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23. 在下列各式中，化简正确的是()
A.$\sqrt{\frac{5}{3}} = 3\sqrt{15}$
B.$\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{2}\sqrt{2}$
C.$\sqrt{a^4b} = a^2\sqrt{b}$
D.$\sqrt{x^3 - x^2} = x\sqrt{x - 1}$
A.$\sqrt{\frac{5}{3}} = 3\sqrt{15}$
B.$\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{2}\sqrt{2}$
C.$\sqrt{a^4b} = a^2\sqrt{b}$
D.$\sqrt{x^3 - x^2} = x\sqrt{x - 1}$
答案
C
解析
我们逐个分析选项：
1. 分析A选项：$\sqrt{\frac{5}{3}}=\sqrt{\frac{15}{9}}=\frac{\sqrt{15}}{3} ≠ 3\sqrt{15}$，化简错误。
2. 分析B选项：二次根式的运算结果是算术平方根，恒为非负数，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，不能添加$\pm$，化简错误。
3. 分析C选项：$\sqrt{a^4b}=\sqrt{(a^2)^2 · b}$，由于$a^2≥0$恒成立，因此开方后可得$a^2\sqrt{b}$，化简正确。
4. 分析D选项：$\sqrt{x^3 - x^2}=\sqrt{x^2(x-1)}$，当$x=0$时，左边$\sqrt{0-0}=0$有意义，但右边$x\sqrt{x-1}=0·\sqrt{-1}$无意义，化简错误。
综上，只有C的化简是正确的。
1. 分析A选项：$\sqrt{\frac{5}{3}}=\sqrt{\frac{15}{9}}=\frac{\sqrt{15}}{3} ≠ 3\sqrt{15}$，化简错误。
2. 分析B选项：二次根式的运算结果是算术平方根，恒为非负数，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，不能添加$\pm$，化简错误。
3. 分析C选项：$\sqrt{a^4b}=\sqrt{(a^2)^2 · b}$，由于$a^2≥0$恒成立，因此开方后可得$a^2\sqrt{b}$，化简正确。
4. 分析D选项：$\sqrt{x^3 - x^2}=\sqrt{x^2(x-1)}$，当$x=0$时，左边$\sqrt{0-0}=0$有意义，但右边$x\sqrt{x-1}=0·\sqrt{-1}$无意义，化简错误。
综上，只有C的化简是正确的。
24. 如果最简根式 $-\sqrt{a+5}$ 与 $\sqrt[2a - b]{9 - b}$ 能够进行合并，那么 $a - b =$ .
答案
$\boldsymbol{0}$
解析
解：
∵ 最简根式$-\sqrt{a+5}$与$\sqrt[2a - b]{9 - b}$能够合并，
∴ 它们是同类二次根式，可得方程组：
$\begin{cases}2a - b = 2 \\a + 5 = 9 - b\end{cases}$
整理第二个方程得：$a + b = 4$，
将两个方程相加，得$3a = 6$，解得$a=2$，
把$a=2$代入$a + b = 4$，得$b=2$，
∴ $a - b = 2 - 2 = 0$。
∵ 最简根式$-\sqrt{a+5}$与$\sqrt[2a - b]{9 - b}$能够合并，
∴ 它们是同类二次根式，可得方程组：
$\begin{cases}2a - b = 2 \\a + 5 = 9 - b\end{cases}$
整理第二个方程得：$a + b = 4$，
将两个方程相加，得$3a = 6$，解得$a=2$，
把$a=2$代入$a + b = 4$，得$b=2$，
∴ $a - b = 2 - 2 = 0$。
25.计算:$(2\sqrt{7} + 5\sqrt{2})(2\sqrt{7} - 5\sqrt{2}) = \_\_\_\_\_\_$
答案
解：
利用平方差公式计算：
原式$=(2\sqrt{7})^2 - (5\sqrt{2})^2$
$= 4×7 - 25×2$
$= 28 - 50$
$= -22$
利用平方差公式计算：
原式$=(2\sqrt{7})^2 - (5\sqrt{2})^2$
$= 4×7 - 25×2$
$= 28 - 50$
$= -22$
26. 计算：$(3 + 2\sqrt{5})^2 =$ ，$(3\sqrt{6} - 2\sqrt{3})^2 =$ 。
答案
$\boldsymbol{29+12\sqrt{5}}$，$\boldsymbol{66-36\sqrt{2}}$
解析
解：
计算$(3+2\sqrt{5})^2$：
由完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得
