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11（易错题）有下列计算：① $(4x^{3})^{2}=8x^{6}$；② $(-\dfrac{2}{3}x)^{3}=-\dfrac{8}{3}x^{3}$；③ $(3x^{2}y^{3})^{4}=81x^{6}y^{7}$；④ $(-5a^{5}b^{5})^{2}=-25a^{10}b^{10}$. 其中，错误的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
D
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
11. D
解析
【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方的运算法则，解题思路是：先回忆积的乘方（$(ab)^n=a^n b^n$）和幂的乘方（$(a^m)^n=a^{mn}$）的运算法则，再逐个计算题目中的四个式子，对比原式找出错误，统计错误的总个数，最后选出对应选项。
【解析】根据积的乘方和幂的乘方的运算法则，逐个计算：
① 计算$(4x^{3})^{2}$：根据积的乘方，系数$4$的平方为$4^2=16$，$x$的指数为$3×2=6$，结果应为$16x^6$，原式为$8x^6$，错误；
② 计算$(-\dfrac{2}{3}x)^{3}$：根据积的乘方，系数$(-\dfrac{2}{3})$的立方为$(-\dfrac{2}{3})^3=-\dfrac{8}{27}$，$x$的指数为$1×3=3$，结果应为$-\dfrac{8}{27}x^3$，原式为$-\dfrac{8}{3}x^3$，错误；
③ 计算$(3x^{2}y^{3})^{4}$：根据积的乘方，系数$3$的四次方为$3^4=81$，$x$的指数为$2×4=8$，$y$的指数为$3×4=12$，结果应为$81x^8y^{12}$，原式为$81x^6y^7$，错误；
④ 计算$(-5a^{5}b^{5})^{2}$：根据积的乘方，系数$(-5)$的平方为$(-5)^2=25$，$a$的指数为$5×2=10$，$b$的指数为$5×2=10$，结果应为$25a^{10}b^{10}$，原式为$-25a^{10}b^{10}$，错误；
综上，四个式子全部错误，错误的个数是4，故选D。
【答案】D
【知识点】积的乘方、幂的乘方
【点评】本题为易错题，主要考查积的乘方与幂的乘方的运算法则，计算时需注意系数的乘方计算、符号的处理以及指数的乘法运算，学生易在这些细节上出错，需仔细核对每一步计算。
【难度系数】0.3
【解析】根据积的乘方和幂的乘方的运算法则，逐个计算：
① 计算$(4x^{3})^{2}$：根据积的乘方，系数$4$的平方为$4^2=16$，$x$的指数为$3×2=6$，结果应为$16x^6$，原式为$8x^6$，错误；
② 计算$(-\dfrac{2}{3}x)^{3}$：根据积的乘方，系数$(-\dfrac{2}{3})$的立方为$(-\dfrac{2}{3})^3=-\dfrac{8}{27}$，$x$的指数为$1×3=3$，结果应为$-\dfrac{8}{27}x^3$，原式为$-\dfrac{8}{3}x^3$，错误；
③ 计算$(3x^{2}y^{3})^{4}$：根据积的乘方，系数$3$的四次方为$3^4=81$，$x$的指数为$2×4=8$，$y$的指数为$3×4=12$，结果应为$81x^8y^{12}$，原式为$81x^6y^7$，错误；
④ 计算$(-5a^{5}b^{5})^{2}$：根据积的乘方，系数$(-5)$的平方为$(-5)^2=25$，$a$的指数为$5×2=10$，$b$的指数为$5×2=10$，结果应为$25a^{10}b^{10}$，原式为$-25a^{10}b^{10}$，错误；
综上，四个式子全部错误，错误的个数是4，故选D。
【答案】D
【知识点】积的乘方、幂的乘方
【点评】本题为易错题，主要考查积的乘方与幂的乘方的运算法则，计算时需注意系数的乘方计算、符号的处理以及指数的乘法运算，学生易在这些细节上出错，需仔细核对每一步计算。
【难度系数】0.3
12 [2026 海安期中]已知$a^{3}=3,b^{5}=4$,则$a$和$b$的大小关系为（
A.$a＞b$
B.$a＜b$
C.$a=b$
D.无法判断
A
）A.$a＞b$
B.$a＜b$
