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3.一辆汽车以恒定的功率在平直的公路上做直线运动，其$v$-$t$图像如图所示，在第10s时速度达到20m/s，通过的路程为120m。求：
(1)设汽车在行驶过程中所受阻力不变，大小为$f=4000\mathrm{N}$，那么在10～20s内汽车发动机牵引力是多少？
(2)汽车的功率是多少？
(3)在0～10s内汽车发动机牵引力所做的功是多少？
(4)若发动机的转化效率为80%，则需要燃烧多少千克汽油才能使发动机做这么多功？（$q_{\mathrm{汽油}}=5×10^7\mathrm{J/kg}$）
(1)设汽车在行驶过程中所受阻力不变，大小为$f=4000\mathrm{N}$，那么在10～20s内汽车发动机牵引力是多少？
(2)汽车的功率是多少？
(3)在0～10s内汽车发动机牵引力所做的功是多少？
(4)若发动机的转化效率为80%，则需要燃烧多少千克汽油才能使发动机做这么多功？（$q_{\mathrm{汽油}}=5×10^7\mathrm{J/kg}$）
答案
(1)由图像可知,10～20s 内汽车做匀速直线运动,牵引力 $F=f=4000\mathrm{N}.$
(2)由图像可知,汽车速度达到的最大值为 $v=20\mathrm{m/s}$,则汽车的功率
$P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{Fs}{t}=Fv=4000\mathrm{N}× 20\mathrm{m/s}=8× 10^{4}\mathrm{W}.$
(3)在 0～10s 内汽车发动机牵引力所做的功
$W=Pt=8× 10^{4}\mathrm{W}× 10\mathrm{s}=8× 10^{5}\mathrm{J}.$
(4)汽油完全燃烧释放的热量
$Q_{\mathrm{放}}=\dfrac{W}{\eta }=\dfrac{8× 10^{5}\mathrm{J}}{80\% }=1× 10^{6}\mathrm{J},$
由 $Q=mq$ 可得需要燃烧汽油的质量
$m=\dfrac{Q_{\mathrm{放}}}{q_{\mathrm{汽油}}}=\dfrac{1× 10^{6}\mathrm{J}}{5× 10^{7}\mathrm{J/kg}}=0. 02\mathrm{kg}.$
(2)由图像可知,汽车速度达到的最大值为 $v=20\mathrm{m/s}$,则汽车的功率
$P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{Fs}{t}=Fv=4000\mathrm{N}× 20\mathrm{m/s}=8× 10^{4}\mathrm{W}.$
(3)在 0～10s 内汽车发动机牵引力所做的功
$W=Pt=8× 10^{4}\mathrm{W}× 10\mathrm{s}=8× 10^{5}\mathrm{J}.$
(4)汽油完全燃烧释放的热量
$Q_{\mathrm{放}}=\dfrac{W}{\eta }=\dfrac{8× 10^{5}\mathrm{J}}{80\% }=1× 10^{6}\mathrm{J},$
由 $Q=mq$ 可得需要燃烧汽油的质量
$m=\dfrac{Q_{\mathrm{放}}}{q_{\mathrm{汽油}}}=\dfrac{1× 10^{6}\mathrm{J}}{5× 10^{7}\mathrm{J/kg}}=0. 02\mathrm{kg}.$
解析
【分析】
首先观察v-t图像判断运动状态：10~20s阶段汽车速度保持20m/s不变，做匀速直线运动，此时受力平衡，牵引力与阻力大小相等，可直接得到第一问结果。题目说明汽车全程以恒定功率行驶，匀速阶段可利用推导公式P=Fv直接算出汽车的恒定功率，解决第二问。第三问0~10s阶段汽车功率始终保持该恒定值，不需要考虑变加速过程的牵引力变化，直接用W=Pt即可算出该阶段牵引力做的功。第四问结合热机效率的定义，先算出汽油完全燃烧需要释放的总热量，再利用热值公式变形求出需要燃烧的汽油质量即可。