$\begin{aligned}(3+2\sqrt{5})^2&=3^2 + 2×3×2\sqrt{5} + (2\sqrt{5})^2\\&=9 + 12\sqrt{5} + 20\\&=29 + 12\sqrt{5}\end{aligned}$
计算$(3\sqrt{6}-2\sqrt{3})^2$：
由完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得
$\begin{aligned}(3\sqrt{6}-2\sqrt{3})^2&=(3\sqrt{6})^2 - 2×3\sqrt{6}×2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2\\&=54 - 12\sqrt{18} + 12\\&=66 - 36\sqrt{2}\end{aligned}$
最终
计算$(3+2\sqrt{5})^2$：
由完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得
$\begin{aligned}(3+2\sqrt{5})^2&=3^2 + 2×3×2\sqrt{5} + (2\sqrt{5})^2\\&=9 + 12\sqrt{5} + 20\\&=29 + 12\sqrt{5}\end{aligned}$
计算$(3\sqrt{6}-2\sqrt{3})^2$：
由完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得
$\begin{aligned}(3\sqrt{6}-2\sqrt{3})^2&=(3\sqrt{6})^2 - 2×3\sqrt{6}×2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2\\&=54 - 12\sqrt{18} + 12\\&=66 - 36\sqrt{2}\end{aligned}$
最终
27. 计算：$(1-2\sqrt{3})(1+2\sqrt{3})-(2\sqrt{3}-1)^{2}=$.
答案
$\boldsymbol{4\sqrt{3}-24}$
解析
解：
原式$=1^2 - (2\sqrt{3})^2 - [(2\sqrt{3})^2 - 2× 2\sqrt{3}× 1 + 1^2]$
$=1 - 12 - (12 - 4\sqrt{3} + 1)$
$=-11 - 13 + 4\sqrt{3}$
$=4\sqrt{3} - 24$
最终
原式$=1^2 - (2\sqrt{3})^2 - [(2\sqrt{3})^2 - 2× 2\sqrt{3}× 1 + 1^2]$
$=1 - 12 - (12 - 4\sqrt{3} + 1)$
$=-11 - 13 + 4\sqrt{3}$
$=4\sqrt{3} - 24$
最终
28. 计算：$\sqrt{8} + \sqrt{\frac{1}{3}} - 2\sqrt{\frac{1}{2}} =$ .
答案
解：先将各二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}-\sqrt{2}\\&=(2\sqrt{2}-\sqrt{2})+\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
最终结果：$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}-\sqrt{2}\\&=(2\sqrt{2}-\sqrt{2})+\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
最终结果：$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}$
29. 化简 $3\sqrt{8} - 5\sqrt{32}$ 的结果为 .
答案
解：
先将各二次根式化为最简二次根式：
$3\sqrt{8}=3×\sqrt{4×2}=3×2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
$5\sqrt{32}=5×\sqrt{16×2}=5×4\sqrt{2}=20\sqrt{2}$
原式$=6\sqrt{2}-20\sqrt{2}=-14\sqrt{2}$
最终结果为$\boldsymbol{-14\sqrt{2}}$。
先将各二次根式化为最简二次根式：
$3\sqrt{8}=3×\sqrt{4×2}=3×2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
$5\sqrt{32}=5×\sqrt{16×2}=5×4\sqrt{2}=20\sqrt{2}$
原式$=6\sqrt{2}-20\sqrt{2}=-14\sqrt{2}$
最终结果为$\boldsymbol{-14\sqrt{2}}$。
30. 计算下列各题.
