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1.如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠1+∠2=
90°
.答案
$90°$
解析
【分析】
要计算∠1+∠2的度数，我们可以结合网格特征寻找解题突破口：首先观察网格中分别包含∠1、∠2的两个直角三角形，由于小正方形边长都相等，可得出两个三角形的直角边对应相等，再结合直角是公共的相等角，就能用SAS判定两个三角形全等；之后利用全等三角形对应角相等的性质，结合直角三角形两锐角互余的特点，就可以推导出∠1和∠2的和。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
观察图形可得：包含∠1的直角三角形的两条直角边长度分别为1和2，包含∠2的直角三角形的两条直角边长度也分别为1和2，且两个三角形的夹角均为90°。
根据三角形全等的SAS判定定理，可证这两个直角三角形全等。
由全等三角形对应角相等可知，∠1与∠2的余角相等，因此∠1 + ∠2 = 90°。
【答案】
$90°$
【知识点】
SAS判定全等、全等三角形的性质、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题结合网格背景考查全等三角形的应用，解题核心是观察图形找到全等的直角三角形，实现角的等量转化，属于基础的几何应用题型。
【难度系数】
0.7
要计算∠1+∠2的度数，我们可以结合网格特征寻找解题突破口：首先观察网格中分别包含∠1、∠2的两个直角三角形，由于小正方形边长都相等，可得出两个三角形的直角边对应相等，再结合直角是公共的相等角，就能用SAS判定两个三角形全等；之后利用全等三角形对应角相等的性质，结合直角三角形两锐角互余的特点，就可以推导出∠1和∠2的和。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
观察图形可得：包含∠1的直角三角形的两条直角边长度分别为1和2，包含∠2的直角三角形的两条直角边长度也分别为1和2，且两个三角形的夹角均为90°。
根据三角形全等的SAS判定定理，可证这两个直角三角形全等。
由全等三角形对应角相等可知，∠1与∠2的余角相等，因此∠1 + ∠2 = 90°。
【答案】
$90°$
【知识点】
SAS判定全等、全等三角形的性质、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题结合网格背景考查全等三角形的应用，解题核心是观察图形找到全等的直角三角形，实现角的等量转化，属于基础的几何应用题型。
【难度系数】
0.7
2.如图，△ABC，∠A=∠B，点D在AB上，∠EDF=α，交AC于点E，BC于点F，AD=BF，AE=BD，则∠C=
第2题图
180°-2α
。 第2题图答案
$180°-2α$ 提示:证△ADE≌△BFD(SAS)
解析
【分析】
首先梳理已知条件：有两组对应边相等（AD=BF、AE=BD），且两组边的夹角相等（∠A=∠B），可优先考虑用SAS判定定理证明△ADE和△BFD全等；全等后可得对应角相等，再结合平角的性质和三角形内角和定理，推导得出∠A、∠B与α的等量关系，最后在△ABC中利用内角和即可计算出∠C的度数。
【解析】
在$△ ADE$和$△ BFD$中：
$\begin{cases}AE=BD \\∠ A=∠ B \\AD=BF\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ BFD(\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ ADE=∠ BFD$
在$△ BFD$中，由三角形内角和得：$∠ BFD+∠ BDF+∠ B=180°$
$\because$点D在AB上，$∠ ADE+∠ EDF+∠ BDF=180°$，且$∠ EDF=α$
将$∠ ADE=∠ BFD$代入上式得：$∠ BFD+∠ BDF+α=180°$
对比$△ BFD$的内角和式子，可得$∠ B=α$
$\because ∠ A=∠ B$，$\therefore ∠ A=∠ B=α$
在$△ ABC$中，$∠ A+∠ B+∠ C=180°$
$\therefore ∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-2α$
【答案】
$180°-2α$
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题型，解题核心是根据已知的边角相等条件选择合适的全等判定定理，通过全等得到角的等量关系，再结合三角形内角和即可求解，主要考查基础的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
首先梳理已知条件：有两组对应边相等（AD=BF、AE=BD），且两组边的夹角相等（∠A=∠B），可优先考虑用SAS判定定理证明△ADE和△BFD全等；全等后可得对应角相等，再结合平角的性质和三角形内角和定理，推导得出∠A、∠B与α的等量关系，最后在△ABC中利用内角和即可计算出∠C的度数。
【解析】
在$△ ADE$和$△ BFD$中：
$\begin{cases}AE=BD \\∠ A=∠ B \\AD=BF\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ BFD(\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ ADE=∠ BFD$
在$△ BFD$中，由三角形内角和得：$∠ BFD+∠ BDF+∠ B=180°$
$\because$点D在AB上，$∠ ADE+∠ EDF+∠ BDF=180°$，且$∠ EDF=α$
将$∠ ADE=∠ BFD$代入上式得：$∠ BFD+∠ BDF+α=180°$
对比$△ BFD$的内角和式子，可得$∠ B=α$