【解析】
(1) 由v-t图像可知，10~20s内汽车速度恒定，做匀速直线运动，处于平衡状态，水平方向牵引力与阻力二力平衡，因此牵引力：
$F = f = 4000\mathrm{N}$
(2) 汽车匀速行驶的速度$v=20\mathrm{m/s}$，根据功率推导公式$P=\frac{W}{t}=\frac{Fs}{t}=Fv$，代入数据得：
$P = Fv = 4000\mathrm{N} × 20\mathrm{m/s} = 8× 10^4\mathrm{W}$
(3) 汽车以恒定功率行驶，0~10s内功率始终为$P=8×10^4\mathrm{W}$，该阶段牵引力做的功：
$W = Pt = 8× 10^4\mathrm{W} × 10\mathrm{s} = 8× 10^5\mathrm{J}$
(4) 由热机效率公式$\eta=\frac{W}{Q_\mathrm{放}}$可得，汽油完全燃烧需要释放的总热量：
$Q_\mathrm{放} = \frac{W}{\eta} = \frac{8× 10^5\mathrm{J}}{80\%} = 1× 10^6\mathrm{J}$
根据热值公式$Q_\mathrm{放}=mq_\mathrm{汽油}$，变形得需要燃烧汽油的质量：
$m = \frac{Q_\mathrm{放}}{q_\mathrm{汽油}} = \frac{1× 10^6\mathrm{J}}{5× 10^7\mathrm{J/kg}} = 0.02\mathrm{kg}$
【答案】
(1) $4000\mathrm{N}$
(2) $8× 10^4\mathrm{W}$
(3) $8× 10^5\mathrm{J}$
(4) $0.02\mathrm{kg}$
【知识点】
二力平衡条件；功率公式应用；热效率与热值计算
【点评】
本题是力学与热学的综合基础题，属于恒定功率机车启动的经典题型，易错点是0~10s汽车做变加速运动，牵引力是变化的，不能用F乘以该阶段路程计算功，要抓住题目给出的“恒定功率”核心条件，利用W=Pt求解，整体考察学生对功率公式适用场景的理解，难度适中。
【难度系数】
0.7
首先观察v-t图像判断运动状态：10~20s阶段汽车速度保持20m/s不变，做匀速直线运动，此时受力平衡，牵引力与阻力大小相等，可直接得到第一问结果。题目说明汽车全程以恒定功率行驶，匀速阶段可利用推导公式P=Fv直接算出汽车的恒定功率，解决第二问。第三问0~10s阶段汽车功率始终保持该恒定值，不需要考虑变加速过程的牵引力变化，直接用W=Pt即可算出该阶段牵引力做的功。第四问结合热机效率的定义，先算出汽油完全燃烧需要释放的总热量，再利用热值公式变形求出需要燃烧的汽油质量即可。
【解析】
(1) 由v-t图像可知，10~20s内汽车速度恒定，做匀速直线运动，处于平衡状态，水平方向牵引力与阻力二力平衡，因此牵引力：
$F = f = 4000\mathrm{N}$
(2) 汽车匀速行驶的速度$v=20\mathrm{m/s}$，根据功率推导公式$P=\frac{W}{t}=\frac{Fs}{t}=Fv$，代入数据得：
$P = Fv = 4000\mathrm{N} × 20\mathrm{m/s} = 8× 10^4\mathrm{W}$
(3) 汽车以恒定功率行驶，0~10s内功率始终为$P=8×10^4\mathrm{W}$，该阶段牵引力做的功：
$W = Pt = 8× 10^4\mathrm{W} × 10\mathrm{s} = 8× 10^5\mathrm{J}$
(4) 由热机效率公式$\eta=\frac{W}{Q_\mathrm{放}}$可得，汽油完全燃烧需要释放的总热量：