C.$a=b$
D.无法判断
答案
12. A
解析
【分析】要比较a和b的大小，已知a、b分别对应不同次幂的结果，可通过将它们的指数化为相同的数（3和5的最小公倍数15），利用正数的幂次性质进行比较：正数的同次幂，幂越大则底数越大，据此推导a和b的大小关系。
【解析】由$a^3=3$，可得$a=3^{\frac{1}{3}}$，则$a^{15}=(3^{\frac{1}{3}})^{15}=3^5=243$；由$b^5=4$，可得$b=4^{\frac{1}{5}}$，则$b^{15}=(4^{\frac{1}{5}})^{15}=4^3=64$。因为a、b均为正数，且$243＞64$，即$a^{15}＞b^{15}$，所以$a＞b$，故选A。
【答案】A
【知识点】幂的大小比较、指数运算
【点评】本题采用统一指数的方法比较不同次幂的底数大小，是此类问题的常用解题技巧，核心是找到指数的最小公倍数转化为同次幂后比较，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】由$a^3=3$，可得$a=3^{\frac{1}{3}}$，则$a^{15}=(3^{\frac{1}{3}})^{15}=3^5=243$；由$b^5=4$，可得$b=4^{\frac{1}{5}}$，则$b^{15}=(4^{\frac{1}{5}})^{15}=4^3=64$。因为a、b均为正数，且$243＞64$，即$a^{15}＞b^{15}$，所以$a＞b$，故选A。
【答案】A
【知识点】幂的大小比较、指数运算
【点评】本题采用统一指数的方法比较不同次幂的底数大小，是此类问题的常用解题技巧，核心是找到指数的最小公倍数转化为同次幂后比较，难度适中。
【难度系数】0.6
13 计算：
(1) $9×3^{4}=$
(2) $(-m^{2})^{5}=$
(3) $(4×10^{5})^{3}=$
(1) $9×3^{4}=$
$3^{6}$
；(2) $(-m^{2})^{5}=$
$-m^{10}$
；(3) $(4×10^{5})^{3}=$
$6.4×10^{16}$
.答案
13. (1) $3^{6}$ (2) $-m^{10}$ (3) $6.4×10^{16}$
解析
【分析】
本题考查幂的运算，需根据不同的幂运算法则分别计算：
1. 第(1)题：先将9转化为同底数幂形式，再用同底数幂乘法法则计算；
2. 第(2)题：根据积的乘方和幂的乘方法则，注意负数的奇次幂为负；
3. 第(3)题：利用积的乘方和幂的乘方法则，最后将结果转化为科学记数法形式。
【解析】
(1) 先将$9$改写为$3^2$，再根据同底数幂乘法法则$a^m · a^n = a^{m+n}$计算：
$9×3^4 = 3^2×3^4 = 3^{2+4} = 3^6$；
(2) 根据积的乘方$(ab)^n=a^n b^n$和幂的乘方$(a^m)^n=a^{mn}$，注意符号：
$(-m^2)^5 = (-1)^5 · (m^2)^5 = -1 · m^{2×5} = -m^{10}$；
(3) 根据积的乘方和幂的乘方法则，再转化为科学记数法：
$(4×10^5)^3 = 4^3×(10^5)^3 = 64×10^{15} = 6.4×10^{16}$。
【答案】
(1) $3^{6}$；(2) $-m^{10}$；(3) $6.4×10^{16}$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查幂的三个基本运算法则的应用，需牢记法则细节（如符号、指数运算），科学记数法的规范转换也是易错点，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的运算，需根据不同的幂运算法则分别计算：
1. 第(1)题：先将9转化为同底数幂形式，再用同底数幂乘法法则计算；
2. 第(2)题：根据积的乘方和幂的乘方法则，注意负数的奇次幂为负；
3. 第(3)题：利用积的乘方和幂的乘方法则，最后将结果转化为科学记数法形式。
【解析】
(1) 先将$9$改写为$3^2$，再根据同底数幂乘法法则$a^m · a^n = a^{m+n}$计算：
$9×3^4 = 3^2×3^4 = 3^{2+4} = 3^6$；
(2) 根据积的乘方$(ab)^n=a^n b^n$和幂的乘方$(a^m)^n=a^{mn}$，注意符号：
$(-m^2)^5 = (-1)^5 · (m^2)^5 = -1 · m^{2×5} = -m^{10}$；