$\because ∠ A=∠ B$，$\therefore ∠ A=∠ B=α$
在$△ ABC$中，$∠ A+∠ B+∠ C=180°$
$\therefore ∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-2α$
【答案】
$180°-2α$
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题型，解题核心是根据已知的边角相等条件选择合适的全等判定定理，通过全等得到角的等量关系，再结合三角形内角和即可求解，主要考查基础的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
3.如图,已知$AB=AD,BC=DE$,且$∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,BC$的延长线交$DE$于点$G,∠EAB=120°$,则$∠EGB$的度数为
115°
.答案
$115°$ 提示:证△ACB≌△AED(SAS)
解析
【分析】
首先观察已知条件，有两组边相等AB=AD、BC=DE，且两边的夹角∠B=∠D，可先利用SAS判定定理证明△ABC≌△ADE，得到对应角∠BAC=∠DAE。再结合已知的∠EAB=120°、∠CAD=10°，求出∠BAC的度数，再利用三角形内角和定理、对顶角相等、邻补角的性质逐步推导，最终求出∠EGB的度数。
【解析】
1. 证明三角形全等：
在△ABC和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD(\mathrm{已知})\\∠B=∠D(\mathrm{已知})\\BC=DE(\mathrm{已知})\end{array} $
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴∠BAC=∠DAE（全等三角形对应角相等）
2. 求∠BAC的度数：
∵∠EAB=∠DAE + ∠CAD + ∠BAC=120°，∠CAD=10°
∴2∠BAC + 10°=120°，解得∠BAC=55°
3. 推导∠EGB的度数：
在△ABC中，∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-25°-55°=100°
∴∠ACF=180°-∠ACB=80°（平角的定义）
在△ACF中，∠AFC=180°-∠ACF-∠CAD=180°-80°-10°=90°
∴∠DFG=∠AFC=90°（对顶角相等）
在△DGF中，∠DGF=180°-∠D-∠DFG=180°-25°-90°=65°
∵∠EGB与∠DGF互为邻补角
∴∠EGB=180°-∠DGF=180°-65°=115°
【答案】
$115°$
【知识点】
SAS判定全等；全等三角形性质；三角形内角和
【点评】
本题是全等三角形与角度计算的综合题，解题的核心是先通过SAS证明三角形全等得到对应角相等，再结合三角形内角和、对顶角、邻补角的性质逐步推导所求角度，需要学生理清图中角的和差关系。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，有两组边相等AB=AD、BC=DE，且两边的夹角∠B=∠D，可先利用SAS判定定理证明△ABC≌△ADE，得到对应角∠BAC=∠DAE。再结合已知的∠EAB=120°、∠CAD=10°，求出∠BAC的度数，再利用三角形内角和定理、对顶角相等、邻补角的性质逐步推导，最终求出∠EGB的度数。
【解析】
1. 证明三角形全等：
在△ABC和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD(\mathrm{已知})\\∠B=∠D(\mathrm{已知})\\BC=DE(\mathrm{已知})\end{array} $
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴∠BAC=∠DAE（全等三角形对应角相等）
2. 求∠BAC的度数：
∵∠EAB=∠DAE + ∠CAD + ∠BAC=120°，∠CAD=10°
∴2∠BAC + 10°=120°，解得∠BAC=55°
3. 推导∠EGB的度数：
在△ABC中，∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-25°-55°=100°
∴∠ACF=180°-∠ACB=80°（平角的定义）
在△ACF中，∠AFC=180°-∠ACF-∠CAD=180°-80°-10°=90°
∴∠DFG=∠AFC=90°（对顶角相等）
在△DGF中，∠DGF=180°-∠D-∠DFG=180°-25°-90°=65°
∵∠EGB与∠DGF互为邻补角
∴∠EGB=180°-∠DGF=180°-65°=115°
【答案】
$115°$
【知识点】
SAS判定全等；全等三角形性质；三角形内角和
【点评】
本题是全等三角形与角度计算的综合题，解题的核心是先通过SAS证明三角形全等得到对应角相等，再结合三角形内角和、对顶角、邻补角的性质逐步推导所求角度，需要学生理清图中角的和差关系。
【难度系数】
0.7
4.如图，$OA=OB$，$OC=OD$，$∠ AOB=∠ COD=90°$，$AD$，$BC$交于点$E$。
(1)求证：$△ AOD ≌ △ BOC$；
(2)求$∠ AEB$的度数。
(1)求证：$△ AOD ≌ △ BOC$；
(2)求$∠ AEB$的度数。
答案
(1)证明:
∵∠AOB=∠COD,
∴∠AOB+∠AOC=∠COD+∠AOC,
∴∠BOC=∠AOD,
在△AOD 和△BOC 中,$\because \begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOD=∠BOC, \\ OD=OC, \end{cases}$
∴△AOD≌△BOC(SAS);
(2)解:由(1)知△AOD≌△BOC,
∴∠A=∠B,∠AFE=∠BFO,
∴∠AEB=∠AOB=90°.