$Q_\mathrm{放} = \frac{W}{\eta} = \frac{8× 10^5\mathrm{J}}{80\%} = 1× 10^6\mathrm{J}$
根据热值公式$Q_\mathrm{放}=mq_\mathrm{汽油}$，变形得需要燃烧汽油的质量：
$m = \frac{Q_\mathrm{放}}{q_\mathrm{汽油}} = \frac{1× 10^6\mathrm{J}}{5× 10^7\mathrm{J/kg}} = 0.02\mathrm{kg}$
【答案】
(1) $4000\mathrm{N}$
(2) $8× 10^4\mathrm{W}$
(3) $8× 10^5\mathrm{J}$
(4) $0.02\mathrm{kg}$
【知识点】
二力平衡条件；功率公式应用；热效率与热值计算
【点评】
本题是力学与热学的综合基础题，属于恒定功率机车启动的经典题型，易错点是0~10s汽车做变加速运动，牵引力是变化的，不能用F乘以该阶段路程计算功，要抓住题目给出的“恒定功率”核心条件，利用W=Pt求解，整体考察学生对功率公式适用场景的理解，难度适中。
【难度系数】
0.7
4. 我国自主研制的第五代战斗机“歼-20”，它具备超音速巡航、电磁隐身、超机动性、超视距攻击等优异性能，该飞机最大起飞质量为 $3.7× 10^{4}\mathrm{kg}$，最大飞行高度达 $2× 10^{4}\mathrm{m}$，最大航行速度达2.5 倍声速，最大载油量为 $1× 10^{4}\mathrm{kg}$。飞机航行时所受阻力的大小与速度的关系如表所示。
已知飞机发动机燃油完全燃烧的能量转化为机械能的效率是 30%，飞机使用的航空燃油的热值为 $5× 10^{7}\mathrm{J/kg}$，请回答下列问题：
(1) 飞机发动机完全燃烧 $1× 10^{4}\mathrm{kg}$ 燃油放出的热量为多少焦？
(2) 当飞机以 $300\mathrm{m/s}$ 的速度水平匀速巡航时，飞机航行时所受阻力的大小是多少？飞机发动机的输出功率是多少？
(3) 某次执行任务时，驾驶员发现飞机的油量还有 $3.2× 10^{3}\mathrm{kg}$，若以 $400\mathrm{m/s}$ 的速度巡航，则飞机最多还能飞行多远？
已知飞机发动机燃油完全燃烧的能量转化为机械能的效率是 30%，飞机使用的航空燃油的热值为 $5× 10^{7}\mathrm{J/kg}$，请回答下列问题：
(1) 飞机发动机完全燃烧 $1× 10^{4}\mathrm{kg}$ 燃油放出的热量为多少焦？
(2) 当飞机以 $300\mathrm{m/s}$ 的速度水平匀速巡航时，飞机航行时所受阻力的大小是多少？飞机发动机的输出功率是多少？
(3) 某次执行任务时，驾驶员发现飞机的油量还有 $3.2× 10^{3}\mathrm{kg}$，若以 $400\mathrm{m/s}$ 的速度巡航，则飞机最多还能飞行多远？
答案
(1)飞机发动机完全燃烧 $1× 10^{4}\mathrm{kg}$ 燃油放出的热量
$Q_{\mathrm{放}}=mq=1× 10^{4}\mathrm{kg}× 5× 10^{7}\mathrm{J/kg}=5× 10^{11}\mathrm{J}.$
(2)由表中数据可知,所受阻力与速度的平方成正比,即 $f_{1}:f_{3}=v_{1}^{2}:v_{3}^{2},$
则飞机以 300m/s 的速度巡航时,所受阻力
$f_{3}=( \dfrac{v_{3}}{v_{1}}) ^{2}f_{1}=( \dfrac{300\mathrm{m/s}}{100\mathrm{m/s}}) ^{2}× 0. 3× 10^{4}\mathrm{N}=2. 7× 10^{4}\mathrm{N},$
则飞机发动机的输出功率