(3) 根据积的乘方和幂的乘方法则，再转化为科学记数法：
$(4×10^5)^3 = 4^3×(10^5)^3 = 64×10^{15} = 6.4×10^{16}$。
【答案】
(1) $3^{6}$；(2) $-m^{10}$；(3) $6.4×10^{16}$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查幂的三个基本运算法则的应用，需牢记法则细节（如符号、指数运算），科学记数法的规范转换也是易错点，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
14 若$(2a^{m}b^{n})^{3}=8a^{9}b^{15}$,则$m=$
3
,$n=$5
.答案
14. 3 5
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用幂的乘方与积的乘方运算法则，先化简等式左边，再根据等式两边同类项的指数相等，列出方程求解m、n的值。
【解析】
对等式左边进行化简：
根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n b^n$，可得$(2a^{m}b^{n})^{3}=2^3 · (a^m)^3 · (b^n)^3$；
再根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，进一步计算得：$8a^{3m}b^{3n}$。
因为等式$8a^{3m}b^{3n}=8a^{9}b^{15}$两边同类项的指数相等，所以：
对应a的指数：$3m=9$，解得$m=3$；
对应b的指数：$3n=15$，解得$n=5$。
【答案】
3；5
【知识点】
积的乘方、幂的乘方
【点评】
本题考查幂的乘方与积的乘方的运算性质，属于基础题型，熟练掌握运算法则即可快速求解，是巩固幂运算的典型题目。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需利用幂的乘方与积的乘方运算法则，先化简等式左边，再根据等式两边同类项的指数相等，列出方程求解m、n的值。
【解析】
对等式左边进行化简：
根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n b^n$，可得$(2a^{m}b^{n})^{3}=2^3 · (a^m)^3 · (b^n)^3$；
再根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，进一步计算得：$8a^{3m}b^{3n}$。
因为等式$8a^{3m}b^{3n}=8a^{9}b^{15}$两边同类项的指数相等，所以：
对应a的指数：$3m=9$，解得$m=3$；
对应b的指数：$3n=15$，解得$n=5$。
【答案】
3；5
【知识点】
积的乘方、幂的乘方
【点评】
本题考查幂的乘方与积的乘方的运算性质，属于基础题型，熟练掌握运算法则即可快速求解，是巩固幂运算的典型题目。
【难度系数】
0.8
15 教材 P101 习题 16.1 第 6 题变式 计算：
(1) $[(-a^{2})^{3}· (-a^{3})^{2}]^{2}$；
(2) $(-2x^{3})^{4}-x^{10}· x^{2}+(x^{2})^{6}$。
(1) $[(-a^{2})^{3}· (-a^{3})^{2}]^{2}$；
(2) $(-2x^{3})^{4}-x^{10}· x^{2}+(x^{2})^{6}$。
答案
15. (1) $a^{24}$ (2) $16x^{12}$
解析
【分析】
本题考查幂的运算及合并同类项，解题思路如下：
(1) 对于$[(-a^{2})^{3}· (-a^{3})^{2}]^{2}$，需按幂的运算顺序，先计算括号内的幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后计算括号外的幂的乘方，过程中注意符号规则（负数的偶次幂为正，奇次幂为负）；
(2) 对于$(-2x^{3})^{4}-x^{10}· x^{2}+(x^{2})^{6}$，分别计算每一项：第一项用积的乘方法则，第二项用同底数幂的乘法法则，第三项用幂的乘方法则，最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 先计算括号内的幂的乘方：