∵∠AOB=∠COD,
∴∠AOB+∠AOC=∠COD+∠AOC,
∴∠BOC=∠AOD,
在△AOD 和△BOC 中,$\because \begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOD=∠BOC, \\ OD=OC, \end{cases}$
∴△AOD≌△BOC(SAS);
(2)解:由(1)知△AOD≌△BOC,
∴∠A=∠B,∠AFE=∠BFO,
∴∠AEB=∠AOB=90°.
解析
【分析】
(1)要证明△AOD≌△BOC，已知两组对应边OA=OB、OC=OD，只需证明两边的夹角∠AOD=∠BOC即可。结合已知∠AOB=∠COD=90°，两个角同时加上公共角∠AOC，即可推出夹角相等，再用SAS判定定理即可证明全等。
(2)由全等三角形的性质可得对应角∠A=∠B，观察图形可知∠AFE和∠BFO是对顶角，度数相等，结合三角形内角和的特点，可推出∠AEB与∠AOB度数相等，即可求出结果。
【解析】
(1)证明:
∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB+∠AOC=∠COD+∠AOC，
∴∠BOC=∠AOD，
在△AOD 和△BOC 中，
$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOD=∠BOC, \\ OD=OC, \end{cases}$
∴△AOD≌△BOC(SAS);
(2)解:由(1)知△AOD≌△BOC，
∴∠A=∠B，
又
∵∠AFE=∠BFO（对顶角相等），
结合三角形内角和为180°，可得∠AEB=∠AOB=90°。
【答案】
(1)△AOD≌△BOC成立；(2)∠AEB=90°
【知识点】
SAS判定全等，全等三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题型，解题的关键是先通过角的和差关系得到全等所需的夹角相等，再结合角的等量代换求出未知角的度数，掌握SAS判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.8
(1)要证明△AOD≌△BOC，已知两组对应边OA=OB、OC=OD，只需证明两边的夹角∠AOD=∠BOC即可。结合已知∠AOB=∠COD=90°，两个角同时加上公共角∠AOC，即可推出夹角相等，再用SAS判定定理即可证明全等。
(2)由全等三角形的性质可得对应角∠A=∠B，观察图形可知∠AFE和∠BFO是对顶角，度数相等，结合三角形内角和的特点，可推出∠AEB与∠AOB度数相等，即可求出结果。
【解析】
(1)证明:
∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB+∠AOC=∠COD+∠AOC，
∴∠BOC=∠AOD，
在△AOD 和△BOC 中，
$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOD=∠BOC, \\ OD=OC, \end{cases}$
∴△AOD≌△BOC(SAS);
(2)解:由(1)知△AOD≌△BOC，
∴∠A=∠B，
又
∵∠AFE=∠BFO（对顶角相等），
结合三角形内角和为180°，可得∠AEB=∠AOB=90°。
【答案】
(1)△AOD≌△BOC成立；(2)∠AEB=90°
【知识点】
SAS判定全等，全等三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题型，解题的关键是先通过角的和差关系得到全等所需的夹角相等，再结合角的等量代换求出未知角的度数，掌握SAS判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.8
5.利用无刻度尺作图:A,B,C为格点,在下列图中找格点D,连CD,使$CD⊥ AB$.