$P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{Fs}{t}=Fv_{3}=f_{3}v_{3}=2. 7× 10^{4}\mathrm{N}× 300\mathrm{m/s}=8. 1× 10^{6}\mathrm{W}.$
(3)飞机的油量还有 $3. 2× 10^{3}\mathrm{kg}$,则这些燃油完全燃烧放出的热量 $Q'_{\mathrm{放}}=m'q=3. 2× 10^{3}\mathrm{kg}× 5× 10^{7}\mathrm{J/kg}=1. 6× 10^{11}\mathrm{J}.$
根据 $\eta =\dfrac{W}{Q_{\mathrm{放}}}× 100\%$ 得还能做的有用功
$W=30\% × Q'_{\mathrm{放}}=30\% × 1. 6× 10^{11}\mathrm{J}=4. 8× 10^{10}\mathrm{J},$
由表中数据可知,速度为 400m/s 时的阻力 $f_{4}=4. 8× 10^{4}\mathrm{N}.$
由 $W=Fs=fs$ 可得飞机最多还能飞行
$s_{4}=\dfrac{W}{f_{4}}=\dfrac{4. 8× 10^{10}\mathrm{J}}{4. 8× 10^{4}\mathrm{N}}=1× 10^{6}\mathrm{m}=1000\mathrm{km}.$
$Q_{\mathrm{放}}=mq=1× 10^{4}\mathrm{kg}× 5× 10^{7}\mathrm{J/kg}=5× 10^{11}\mathrm{J}.$
(2)由表中数据可知,所受阻力与速度的平方成正比,即 $f_{1}:f_{3}=v_{1}^{2}:v_{3}^{2},$
则飞机以 300m/s 的速度巡航时,所受阻力
$f_{3}=( \dfrac{v_{3}}{v_{1}}) ^{2}f_{1}=( \dfrac{300\mathrm{m/s}}{100\mathrm{m/s}}) ^{2}× 0. 3× 10^{4}\mathrm{N}=2. 7× 10^{4}\mathrm{N},$
则飞机发动机的输出功率
$P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{Fs}{t}=Fv_{3}=f_{3}v_{3}=2. 7× 10^{4}\mathrm{N}× 300\mathrm{m/s}=8. 1× 10^{6}\mathrm{W}.$
(3)飞机的油量还有 $3. 2× 10^{3}\mathrm{kg}$,则这些燃油完全燃烧放出的热量 $Q'_{\mathrm{放}}=m'q=3. 2× 10^{3}\mathrm{kg}× 5× 10^{7}\mathrm{J/kg}=1. 6× 10^{11}\mathrm{J}.$
根据 $\eta =\dfrac{W}{Q_{\mathrm{放}}}× 100\%$ 得还能做的有用功
$W=30\% × Q'_{\mathrm{放}}=30\% × 1. 6× 10^{11}\mathrm{J}=4. 8× 10^{10}\mathrm{J},$
由表中数据可知,速度为 400m/s 时的阻力 $f_{4}=4. 8× 10^{4}\mathrm{N}.$
由 $W=Fs=fs$ 可得飞机最多还能飞行
$s_{4}=\dfrac{W}{f_{4}}=\dfrac{4. 8× 10^{10}\mathrm{J}}{4. 8× 10^{4}\mathrm{N}}=1× 10^{6}\mathrm{m}=1000\mathrm{km}.$
解析
【分析】
这是一道热学与力学结合的综合应用题，解题思路可以分三个小问依次梳理：
1. 第一问直接利用燃料完全燃烧放热公式$Q_{\mathrm{放}}=mq$，代入已知的燃油质量和燃油热值即可计算总放热，属于基础公式应用。