$(-a^2)^3 = -a^{2×3} = -a^6$，$(-a^3)^2 = a^{3×2} = a^6$；
再计算括号内的同底数幂乘法：
$(-a^6)·a^6 = -a^{6+6} = -a^{12}$；
最后计算括号外的幂的乘方：
$(-a^{12})^2 = a^{12×2} = a^{24}$。
(2) 分别计算各项：
第一项：$(-2x^3)^4 = (-2)^4·(x^3)^4 = 16x^{12}$；
第二项：$x^{10}·x^2 = x^{10+2} = x^{12}$；
第三项：$(x^2)^6 = x^{2×6} = x^{12}$；
合并同类项：
$16x^{12} - x^{12} + x^{12} = (16 - 1 + 1)x^{12} = 16x^{12}$。
【答案】
(1) $a^{24}$；(2) $16x^{12}$
【知识点】
幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题为幂运算的基础变式题，核心考查幂的相关运算法则，解题时需严格遵循运算顺序，注意符号处理，是整式运算的重要基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
本题考查幂的运算及合并同类项，解题思路如下：
(1) 对于$[(-a^{2})^{3}· (-a^{3})^{2}]^{2}$，需按幂的运算顺序，先计算括号内的幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后计算括号外的幂的乘方，过程中注意符号规则（负数的偶次幂为正，奇次幂为负）；
(2) 对于$(-2x^{3})^{4}-x^{10}· x^{2}+(x^{2})^{6}$，分别计算每一项：第一项用积的乘方法则，第二项用同底数幂的乘法法则，第三项用幂的乘方法则，最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 先计算括号内的幂的乘方：
$(-a^2)^3 = -a^{2×3} = -a^6$，$(-a^3)^2 = a^{3×2} = a^6$；
再计算括号内的同底数幂乘法：
$(-a^6)·a^6 = -a^{6+6} = -a^{12}$；
最后计算括号外的幂的乘方：
$(-a^{12})^2 = a^{12×2} = a^{24}$。
(2) 分别计算各项：
第一项：$(-2x^3)^4 = (-2)^4·(x^3)^4 = 16x^{12}$；
第二项：$x^{10}·x^2 = x^{10+2} = x^{12}$；
第三项：$(x^2)^6 = x^{2×6} = x^{12}$；
合并同类项：
$16x^{12} - x^{12} + x^{12} = (16 - 1 + 1)x^{12} = 16x^{12}$。
【答案】
(1) $a^{24}$；(2) $16x^{12}$
【知识点】
幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题为幂运算的基础变式题，核心考查幂的相关运算法则，解题时需严格遵循运算顺序，注意符号处理，是整式运算的重要基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
16 阅读材料：
计算:$(-0.125)^{4}×8^{5}.$
解:原式$=(-\dfrac{1}{8})^{4}×8^{5}=(\dfrac{1}{8})^{4}×8^{4}×8=(\dfrac{1}{8}×8)^{4}×8=8.$
请根据上面的解题思路,计算下面各题:
(1) $(-5)^{2027}×(-\dfrac{1}{5})^{2026};$
(2) $(-0.125)^{2}×(-1\dfrac{2}{3})^{7}×(-8)^{13}×(-\dfrac{3}{5})^{8}.$
计算:$(-0.125)^{4}×8^{5}.$
解:原式$=(-\dfrac{1}{8})^{4}×8^{5}=(\dfrac{1}{8})^{4}×8^{4}×8=(\dfrac{1}{8}×8)^{4}×8=8.$
请根据上面的解题思路,计算下面各题:
(1) $(-5)^{2027}×(-\dfrac{1}{5})^{2026};$