答案
如图所示
解析
【分析】
要作$CD⊥AB$，可结合SAS判定三角形全等的知识思考：我们可以把AB看作直角三角形的斜边，该直角三角形的两条直角边分别沿网格水平、竖直方向，记水平直角边长为$m$，竖直直角边长为$n$。若要CD与AB垂直，只需构造CD为斜边的直角三角形，它的两条直角边长度分别为$n$、$m$，且两条直角边的方向相对AB的直角边旋转$90°$，根据SAS可证这两个直角三角形全等，通过对应角相等就能推导出CD与AB的夹角为$90°$，即$CD⊥AB$，按照这个思路找对应的格点D即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1个单位长度：
1. 图1：观察AB，水平方向向右走2格，竖直方向向上走3格，对应直角三角形直角边长为2、3；以与A重合的C为顶点作直角三角形，水平向左走3格，竖直向上走2格，得到格点D，连接CD。由SAS可证CD所在直角三角形与AB所在直角三角形全等，通过对应角互余可证$CD⊥AB$。
2. 图2：观察AB，水平方向向右走3格，竖直方向向上走1格，对应直角边长为3、1；以C为顶点作直角三角形，水平向右走1格，竖直向下走3格，得到格点D，连接CD，同理由SAS证全等，可得$CD⊥AB$。
3. 图3：观察AB，水平方向向右走2格，竖直方向向上走3格，对应直角边长为2、3；以C为顶点作直角三角形，水平向左走3格，竖直向上走2格，得到格点D，连接CD，同理可证$CD⊥AB$。
4. 图4：观察AB，水平方向向左走3格，竖直方向向上走1格，对应直角边长为3、1；以C为顶点作直角三角形，水平向右走1格，竖直向上走3格，得到格点D，连接CD，同理可证$CD⊥AB$。
【答案】
如图所示
【知识点】
网格作图，SAS判定全等，垂直判定
【点评】
本题属于网格作图类题型，将垂直的构造和全等三角形的判定相结合，需要同学们学会观察网格中线段的格点特征，灵活运用全等三角形的性质推导位置关系，能有效锻炼几何直观和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要作$CD⊥AB$，可结合SAS判定三角形全等的知识思考：我们可以把AB看作直角三角形的斜边，该直角三角形的两条直角边分别沿网格水平、竖直方向，记水平直角边长为$m$，竖直直角边长为$n$。若要CD与AB垂直，只需构造CD为斜边的直角三角形，它的两条直角边长度分别为$n$、$m$，且两条直角边的方向相对AB的直角边旋转$90°$，根据SAS可证这两个直角三角形全等，通过对应角相等就能推导出CD与AB的夹角为$90°$，即$CD⊥AB$，按照这个思路找对应的格点D即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1个单位长度：
1. 图1：观察AB，水平方向向右走2格，竖直方向向上走3格，对应直角三角形直角边长为2、3；以与A重合的C为顶点作直角三角形，水平向左走3格，竖直向上走2格，得到格点D，连接CD。由SAS可证CD所在直角三角形与AB所在直角三角形全等，通过对应角互余可证$CD⊥AB$。
2. 图2：观察AB，水平方向向右走3格，竖直方向向上走1格，对应直角边长为3、1；以C为顶点作直角三角形，水平向右走1格，竖直向下走3格，得到格点D，连接CD，同理由SAS证全等，可得$CD⊥AB$。
3. 图3：观察AB，水平方向向右走2格，竖直方向向上走3格，对应直角边长为2、3；以C为顶点作直角三角形，水平向左走3格，竖直向上走2格，得到格点D，连接CD，同理可证$CD⊥AB$。
4. 图4：观察AB，水平方向向左走3格，竖直方向向上走1格，对应直角边长为3、1；以C为顶点作直角三角形，水平向右走1格，竖直向上走3格，得到格点D，连接CD，同理可证$CD⊥AB$。
【答案】
如图所示
【知识点】
网格作图，SAS判定全等，垂直判定
【点评】
本题属于网格作图类题型，将垂直的构造和全等三角形的判定相结合，需要同学们学会观察网格中线段的格点特征，灵活运用全等三角形的性质推导位置关系，能有效锻炼几何直观和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
6.(2026·广东)如图,已知点C为线段AB上一点,分别以AC,BC为边在线段AB的同侧作△ACD和△BCE,且CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE.
(1)求证:AE=BD;
(2)点M,N分别为AE,BD中点,求证:CM=CN.
(1)求证:AE=BD;
(2)点M,N分别为AE,BD中点,求证:CM=CN.
