11 [2025 凉山] 先化简,再求值: $1-\dfrac{2x}{x+2}÷\dfrac{2x^2-4x}{x^2+4x+4}$, 求值时请在 $-2≤ x≤ 2$ 内取一个使原式有意义的 $x$ ($x$ 为整数) 的值代入.

11. 原式$=1-\dfrac{2x}{x+2}·\dfrac{(x+2)^2}{2x(x-2)}=1-\dfrac{x+2}{x-2}=\dfrac{x-2-x-2}{x-2}=-\dfrac{4}{x-2}.\because x≠0,x+2≠0,x-2≠0,\therefore x≠0,x≠±2.\because -2≤x≤2$ 且 $x$ 为整数, $\therefore x$ 可以取 $-1$ 或 $1$. 当 $x=1$ 时,原式$=-\dfrac{4}{1-2}=4$($x$ 取值不唯一)

【分析】
本题是分式化简求值题，解题思路为：① 遵循分式混合运算“先乘除后加减”的顺序，先将除法转化为乘法（除以分式等于乘其倒数）；② 对各分式的分子、分母因式分解，通过约分简化运算；③ 计算减法得到最简结果；④ 根据原式有意义的条件（分母、除式分子均不为0），结合给定的x范围（-2≤x≤2且x为整数）筛选合适的x值；⑤ 将x代入最简式计算结果。
【解析】
解：原式$=1-\dfrac{2x}{x+2}÷\dfrac{2x^2-4x}{x^2+4x+4}$
将除法转化为乘法，因式分解分子分母：
$=1-\dfrac{2x}{x+2}·\dfrac{(x+2)^2}{2x(x-2)}$
约分后计算减法：
$=1-\dfrac{x+2}{x-2}=\dfrac{(x-2)-(x+2)}{x-2}=\dfrac{-4}{x-2}$
确定x的取值：要使原式有意义，需$x≠0$，$x≠±2$；结合$-2≤x≤2$且x为整数，得x可取-1或1。
取$x=1$代入：原式$=-\dfrac{4}{1-2}=4$（x取值不唯一）
【答案】
4（x取值不唯一，如x=-1时结果为$\dfrac{4}{3}$）
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，分式化简求值
【点评】
本题考查分式的基本运算，核心是分式的乘除、加减法则及因式分解的应用，易错点在于约分时分式符号的处理和x取值时忽略原式有意义的条件，是分式章节的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

12 [2025 广东]解分式方程$\dfrac{1-x}{x-2}=\dfrac{1}{2-x}-2$时,小李的解答过程如下:
第一步:$\dfrac{1-x}{x-2}·(x-2)=-\dfrac{1}{x-2}·(x-2)-2.$
第二步:$1-x=-1-2.$
第三步:$-x=-1-2-1.$
第四步:$x=4.$
第五步:检验:当$x=4$时,$x-2≠0.$
第六步:$\therefore$ 原分式方程的解为$x=4.$
小李的解答过程中哪一步是去分母? 去分母的依据是什么? 判断小李的解答过程是否正确.若不正确,请写出正确的解答过程.

12. 小李的解答过程中,第一步是去分母 去分母的依据是等式的性质2 小李的解答过程不正确 去分母,得$1-x=-1-2(x-2)$. 整理,得$1-x=-1-2x+4$. 移项并合并同类项,得$x=2$. 检验:当$x=2$时,$x-2=0.\therefore$ 原分式方程无解

【分析】首先需明确小李解答中去分母的步骤，确定去分母的依据，再判断其解答的正误，最后按分式方程的规范解法（去分母、去括号、移项合并、检验）完成正确解答，关键注意去分母时不能漏乘常数项，解分式方程必须检验增根。
【解析】1. 小李的第一步是去分母，去分母的依据是等式的性质2（等式两边同时乘同一个不为0的整式，等式仍然成立）。2. 小李解答错误，原因是去分母时，常数项-2未乘以最简公分母(x-2)，导致计算错误。3. 正确解答：原方程两边同乘最简公分母(x-2)，得$1 - x = -1 - 2(x - 2)$；去括号整理得$1 - x = -1 - 2x + 4$；移项合并同类项得$x = 2$；检验：当$x=2$时，$x - 2 = 0$，分式方程分母不能为0，因此$x=2$是增根，原分式方程无解。
【答案】小李的解答过程中，第一步是去分母；去分母的依据是等式的性质2；小李的解答过程不正确；正确解答：去分母，得$1-x=-1-2(x-2)$，整理得$1-x=-1-2x+4$，移项并合并同类项，得$x=2$；检验：当$x=2$时，$x-2=0$，
∴原分式方程无解。
【知识点】分式方程的解法；等式的性质
【点评】本题考查分式方程的基础解法，核心易错点为去分母时漏乘常数项，且解分式方程必须检验增根，是需注意细节的易错题。
【难度系数】0.5

