
(2) 第二问先根据总运输量100吨列出两种货车数量的关系式，由于车辆数必须为正整数，因此需要找出该不定方程的所有正整数解得到运输方案；再结合成本公式，通过分析成本表达式的增减性或直接计算各方案成本，即可找到最低成本的方案。
【解析】
(1) 设甲型货车每辆满载能运$x$吨生活物资，乙型货车每辆满载能运$y$吨生活物资。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = 42 \\3x + 4y = 58\end{cases}$
给第一个方程两边乘3得$6x+9y=126$，第二个方程两边乘2得$6x+8y=116$，两式相减得$y=10$，将$y=10$代入$2x+3y=42$，解得$x=6$。
(2) 设使用甲型货车$m$辆，乙型货车$n$辆（$m$、$n$均为正整数）。
根据总运输量为100吨得：
$6m + 10n = 100$
化简得：
$3m + 5n = 50$
变形得：
$m=\frac{50-5n}{3}$
由于$m$、$n$均为正整数，因此$50-5n$需为3的正整数倍，验证可得符合条件的解为：
$\begin{cases}m=15 \\n=1\end{cases},\quad \begin{cases}m=10 \\n=4\end{cases},\quad \begin{cases}m=5 \\n=7\end{cases}$
因此共有3种运输方案。
设总运输成本为$W$元，则：
$W=400m + 500n$
将$m=\frac{50-5n}{3}$代入得：
$W=\frac{20000 - 500n}{3}$
因为$-500＜0$，所以$W$随$n$的增大而减小，当$n$取最大值7时，$W$取得最小值：
$W_{\mathrm{最小}}=\frac{20000 - 500×7}{3}=5500$，此时$m=5$。
【答案】
(1) 甲型货车每辆满载能运6吨生活物资，乙型货车每辆满载能运10吨生活物资；
(2) 共有3种运输方案，使用5辆甲型货车、7辆乙型货车的运输方案成本最低，最低成本为5500元。
【知识点】
二元一次方程组应用，不定方程正整数解，最优方案选择
【点评】
本题以物资运输为实际背景，既考查了二元一次方程组的列解能力，也考查了结合实际意义分析不定方程解、求解最值的能力，解题时需注意变量的取值要符合实际要求，综合性较强，贴近生活应用。
【难度系数】
0.6
