10 [2025 江西] 如图,直线 $l: y=\dfrac{2}{3} x+m$ 与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$ 在第一象限中的图象交于点$A(6,2).$
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式；
(2) 将直线 $l$ 向上平移,所得的直线 $l'$ 与反比例函数图象交于点 $C$,连接 $OA,OC$,当 $∠ 1=∠ 2$时,求点 $C$ 的坐标及直线 $l$ 向上平移的距离.

10. (1) $\because$ 点$A(6,2)$在直线$l:y=\dfrac{2}{3}x+m$上,$\therefore 2=\dfrac{2}{3}×6+m$,解得$m=-2$.$\therefore$ 一次函数的解析式为$y=\dfrac{2}{3}x-2$.$\because$ 点$A(6,2)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$在第一象限中的图象上,$\therefore 2=\dfrac{k}{6}$,解得$k=12$.$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\dfrac{12}{x}$
(2) $\because ∠1=∠2$,反比例函数的图象关于直线$y=x$对称,$\therefore$ 点$A$与点$C$关于直线$y=x$对称.$\therefore$ 易得$C(2,6)$.设直线$l$平移后所得的直线$l'$对应的函数解析式为$y=\dfrac{2}{3}x+n$.将$C(2,6)$代入,得$\dfrac{2}{3}×2+n=6$,解得$n=\dfrac{14}{3}$.$\because \dfrac{14}{3}-(-2)=\dfrac{20}{3}$,$\therefore$ 直线$l$向上平移的距离为$\dfrac{20}{3}$

【分析】
本题分为两小问，第(1)问利用“点在函数图象上，点的坐标满足函数解析式”，代入点A的坐标即可求出一次函数和反比例函数的解析式；第(2)问的关键是利用∠1=∠2，结合反比例函数的对称性，得出点A与点C关于直线y=x对称，从而得到点C的坐标，再根据直线平移时斜率不变，设出平移后直线的解析式，代入点C求出参数，最后计算平移的距离。
【解析】
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式：
已知点$ A(6,2) $在直线$ l: y=\dfrac{2}{3}x+m $上，将A点坐标代入直线解析式：
$ 2 = \dfrac{2}{3} × 6 + m $，解得$ m=-2 $，因此一次函数的解析式为$ y=\dfrac{2}{3}x - 2 $。
又因为点$ A(6,2) $在反比例函数$ y=\dfrac{k}{x} $的图象上，将A点坐标代入反比例函数解析式：
$ 2 = \dfrac{k}{6} $，解得$ k=12 $，因此反比例函数的解析式为$ y=\dfrac{12}{x} $。
(2) 求点C的坐标及直线l向上平移的距离：
因为$ ∠1=∠2 $，且反比例函数$ y=\dfrac{12}{x} $的图象关于直线$ y=x $对称，所以点A与点C关于直线$ y=x $对称，点$ A(6,2) $关于直线$ y=x $的对称点为$ C(2,6) $，即点C的坐标为$ (2,6) $。
直线平移时斜率不变，设直线l向上平移后所得直线$ l' $的解析式为$ y=\dfrac{2}{3}x + n $，将$ C(2,6) $代入该解析式：
$ 6 = \dfrac{2}{3} × 2 + n $，解得$ n=\dfrac{14}{3} $。
直线l原来的解析式为$ y=\dfrac{2}{3}x - 2 $，平移后的常数项为$ \dfrac{14}{3} $，所以向上平移的距离为$ \dfrac{14}{3} - (-2)=\dfrac{20}{3} $。
【答案】
(1) 一次函数解析式为$ y=\dfrac{2}{3}x - 2 $，反比例函数解析式为$ y=\dfrac{12}{x} $；
(2) 点C的坐标为$ (2,6) $，直线l向上平移的距离为$ \dfrac{20}{3} $。
【知识点】
反比例函数对称性、一次函数解析式、函数平移
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，第(1)问为基础的函数解析式求解，第(2)问需利用反比例函数的对称性找到点C的坐标，结合直线平移的性质解题，考查了学生对函数性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.5

11 如图,一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$在第一象限的图象交于点$P(n,2)$,与$x$轴交于点$A(-4,0)$,与$y$轴交于点$C$,$PB⊥ x$轴于点$B$,且$AC=BC$.
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式.
(2) 结合图象直接写出当$0＜ kx+b＜ \dfrac{m}{x}$时,$x$的取值范围.
(3) 反比例函数图象上是否存在点$D$,使以$B$,$C$,$P$,$D$为顶点的四边形是菱形? 如果存在,求出点$D$的坐标;如果不存在,请说明理由.

