17. 已知$a$，$b$，$c$满足$a^2 + 2b = 7$，$b^2 - 2c = -1$，$c^2 - 6a = -17$，则$a + b + c =$。

17. 3 解析：$\because a^{2}+2b=7$，$b^{2}-2c=-1$，$c^{2}-6a=-17$，$\therefore a^{2}+2b+b^{2}-2c+c^{2}-6a=7-1-17=-11$，$\therefore(a-3)^{2}+(b+1)^{2}+(c-1)^{2}-11=-11$，$\therefore(a-3)^{2}+(b+1)^{2}+(c-1)^{2}=0$，$\therefore a=3$，$b=-1$，$c=1$，$\therefore a+b+c=3-1+1=3$.

18. (泰州中考)已知$a = 2m^2 - mn$，$b = mn - 2n^2$，$c = m^2 - n^2(m ≠ n)$，用“＜”表示$a$，$b$，$c$的大小关系为。

18. $b＜c＜a$ 解析：由题意可知，$a-b=(2m^{2}-mn)-(mn-2n^{2})=(m^{2}+n^{2}-2mn)+m^{2}+n^{2}=(m-n)^{2}+m^{2}+n^{2}$，因为$m≠ n$，所以$(m-n)^{2}+m^{2}+n^{2}＞0$，所以$b＜a$；$a-c=(2m^{2}-mn)-(m^{2}-n^{2})=m^{2}-mn+n^{2}=(m-\frac{n}{2})^{2}+\frac{3}{4}n^{2}$，因为$m≠ n$，所以$(m-\frac{n}{2})^{2}+\frac{3}{4}n^{2}＞0$，所以$c＜a$；$c-b=(m^{2}-n^{2})-(mn-2n^{2})=m^{2}-mn+n^{2}=(m-\frac{n}{2})^{2}+\frac{3}{4}n^{2}$，同理$b＜c$，故答案为$b＜c＜a$.

$b＜c＜a$

三、解答题（共46分）
19. （12分）因式分解。
（1）$6xy - 9x^2y$；
（2）$a^2(x - y) + 4(y - x)$；
（3）$(y + 2x)^2 - (x + 2y)^2$。

$(1)$ 对$6xy - 9x^2y$因式分解
解：
提取公因式$3xy$，根据提取公因式公式$ma+mb+mc = m(a + b + c)$（这里$m = 3xy$，$a = 2$，$b=-3x$）可得：
$6xy - 9x^2y=3xy(2 - 3x)$
$(2)$ 对$a^{2}(x - y)+4(y - x)$因式分解
解：
先将式子变形为$a^{2}(x - y)-4(x - y)$，然后提取公因式$(x - y)$，得到$(x - y)(a^{2}-4)$。
再根据平方差公式$m^2 - n^2=(m + n)(m - n)$（这里$m = a$，$n = 2$）对$a^{2}-4$进行因式分解：
$a^{2}(x - y)+4(y - x)=(x - y)(a^{2}-4)=(x - y)(a + 2)(a - 2)$

$(3)$ 对$(y + 2x)^{2}-(x + 2y)^{2}$因式分解
解：
根据平方差公式$m^2 - n^2=(m + n)(m - n)$（这里$m=y + 2x$，$n=x + 2y$）可得：
$\begin{aligned}&(y + 2x)^{2}-(x + 2y)^{2}\\=&[(y + 2x)+(x + 2y)][(y + 2x)-(x + 2y)]\\=&(y + 2x+x + 2y)(y + 2x - x - 2y)\\=&(3x + 3y)(x - y)\\=&3(x + y)(x - y)\end{aligned}$
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{3xy(2 - 3x)}$；$(2)$$\boldsymbol{(x - y)(a + 2)(a - 2)}$；$(3)$$\boldsymbol{3(x + y)(x - y)}$。

20. （6分）利用因式分解简便计算。
（1）①$105^2$；②$298^2$。
（2）$999^2 + 999 + 685^2 - 315^2$。

$(1)$
① 计算$105^2$
解：
$\begin{aligned}105^2&=(100 + 5)^2\\&=100^2 + 2×100×5 + 5^2\\&=10000 + 1000 + 25\\&=11025\end{aligned}$
② 计算$298^2$
解：
$\begin{aligned}298^2&=(300 - 2)^2\\&=300^2 - 2×300×2 + 2^2\\&=90000 - 1200 + 4\\&=88804\end{aligned}$
$(2)$ 计算$999^2 + 999 + 685^2 - 315^2$
解：
$\begin{aligned}&999^2 + 999 + 685^2 - 315^2\\=&999×(999 + 1)+(685 + 315)×(685 - 315)\\=&999×1000 + 1000×370\\=&1000×(999 + 370)\\=&1000×1369\\=&1369000\end{aligned}$
综上，答案依次为：$(1)$①$11025$；②$88804$；$(2)$$1369000$。