2. 第二问首先观察表格给出的五组速度和阻力数据，对比发现速度变为原来的n倍时，阻力变为原来的$n^2$倍，说明阻力f与速度v的平方成正比，利用这个比例关系就能算出300m/s对应的阻力；由于飞机水平匀速巡航，牵引力和阻力二力平衡，牵引力大小等于阻力，再结合功率的推导式$P=Fv=fv$，代入阻力和速度就能算出发动机的输出功率。
3. 第三问先算出剩余燃油完全燃烧释放的总热量，再根据给出的能量转化效率，算出可以用来做功的有用机械能；从表格直接读取400m/s对应的阻力，匀速飞行时牵引力等于阻力，再利用功的公式$W=Fs$变形得到$s=W/F$，代入数据就能算出飞机最多可飞行的距离。
【解析】
(1) 计算完全燃烧$1× 10^{4}\mathrm{kg}$燃油放出的热量：
根据燃料完全燃烧放热公式$Q_{\mathrm{放}}=mq$，代入数据：
$Q_{\mathrm{放}}=1× 10^{4}\mathrm{kg} × 5× 10^{7}\mathrm{J/kg}=5× 10^{11}\mathrm{J}$
(2) 计算300m/s巡航时的阻力和输出功率：
观察表格数据可得阻力与速度的平方成正比，即$f \propto v^2$，因此满足比例关系：
$\frac{f_3}{f_1}=\frac{v_3^2}{v_1^2}$
代入$v_1=100\mathrm{m/s}$，$f_1=0.3×10^4\mathrm{N}$，$v_3=300\mathrm{m/s}$：
$f_3=(\frac{v_3}{v_1})^2 f_1=(\frac{300\mathrm{m/s}}{100\mathrm{m/s}})^2 × 0.3×10^4\mathrm{N}=2.7×10^4\mathrm{N}$
飞机水平匀速巡航时，牵引力与阻力二力平衡，即$F=f_3$，根据功率推导式$P=\frac{W}{t}=\frac{Fs}{t}=Fv$：
$P=f_3 v_3=2.7×10^4\mathrm{N} × 300\mathrm{m/s}=8.1×10^6\mathrm{W}$
(3) 计算剩余燃油下飞机最多可飞行的距离：
剩余燃油质量$m'=3.2×10^3\mathrm{kg}$，完全燃烧放出的热量：
$Q'_{\mathrm{放}}=m'q=3.2×10^3\mathrm{kg} × 5×10^7\mathrm{J/kg}=1.6×10^{11}\mathrm{J}$
根据能量转化效率$\eta=\frac{W}{Q'_{\mathrm{放}}}$，可得转化的有用机械能：
$W=\eta Q'_{\mathrm{放}}=30\% × 1.6×10^{11}\mathrm{J}=4.8×10^{10}\mathrm{J}$
由表格可知速度为400m/s时对应的阻力$f_4=4.8×10^4\mathrm{N}$，匀速飞行时牵引力$F'=f_4$，由$W=F's$变形得飞行距离：
$s=\frac{W}{f_4}=\frac{4.8×10^{10}\mathrm{J}}{4.8×10^4\mathrm{N}}=1×10^6\mathrm{m}=1000\mathrm{km}$
【答案】
(1) $5× 10^{11}\mathrm{J}$
(2) 阻力为$2.7× 10^{4}\mathrm{N}$，输出功率为$8.1× 10^{6}\mathrm{W}$
(3) $1000\mathrm{km}$（或$1×10^6\mathrm{m}$）
【知识点】
燃料完全燃烧放热计算
功率推导与计算
热机效率应用
【点评】
本题结合国产战机的实际场景，将热学的热值、效率知识点和力学的二力平衡、功、功率知识点结合，解题的关键是先从表格数据中归纳出阻力与速度平方成正比的规律，整体难度适中，需要学生具备从实验数据找规律的能力，同时注意匀速运动时牵引力等于阻力的隐含条件，避免公式误用。
【难度系数】
0.6
这是一道热学与力学结合的综合应用题，解题思路可以分三个小问依次梳理：
1. 第一问直接利用燃料完全燃烧放热公式$Q_{\mathrm{放}}=mq$，代入已知的燃油质量和燃油热值即可计算总放热，属于基础公式应用。