11. (1) $\because AC=BC,CO⊥AB,\therefore O$为$AB$的中点.$\because A(-4,0),\therefore B(4,0)$.$\therefore P(4,2)$.将$A(-4,0),P(4,2)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases} -4k+b=0, \\ 4k+b=2, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{4}, \\ b=1. \end{cases}$$\therefore$ 一次函数的解析式为$y=\dfrac{1}{4}x+1$.将$P(4,2)$代入$y=\dfrac{m}{x}$,得$2=\dfrac{m}{4}$,解得$m=8$.$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\dfrac{8}{x}$
(2) $0＜x＜4$
(3) 存在 $\because C(0,1),B(4,0),P(4,2),\therefore$ 易得$BC=\sqrt{17},PC=\sqrt{17},BP=2$.
$\therefore BC=PC≠BP$.$\therefore$ 以$B,C,P,D$为顶点的菱形的一组邻边为$BC,PC$.$\therefore$ 易得点$D$的坐标为$(8,1)$.对于$y=\dfrac{8}{x}$,当$x=8$时,$y=1$,$\therefore$ 点$D$在反比例函数的图象上.$\therefore$ 反比例函数图象上存在点$D$,使以$B,C,P,D$为顶点的四边形是菱形,点$D$的坐标为$(8,1)$

【分析】
首先利用等腰三角形三线合一的性质，由AC=BC、CO⊥AB得出O是AB中点，求出B点坐标，结合P点纵坐标得到P点坐标，代入一次函数和反比例函数解析式求解；第二问通过观察一次函数与反比例函数的图象交点及一次函数与x轴交点，确定x的取值范围；第三问先求出各点坐标，计算线段长度，结合菱形性质确定D点坐标，再验证是否在反比例函数图象上。
【解析】
(1) 因为AC=BC，CO⊥AB，根据等腰三角形三线合一，O为AB中点。已知A(-4,0)，则OA=4，所以OB=OA=4，即B(4,0)。
因为PB⊥x轴，点P在一次函数图象上，且P的纵坐标为2，所以P(4,2)。
将A(-4,0)、P(4,2)代入一次函数y=kx+b，得方程组：
$\begin{cases}-4k + b = 0 \\4k + b = 2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{4} \\b=1\end{cases}$，故一次函数解析式为$y=\dfrac{1}{4}x +1$。
将P(4,2)代入反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$，得$2=\dfrac{m}{4}$，解得m=8，故反比例函数解析式为$y=\dfrac{8}{x}$。
(2) 观察图象，一次函数与反比例函数在第一象限交于P(4,2)，一次函数与x轴交于A(-4,0)，当$0＜kx+b＜\dfrac{m}{x}$时，x的取值范围是0＜x＜4。
(3) 存在。先求各点坐标：C是一次函数与y轴交点，令x=0，得y=1，故C(0,1)；已知B(4,0)，P(4,2)。
计算线段长度：$BC=\sqrt{(4-0)^2 + (0-1)^2}=\sqrt{17}$，$PC=\sqrt{(4-0)^2 + (2-1)^2}=\sqrt{17}$，$BP=2$，所以BC=PC，即BC、PC为邻边可构成菱形。
根据菱形对边平行且相等，可得D点坐标为(8,1)。将x=8代入反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$，得y=1，故点D在反比例函数图象上，因此存在这样的点D，坐标为(8,1)。
【答案】
(1) 一次函数解析式为$y=\dfrac{1}{4}x+1$，反比例函数解析式为$y=\dfrac{8}{x}$；
(2) $0＜x＜4$；
(3) 存在，点D的坐标为(8,1)。
【知识点】
一次函数解析式、反比例函数解析式、菱形的判定
【点评】
本题综合考查一次函数、反比例函数与菱形的知识，需结合几何性质和函数图象求解，关键是利用等腰三角形性质求点坐标，再结合菱形性质确定未知点坐标，是一道综合性较强的中档题。
【难度系数】
0.5