21. （6分）先因式分解，再求值。
（1）$15a^2(b + 4) - 30a(b + 4)$，其中$a = 2$，$b = -2$；
（2）$(x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2$，其中$x = 3.5$，$y = 1.5$。

$(1)$
解：
对$15a^2(b + 4) - 30a(b + 4)$因式分解，提取公因式$15a(b + 4)$可得：
$15a^2(b + 4) - 30a(b + 4)=15a(b + 4)(a - 2)$
将$a = 2$，$b = -2$代入上式：
当$a = 2$时，$a - 2=0$，则$15a(b + 4)(a - 2)=15×2×(-2 + 4)×0 = 0$
$(2)$
解：
对$(x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2$因式分解，根据平方差公式$a^2-b^2=(a + b)(a - b)$，这里$a=x^2 + y^2$，$b = 2xy$，则：
$(x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2=(x^2 + y^2 + 2xy)(x^2 + y^2 - 2xy)$
再根据完全平方公式$(m\pm n)^2=m^2\pm2mn + n^2$，进一步得到$(x + y)^2(x - y)^2$。
将$x = 3.5$，$y = 1.5$代入上式：
$(x + y)^2(x - y)^2=(3.5 + 1.5)^2×(3.5 - 1.5)^2$
$=5^2×2^2=(5×2)^2=100$
综上，$(1)$式的值为$\boldsymbol{0}$；$(2)$式的值为$\boldsymbol{100}$。

22. （6分）（2025·南京校级月考）阅读下列材料：
若$a^2 - 2ab + b^2 = 0$，则$(a - b)^2 = 0$，得$a = b$；若$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca = 0$，则$(a + b)^2 - 2c(a + b) + c^2 = 0$，所以$[(a + b) - c]^2 = 0$，得$a + b = c······$
解决下列问题：
（1）若$b^2 = 4(ab - a^2)$，证明：$b = 2a$；
（2）若$(b - c)^2 = 4(a - b)(c - a)$，证明：$b + c = 2a$。

$(1)$证明$b = 2a$
解：
已知$b^{2}=4(ab - a^{2})$，
将等式右边展开可得$b^{2}=4ab-4a^{2}$，
移项得到$b^{2}-4ab + 4a^{2}=0$。
根据完全平方公式$(m - n)^2=m^{2}-2mn + n^{2}$，这里$m = b$，$n = 2a$，则$b^{2}-4ab + 4a^{2}=(b - 2a)^{2}$。
所以$(b - 2a)^{2}=0$，
因为一个数的平方为$0$，则这个数为$0$，所以$b - 2a = 0$，
即$b = 2a$。
$(2)$证明$b + c = 2a$
解：
已知$(b - c)^{2}=4(a - b)(c - a)$，
将等式左边展开得$b^{2}-2bc + c^{2}$，
将等式右边展开：
$\begin{aligned}4(a - b)(c - a)&=4(ac-a^{2}-bc + ab)\\&=4ac-4a^{2}-4bc + 4ab\end{aligned}$
则$b^{2}-2bc + c^{2}=4ac-4a^{2}-4bc + 4ab$，
移项可得$b^{2}+2bc + c^{2}-4ab - 4ac + 4a^{2}=0$。
把$b^{2}+2bc + c^{2}$根据完全平方公式$(m + n)^2=m^{2}+2mn + n^{2}$（这里$m = b$，$n = c$）变形为$(b + c)^{2}$，
$-4ab-4ac + 4a^{2}$提取$-4a$得$-4a(b + c)+4a^{2}$。
令$m=b + c$，则式子变为$(b + c)^{2}-4a(b + c)+4a^{2}=0$。
再根据完全平方公式$(m - n)^2=m^{2}-2mn + n^{2}$（这里$m=b + c$，$n = 2a$），可得$(b + c-2a)^{2}=0$。
因为一个数的平方为$0$，则这个数为$0$，所以$b + c-2a = 0$，
即$b + c = 2a$。
综上，$(1)$得证$b = 2a$；$(2)$得证$b + c = 2a$。