13 [2025 崇川期末]某社区去年购买了 A,B 两种共享单车,购买 A 种单车共花费 15 000 元,购买B 种单车共花费 14 000 元,且购买的 A 种单车的数量是 B 种单车数量的 1.5 倍. 已知购买一辆A 种单车比购买一辆 B 种单车少花 200 元.
(1) 求去年购买一辆 A 种单车和一辆 B 种单车各需要多少元.
(2) 为积极响应政府提出的“绿色发展·低碳出行”号召,该社区决定今年再购买 A,B 两种单车共 60 辆,恰逢厂家对 A,B 两种单车的售价进行调整,A 种单车售价比去年提高了 10%,B 种单车售价比去年降低了 10%. 如果今年购买 A,B 两种单车的总费用不超过 34 000 元,那么该社区今年最多购买多少辆 B 种单车?

13. (1) 设购买一辆 B 种单车需要 $x$ 元,则购买一辆 A 种单车需要$(x-200)$元. 由题意,得$\dfrac{15000}{x-200}=1.5×\dfrac{14000}{x}$,解得 $x=700$. 经检验,$x=700$ 是原方程的解,且符合题意. $\therefore x-200=700-200=500$,即去年购买一辆 A 种单车和一辆 B 种单车各需要 500 元,700 元 (2) 设购买 B 种单车 $m$ 辆,则购买 A 种单车$(60-m)$辆. 由题意,得 $700×(1-10\%)m+500×(1+10\%)(60-m)≤34000$,解得 $m≤12.5.\because m$ 是正整数,$\therefore m$ 的最大值是 12,即该社区今年最多购买 12 辆 B 种单车

【分析】
第(1)问，根据“A种单价比B种单车单价少200元”设未知数，再利用“A种单车数量是B种的1.5倍”，结合“数量=总价÷单价”列分式方程，解后需检验；第(2)问，先算出今年A、B单车的调整后单价，再设今年购买B种单车数量为m，根据“总费用不超过34000元”列一元一次不等式，结合m为正整数确定最大值。
【解析】
(1) 设购买一辆B种单车需要$x$元，则购买一辆A种单车需要$(x - 200)$元。
由题意，A种单车数量为$\frac{15000}{x - 200}$，B种单车数量为$\frac{14000}{x}$，且A数量是B的1.5倍，因此列方程：
$\frac{15000}{x - 200} = 1.5×\frac{14000}{x}$
解方程：
$\frac{15000}{x - 200} = \frac{21000}{x}$
交叉相乘得：$15000x = 21000(x - 200)$
化简得：$15000x = 21000x - 4200000$
移项合并得：$6000x = 4200000$，解得$x = 700$
经检验，$x = 700$是原方程的解，且符合题意。
则A种单车单价：$700 - 200 = 500$（元）
答：去年购买一辆A种单车需要500元，一辆B种单车需要700元。
(2) 设今年购买B种单车$m$辆，则购买A种单车$(60 - m)$辆。
今年A种单车售价：$500×(1 + 10\%) = 550$（元）
今年B种单车售价：$700×(1 - 10\%) = 630$（元）
根据总费用不超过34000元，列不等式：
$630m + 550(60 - m) ≤ 34000$
展开得：$630m + 33000 - 550m ≤ 34000$
合并同类项得：$80m ≤ 1000$
解得：$m ≤ 12.5$
因为$m$是正整数，所以$m$的最大值为12。
答：该社区今年最多购买12辆B种单车。
【答案】
(1) 去年购买一辆A种单车需要500元，一辆B种单车需要700元；(2) 该社区今年最多购买12辆B种单车。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题是分式方程与一元一次不等式的实际应用，需注意分式方程解后要检验，不等式的解需结合实际意义取正整数，是常见的基础应用题。
【难度系数】
0.6