(2) $(-0.125)^{2}×(-1\dfrac{2}{3})^{7}×(-8)^{13}×(-\dfrac{3}{5})^{8}.$
答案
16. (1) 原式$=[-5×(-\dfrac{1}{5})]^{2026}×(-5)=-5$
(2) 原式$=(-\dfrac{1}{8})^{2}×(-\dfrac{5}{3})^{7}×(-8)^{13}×(-\dfrac{3}{5})^{8}=[-\dfrac{1}{8}×(-8)]^{2}×(-8)^{11}×[-\dfrac{5}{3}×(-\dfrac{3}{5})]^{7}×(-\dfrac{3}{5})=-8^{11}×(-\dfrac{3}{5})=\dfrac{3×8^{11}}{5}$
(2) 原式$=(-\dfrac{1}{8})^{2}×(-\dfrac{5}{3})^{7}×(-8)^{13}×(-\dfrac{3}{5})^{8}=[-\dfrac{1}{8}×(-8)]^{2}×(-8)^{11}×[-\dfrac{5}{3}×(-\dfrac{3}{5})]^{7}×(-\dfrac{3}{5})=-8^{11}×(-\dfrac{3}{5})=\dfrac{3×8^{11}}{5}$
解析
【分析】本题需利用积的乘方的逆运算（即$a^n · b^n=(ab)^n$）简化高次幂的计算，解题时先观察式子中各幂的指数特征，将指数相同的项结合，指数不同的项拆分出相同指数的部分，再进行计算，避免直接计算复杂的高次幂。
【解析】
(1) 原式$=(-5)^{2026+1} × (-\dfrac{1}{5})^{2026}$
$=(-5)^{2026} × (-5) × (-\dfrac{1}{5})^{2026}$
$=[(-5) × (-\dfrac{1}{5})]^{2026} × (-5)$
$=1^{2026} × (-5)$
$=-5$
(2) 先将小数、带分数化为分数：$-0.125=-\dfrac{1}{8}$，$-1\dfrac{2}{3}=-\dfrac{5}{3}$，则
原式$=(-\dfrac{1}{8})^2 × (-\dfrac{5}{3})^7 × (-8)^{13} × (-\dfrac{3}{5})^8$
拆分指数：$(-8)^{13}=(-8)^{2+11}=(-8)^2 × (-8)^{11}$，$(-\dfrac{3}{5})^8=(-\dfrac{3}{5})^7 × (-\dfrac{3}{5})$，代入得：
$=(-\dfrac{1}{8})^2 × (-8)^2 × (-8)^{11} × (-\dfrac{5}{3})^7 × (-\dfrac{3}{5})^7 × (-\dfrac{3}{5})$
结合同指数项：
$=[(-\dfrac{1}{8}) × (-8)]^2 × (-8)^{11} × [(-\dfrac{5}{3}) × (-\dfrac{3}{5})]^7 × (-\dfrac{3}{5})$
计算得：
$=1^2 × (-8)^{11} × 1^7 × (-\dfrac{3}{5})$
$=(-8^{11}) × (-\dfrac{3}{5})$
$=\dfrac{3 × 8^{11}}{5}$
【答案】(1) $-5$；(2) $\dfrac{3 × 8^{11}}{5}$
【知识点】积的乘方逆运算、幂的运算
【点评】本题通过两道典型题目考查积的乘方逆运算的应用，核心是观察指数特征，拆分或合并同指数项，简化高次幂计算，是幂运算中的基础题型，需熟练掌握公式的灵活变形。
【难度系数】0.6
【解析】
(1) 原式$=(-5)^{2026+1} × (-\dfrac{1}{5})^{2026}$
$=(-5)^{2026} × (-5) × (-\dfrac{1}{5})^{2026}$
$=[(-5) × (-\dfrac{1}{5})]^{2026} × (-5)$
$=1^{2026} × (-5)$
$=-5$
(2) 先将小数、带分数化为分数：$-0.125=-\dfrac{1}{8}$，$-1\dfrac{2}{3}=-\dfrac{5}{3}$，则
原式$=(-\dfrac{1}{8})^2 × (-\dfrac{5}{3})^7 × (-8)^{13} × (-\dfrac{3}{5})^8$
拆分指数：$(-8)^{13}=(-8)^{2+11}=(-8)^2 × (-8)^{11}$，$(-\dfrac{3}{5})^8=(-\dfrac{3}{5})^7 × (-\dfrac{3}{5})$，代入得：
