1 关于二次函数 $y=2(x-3)^2+4$ 的最值,下列说法正确的是（）

A.有最大值 3
B.有最小值 3
C.有最大值 4
D.有最小值 4

1. D

【分析】
要解决这道题，需利用二次函数顶点式的性质：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$a$决定开口方向，$a＞0$时抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为顶点纵坐标$k$；$a＜0$时开口向下，函数有最大值，最大值为$k$。本题中函数是顶点式，先确定$a$和$k$的值，再判断最值情况，进而选出正确选项。
【解析】
对于二次函数$y=2(x-3)^2+4$，其符合顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中$a=2$，$h=3$，$k=4$。
因为$a=2＞0$，所以抛物线开口向上，函数存在最小值，最小值为顶点的纵坐标$k=4$。
因此该函数有最小值4，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数顶点式的最值性质，属于基础题型，只要掌握顶点式中$a$与$k$的意义，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8

2 如图,抛物线 $y=-x^{2}+4x+5$ 与 $x$ 轴相交于 $A,B$ 两点(点 $A$ 在点 $B$ 左侧),与 $y$ 轴交于点 $C$,连接 $BC$,有一动点 $D$ 在线段 $BC$ 上运动(不与点 $B,C$ 重合),过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线,交抛物线于点$E$,求 $DE$ 长的最大值.

令 $y=0$,则$-x^{2}+4x+5=0$,解得 $x_1=5,x_2=-1.$ $\because$ 点 A在点 B 左侧,$\therefore$ 点 B 的坐标是$(5,0).$ 令 $x=0$,则 $y=-x^2+4x+5=5$,$\therefore$ 点 C 的坐标是$(0,5).$ 设直线 BC 对应的函数解析式为 $y=kx+b(k≠0).$ 把 $B(5,0),C(0,5)$代入 $y=kx+b(k≠0)$,得$\begin{cases}5k+b=0,\\b=5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1,\\b=5.\end{cases}$ $\therefore$ 直线 BC 对应的函数解析式为 $y=-x+5.$ $\therefore$ 设点 D 的坐标是$(x,-x+5)$,则点 E 的坐标是$(x,-x^2+4x+5).$ $\therefore DE=-x^2+4x+5-(-x+5)=-x^2+5x=-(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{25}{4}.$ $\because$ 二次项系数为$-1＜0$,$\therefore DE$长的最大值为$\dfrac{25}{4}$

【分析】
要计算DE的最大值，需先明确点D、E的坐标关联：首先求出抛物线与x轴、y轴的交点B、C，进而得到直线BC的解析式；由于D在线段BC上，E在抛物线上且DE垂直x轴，因此D、E横坐标相同，将DE的长度表示为关于横坐标的二次函数，再利用二次函数的性质求其最大值。
【解析】
1. 求抛物线与坐标轴的交点：
令$ y=0 $，则$-x^2 +4x +5=0$，解方程得$x_1=5$，$x_2=-1$。
因点A在点B左侧，故点B的坐标为$(5,0)$；
令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=5$，故点C的坐标为$(0,5)$。
2. 求直线BC的解析式：
设直线BC的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$B(5,0)$、$C(0,5)$代入得：
$\begin{cases}5k + b=0 \\ b=5 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1 \\ b=5 \end{cases}$，因此直线BC的解析式为$y=-x+5$。
3. 计算DE的长度并求最大值：
设点D的横坐标为$x$（$0＜x＜5$，因D在线段BC上），则点D坐标为$(x, -x+5)$，点E坐标为$(x, -x^2+4x+5)$。
由于E在D上方，故$DE = (-x^2+4x+5) - (-x+5) = -x^2 +5x$。
对$DE=-x^2+5x$配方得：$DE=-(x-\frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4}$。
因二次项系数$-1＜0$，故当$x=\frac{5}{2}$时，DE取得最大值$\frac{25}{4}$。
【答案】
$\frac{25}{4}$
【知识点】
二次函数的最值、一次函数解析式、抛物线与坐标轴交点
【点评】
本题是代数与几何结合的典型题型，通过坐标关系将线段长度转化为二次函数，利用二次函数性质求最值，考查了坐标表示、直线解析式求解及二次函数最值的应用，是初中数学的重点内容。
【难度系数】
0.5

3 已知二次函数的图象$(0≤ x≤ 3)$如图所示,关于该函数在所给自变量的取值范围内,下列说法正确的是（）

A.有最小值 0,有最大值 3
B.有最小值$-1$,有最大值 0
C.有最小值$-1$,有最大值 3
D.有最小值$-1$,无最大值

3. C

【分析】要确定该二次函数在0≤x≤3范围内的最值，需观察图像：先找到区间内函数的最低点（顶点），其纵坐标为最小值；再找到区间右端点x=3对应的函数值，即为最大值，据此判断选项。
【解析】观察图像，该二次函数在0≤x≤3范围内，顶点坐标为(1,-1)，因此函数的最小值为-1；当x=3时，函数值为3，是该区间内的最大值。所以函数有最小值-1，最大值3，对应选项C。
【答案】C
【知识点】二次函数的图像、二次函数的最值
【点评】本题通过二次函数图像判断区间内的最值，关键是明确区间内的顶点和端点对应的函数值，属于基础题，难度较低，学生易掌握。
【难度系数】0.8