(1) $\sqrt{3\dfrac{1}{2}} × (-\dfrac{1}{6}\sqrt{1\dfrac{4}{7}}) ÷ \dfrac{1}{4}\sqrt{5\dfrac{1}{2}}$；
(2) $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 (5 - 2\sqrt{6})$；
(3) $(\sqrt{48} + \sqrt{20}) + (\sqrt{12} - \sqrt{5})$；
(4) $(\sqrt{5} + 6)(3 - \sqrt{5})$；
(5) $\dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2}$；
(6) $\sqrt{72} - 4\sqrt{\dfrac{1}{2}} - \dfrac{1}{7}\sqrt{98} + \sqrt{1\dfrac{1}{8}}$。
(1) $\sqrt{3\dfrac{1}{2}} × (-\dfrac{1}{6}\sqrt{1\dfrac{4}{7}}) ÷ \dfrac{1}{4}\sqrt{5\dfrac{1}{2}}$；
(2) $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 (5 - 2\sqrt{6})$；
(3) $(\sqrt{48} + \sqrt{20}) + (\sqrt{12} - \sqrt{5})$；
(4) $(\sqrt{5} + 6)(3 - \sqrt{5})$；
(5) $\dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2}$；
(6) $\sqrt{72} - 4\sqrt{\dfrac{1}{2}} - \dfrac{1}{7}\sqrt{98} + \sqrt{1\dfrac{1}{8}}$。
答案
解：
(1) 原式$=\sqrt{\dfrac{7}{2}} × (-\dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{11}{7}}) ÷ \dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{11}{2}}$
$=(-\dfrac{1}{6} × 4) × \sqrt{\dfrac{7}{2} × \dfrac{11}{7} ÷ \dfrac{11}{2}}$
$=-\dfrac{2}{3} × \sqrt{1}$
$=-\dfrac{2}{3}$
(2) 原式$=[(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2] × (5-2\sqrt{6})$
$=(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})$
$=5^2 - (2\sqrt{6})^2$
$=25-24$
$=1$
(3) 原式$=4\sqrt{3} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{3} - \sqrt{5}$
$=(4\sqrt{3}+2\sqrt{3}) + (2\sqrt{5}-\sqrt{5})$
$=6\sqrt{3}+\sqrt{5}$
(4) 原式$=3\sqrt{5} - (\sqrt{5})^2 + 18 - 6\sqrt{5}$
$=3\sqrt{5}-5+18-6\sqrt{5}$
$=13-3\sqrt{5}$
(5) 原式$=\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2}$
$=(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}) + (\dfrac{\sqrt{3}}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2})$
$=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{6}$
(6) 原式$=6\sqrt{2} - 4×\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{1}{7}×7\sqrt{2} + \sqrt{\dfrac{9}{8}}$
$=6\sqrt{2}-2\sqrt{2}-\sqrt{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
$=3\sqrt{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
$=\dfrac{15\sqrt{2}}{4}$
(1) 原式$=\sqrt{\dfrac{7}{2}} × (-\dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{11}{7}}) ÷ \dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{11}{2}}$
$=(-\dfrac{1}{6} × 4) × \sqrt{\dfrac{7}{2} × \dfrac{11}{7} ÷ \dfrac{11}{2}}$
$=-\dfrac{2}{3} × \sqrt{1}$
$=-\dfrac{2}{3}$
(2) 原式$=[(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2] × (5-2\sqrt{6})$
$=(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})$
$=5^2 - (2\sqrt{6})^2$
$=25-24$
$=1$
(3) 原式$=4\sqrt{3} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{3} - \sqrt{5}$
$=(4\sqrt{3}+2\sqrt{3}) + (2\sqrt{5}-\sqrt{5})$
$=6\sqrt{3}+\sqrt{5}$
(4) 原式$=3\sqrt{5} - (\sqrt{5})^2 + 18 - 6\sqrt{5}$
$=3\sqrt{5}-5+18-6\sqrt{5}$
$=13-3\sqrt{5}$
(5) 原式$=\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2}$
$=(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}) + (\dfrac{\sqrt{3}}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2})$
$=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{6}$
(6) 原式$=6\sqrt{2} - 4×\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{1}{7}×7\sqrt{2} + \sqrt{\dfrac{9}{8}}$
$=6\sqrt{2}-2\sqrt{2}-\sqrt{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
$=3\sqrt{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
$=\dfrac{15\sqrt{2}}{4}$