$=(-\dfrac{1}{8})^2 × (-8)^2 × (-8)^{11} × (-\dfrac{5}{3})^7 × (-\dfrac{3}{5})^7 × (-\dfrac{3}{5})$
结合同指数项：
$=[(-\dfrac{1}{8}) × (-8)]^2 × (-8)^{11} × [(-\dfrac{5}{3}) × (-\dfrac{3}{5})]^7 × (-\dfrac{3}{5})$
计算得：
$=1^2 × (-8)^{11} × 1^7 × (-\dfrac{3}{5})$
$=(-8^{11}) × (-\dfrac{3}{5})$
$=\dfrac{3 × 8^{11}}{5}$
【答案】(1) $-5$；(2) $\dfrac{3 × 8^{11}}{5}$
【知识点】积的乘方逆运算、幂的运算
【点评】本题通过两道典型题目考查积的乘方逆运算的应用，核心是观察指数特征，拆分或合并同指数项，简化高次幂计算，是幂运算中的基础题型，需熟练掌握公式的灵活变形。
【难度系数】0.6
17 已知 $A=(2xy^{2})^{3}-x^{3}(y^{3})^{2},B=5x^{3}y^{6}$ , 当 $x=3,y=1$ 时,求 $A-B$ 的值.
答案
17. $\because A=8x^{3}y^{6}-x^{3}y^{6}=7x^{3}y^{6},B=5x^{3}y^{6},\therefore A-B=2x^{3}y^{6}.$ 当$x=3,y=1$时,$A-B=2x^{3}y^{6}=2×3^{3}×1^{6}=54$
解析
【分析】
本题是整式的化简求值问题，解题思路为：先利用幂的运算法则化简式子A，再计算A与B的差，最后将x=3、y=1代入化简后的式子求出结果。具体步骤：1. 根据积的乘方、幂的乘方法则化简A；2. 合并同类项得到A-B的最简形式；3. 代入x、y的值计算最终结果。
【解析】
解：先化简A：
根据积的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$和幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$，
$A=(2xy^2)^3 - x^3(y^3)^2 = 2^3x^3(y^2)^3 - x^3y^{3×2} = 8x^3y^6 - x^3y^6 = 7x^3y^6$；
已知$B=5x^3y^6$，则：
$A - B = 7x^3y^6 - 5x^3y^6 = 2x^3y^6$；
当$x=3$，$y=1$时，代入得：
$A - B = 2×3^3×1^6 = 2×27×1 = 54$。
【答案】
54
【知识点】
整式的化简求值、幂的乘方与积的乘方、合并同类项
【点评】
本题考查整式的基本运算，核心是掌握幂的运算法则和合并同类项，先化简再求值是简化计算的关键，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是整式的化简求值问题，解题思路为：先利用幂的运算法则化简式子A，再计算A与B的差，最后将x=3、y=1代入化简后的式子求出结果。具体步骤：1. 根据积的乘方、幂的乘方法则化简A；2. 合并同类项得到A-B的最简形式；3. 代入x、y的值计算最终结果。
【解析】
解：先化简A：
根据积的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$和幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$，
$A=(2xy^2)^3 - x^3(y^3)^2 = 2^3x^3(y^2)^3 - x^3y^{3×2} = 8x^3y^6 - x^3y^6 = 7x^3y^6$；
已知$B=5x^3y^6$，则：
$A - B = 7x^3y^6 - 5x^3y^6 = 2x^3y^6$；
当$x=3$，$y=1$时，代入得：
$A - B = 2×3^3×1^6 = 2×27×1 = 54$。
【答案】
54
【知识点】
整式的化简求值、幂的乘方与积的乘方、合并同类项
【点评】
本题考查整式的基本运算，核心是掌握幂的运算法则和合并同类项，先化简再求值是简化计算的关键，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