4 二次函数的图象($-2≤ x≤\sqrt{6}-1$)如图所示,在所给自变量的取值范围内,下列关于该函数的说法正确的是（）

A.有最大值4,无最小值
B.有最大值4,有最小值3
C.有最大值4,有最小值$-2$
D.有最大值3,有最小值$-2$

4. C

【分析】
要解决本题，需结合给定的自变量取值范围和二次函数图像，确定该范围内函数的最大值与最小值。首先观察图像，二次函数的顶点是函数的最高点，对应最大值；再结合自变量的取值范围，找到区间内的最小值点，通过图像读取对应函数值即可判断。
【解析】
1. 找最大值：从图像可知，二次函数的顶点坐标为$(-1,4)$，顶点是函数的最高点，因此在所给自变量范围内，函数的最大值为4。
2. 找最小值：题目中自变量的取值范围是$-2≤ x≤\sqrt{6}-1$，观察图像，区间右端点$x=\sqrt{6}-1$对应的函数值为$-2$，且在该区间内，所有点的函数值都大于等于$-2$，因此函数的最小值为$-2$。
综上，在所给自变量范围内，函数有最大值4，有最小值$-2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值；函数图像的应用
【点评】
本题考查二次函数在给定区间内的最值，核心是结合图像确定顶点的最大值，再对比区间端点的函数值确定最小值，需注意严格按照给定的自变量范围分析，避免超出范围判断。
【难度系数】
0.5

5 已知关于 $x$ 的二次函数 $y=-x^2+mx+m+1$ 的顶点的横坐标是 1.
(1) 求该二次函数的解析式；
(2) 当 $n≤ x≤ n+4$ 时,该二次函数有最大值 $-5$,求 $n$ 的值.

5. (1) $\because$ 关于 $x$ 的二次函数 $y=-x^2+mx+m+1$ 的顶点的横坐标是 1,即该二次函数的图象的对称轴为直线 $x=1$,
$\therefore -\dfrac{m}{2×(-1)}=1$,解得 $m=2.$ $\therefore y=-x^2+2x+3$
(2) 由(1)可知,$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4.$ $\because -1＜0$,$\therefore$ 该函数图象开口向下,且对称轴为直线 $x=1$,顶点坐标为$(1,4).$
$\therefore$ 在对称轴的左侧,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,在对称轴的右侧,$y$随 $x$ 的增大而减小. $\because$ 当 $n≤x≤n+4$ 时,函数有最大值$-5$,且$-5＜4$,$\therefore$ 当 $n≤x≤n+4$ 时,函数图象均在对称轴的同侧.
若 $n≤x≤n+4$ 在对称轴的右侧,可知 $n＞1$,当 $x=n$ 时,该函数有最大值,即$-n^2+2n+3=-5$,解得 $n=4$ 或 $n=-2$(舍去);
若 $n≤x≤n+4$ 在对称轴的左侧,可知 $n+4＜1$,即 $n＜-3$,当$x=n+4$ 时,该函数有最大值,即$-(n+4)^2+2(n+4)+3=-5$,解得 $n=-6$ 或 $n=0$(舍去). 综上所述,$n=-6$ 或 $n=4$

【分析】
首先，二次函数顶点的横坐标对应其对称轴，利用对称轴公式可求出参数$m$，进而确定解析式；其次，将函数化为顶点式，明确开口方向、对称轴及单调性，结合最大值小于顶点值，判断区间与对称轴的位置关系，分情况讨论区间在对称轴左侧或右侧，根据单调性求最大值，解方程并取舍得到$n$的值。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=-x^2+mx+m+1$，其中$a=-1$，$b=m$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。已知顶点横坐标为1，即对称轴为直线$x=1$，代入得：
$-\frac{m}{2×(-1)}=1$，解得$m=2$。
因此，二次函数解析式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 将解析式化为顶点式：
$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$。
因为$a=-1＜0$，函数图象开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,4)$，在对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧随$x$增大而减小。
已知当$n≤x≤n+4$时，最大值为$-5＜4$，说明区间$[n, n+4]$不在顶点处，分两种情况：
① 若区间在对称轴右侧（$n＞1$），函数在区间内随$x$增大而减小，最大值在$x=n$处取得：
$-n^2+2n+3=-5$，整理得$n^2-2n-8=0$，解得$n=4$或$n=-2$，因$n＞1$，舍去$n=-2$，得$n=4$。
② 若区间在对称轴左侧（$n+4＜1$即$n＜-3$），函数在区间内随$x$增大而增大，最大值在$x=n+4$处取得：
$-(n+4)^2+2(n+4)+3=-5$，整理得$n^2+6n+8=0$，解得$n=-6$或$n=-2$，因$n＜-3$，舍去$n=-2$，得$n=-6$。
综上，$n=-6$或$n=4$。
【答案】
$n=-6$或$n=4$
【知识点】
二次函数的对称轴；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数的性质，需利用对称轴公式求参数，结合函数单调性分类讨论区间与对称轴的位置，关键是正确分类并取舍不符合条件的解，避免漏解。
【难度系数】
0.5