2. 第二问首先观察表格给出的五组速度和阻力数据，对比发现速度变为原来的n倍时，阻力变为原来的$n^2$倍，说明阻力f与速度v的平方成正比，利用这个比例关系就能算出300m/s对应的阻力；由于飞机水平匀速巡航，牵引力和阻力二力平衡，牵引力大小等于阻力，再结合功率的推导式$P=Fv=fv$，代入阻力和速度就能算出发动机的输出功率。
3. 第三问先算出剩余燃油完全燃烧释放的总热量，再根据给出的能量转化效率，算出可以用来做功的有用机械能；从表格直接读取400m/s对应的阻力，匀速飞行时牵引力等于阻力，再利用功的公式$W=Fs$变形得到$s=W/F$，代入数据就能算出飞机最多可飞行的距离。
【解析】
(1) 计算完全燃烧$1× 10^{4}\mathrm{kg}$燃油放出的热量：
根据燃料完全燃烧放热公式$Q_{\mathrm{放}}=mq$，代入数据：
$Q_{\mathrm{放}}=1× 10^{4}\mathrm{kg} × 5× 10^{7}\mathrm{J/kg}=5× 10^{11}\mathrm{J}$
(2) 计算300m/s巡航时的阻力和输出功率：
观察表格数据可得阻力与速度的平方成正比，即$f \propto v^2$，因此满足比例关系：
$\frac{f_3}{f_1}=\frac{v_3^2}{v_1^2}$
代入$v_1=100\mathrm{m/s}$，$f_1=0.3×10^4\mathrm{N}$，$v_3=300\mathrm{m/s}$：
$f_3=(\frac{v_3}{v_1})^2 f_1=(\frac{300\mathrm{m/s}}{100\mathrm{m/s}})^2 × 0.3×10^4\mathrm{N}=2.7×10^4\mathrm{N}$
飞机水平匀速巡航时，牵引力与阻力二力平衡，即$F=f_3$，根据功率推导式$P=\frac{W}{t}=\frac{Fs}{t}=Fv$：
$P=f_3 v_3=2.7×10^4\mathrm{N} × 300\mathrm{m/s}=8.1×10^6\mathrm{W}$
(3) 计算剩余燃油下飞机最多可飞行的距离：
剩余燃油质量$m'=3.2×10^3\mathrm{kg}$，完全燃烧放出的热量：
$Q'_{\mathrm{放}}=m'q=3.2×10^3\mathrm{kg} × 5×10^7\mathrm{J/kg}=1.6×10^{11}\mathrm{J}$
根据能量转化效率$\eta=\frac{W}{Q'_{\mathrm{放}}}$，可得转化的有用机械能：
$W=\eta Q'_{\mathrm{放}}=30\% × 1.6×10^{11}\mathrm{J}=4.8×10^{10}\mathrm{J}$
由表格可知速度为400m/s时对应的阻力$f_4=4.8×10^4\mathrm{N}$，匀速飞行时牵引力$F'=f_4$，由$W=F's$变形得飞行距离：
$s=\frac{W}{f_4}=\frac{4.8×10^{10}\mathrm{J}}{4.8×10^4\mathrm{N}}=1×10^6\mathrm{m}=1000\mathrm{km}$
【答案】
(1) $5× 10^{11}\mathrm{J}$
(2) 阻力为$2.7× 10^{4}\mathrm{N}$，输出功率为$8.1× 10^{6}\mathrm{W}$
(3) $1000\mathrm{km}$（或$1×10^6\mathrm{m}$）
【知识点】
燃料完全燃烧放热计算
功率推导与计算
热机效率应用
【点评】
本题结合国产战机的实际场景，将热学的热值、效率知识点和力学的二力平衡、功、功率知识点结合，解题的关键是先从表格数据中归纳出阻力与速度平方成正比的规律，整体难度适中，需要学生具备从实验数据找规律的能力，同时注意匀速运动时牵引力等于阻力的隐含条件，避免公式误用。
【难度系数】
0.6