答案
证明:(1)
∵∠ACD=∠BCE,
∴∠ACE=∠BCD,
在△ACE 和△DCB 中,$\begin{cases} AC=DC \\ ∠ACE=∠DCB, \\ CE=CB \end{cases}$
∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴AE=BD;
(2)由(1)知∠AEC=∠CBD,EM=BN,
在△CEM 和△CBN 中,$\begin{cases} CE=CB, \\ ∠AEC=∠CBN, \\ EM=BN, \end{cases}$
∴△CEM≌△CBN(SAS),
∴CM=CN.
∵∠ACD=∠BCE,
∴∠ACE=∠BCD,
在△ACE 和△DCB 中,$\begin{cases} AC=DC \\ ∠ACE=∠DCB, \\ CE=CB \end{cases}$
∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴AE=BD;
(2)由(1)知∠AEC=∠CBD,EM=BN,
在△CEM 和△CBN 中,$\begin{cases} CE=CB, \\ ∠AEC=∠CBN, \\ EM=BN, \end{cases}$
∴△CEM≌△CBN(SAS),
∴CM=CN.
解析
【分析】
(1) 要证线段相等，优先考虑证明线段所在的三角形全等。观察可知AE、BD分别在△ACE和△DCB中，已知两组对应边AC=DC、CE=CB，只需证两边的夹角相等：由∠ACD=∠BCE，两个角同时加公共角∠DCE可得∠ACE=∠BCD，即可用SAS判定两个三角形全等，得到对应边AE=BD。
(2) 要证CM=CN，仍用全等思路：由(1)的全等可得∠AEC=∠CBD，且AE=BD；结合M、N是AE、BD的中点，可推出EM=BN，再结合已知CE=CB，用SAS判定△CEM和△CBN全等，即可得到对应边CM=CN。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD，
在△ACE 和△DCB 中，
$\begin{cases} AC=DC \\ ∠ACE=∠DCB \\ CE=CB \end{cases}$
∴△ACE≌△DCB(SAS)，
∴AE=BD。
(2) 证明：
由(1)知△ACE≌△DCB，
∴∠AEC=∠CBD，AE=BD，
∵点M,N分别为AE,BD中点，
∴$EM=\frac{1}{2}AE$，$BN=\frac{1}{2}BD$，
∴EM=BN，
在△CEM 和△CBN 中，
$\begin{cases} CE=CB \\ ∠MEC=∠NBC \\ EM=BN \end{cases}$
∴△CEM≌△CBN(SAS)，
∴CM=CN。
【答案】
(1) 证明见上述解析，AE=BD成立；
(2) 证明见上述解析，CM=CN成立。
【知识点】
SAS判定全等、全等三角形的性质、线段中点的定义
【点评】
本题属于典型的手拉手全等模型题，核心考查全等三角形的SAS判定方法和全等三角形对应边、对应角相等的性质，解题的关键是通过角的和差关系得到全等所需的夹角相等，结合已知条件即可逐步推导结论。
【难度系数】
0.7
(1) 要证线段相等，优先考虑证明线段所在的三角形全等。观察可知AE、BD分别在△ACE和△DCB中，已知两组对应边AC=DC、CE=CB，只需证两边的夹角相等：由∠ACD=∠BCE，两个角同时加公共角∠DCE可得∠ACE=∠BCD，即可用SAS判定两个三角形全等，得到对应边AE=BD。
(2) 要证CM=CN，仍用全等思路：由(1)的全等可得∠AEC=∠CBD，且AE=BD；结合M、N是AE、BD的中点，可推出EM=BN，再结合已知CE=CB，用SAS判定△CEM和△CBN全等，即可得到对应边CM=CN。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD，
在△ACE 和△DCB 中，
$\begin{cases} AC=DC \\ ∠ACE=∠DCB \\ CE=CB \end{cases}$
∴△ACE≌△DCB(SAS)，
∴AE=BD。
(2) 证明：
由(1)知△ACE≌△DCB，
∴∠AEC=∠CBD，AE=BD，
∵点M,N分别为AE,BD中点，
∴$EM=\frac{1}{2}AE$，$BN=\frac{1}{2}BD$，
∴EM=BN，
在△CEM 和△CBN 中，
$\begin{cases} CE=CB \\ ∠MEC=∠NBC \\ EM=BN \end{cases}$
∴△CEM≌△CBN(SAS)，
∴CM=CN。
【答案】
(1) 证明见上述解析，AE=BD成立；
(2) 证明见上述解析，CM=CN成立。
【知识点】
SAS判定全等、全等三角形的性质、线段中点的定义
【点评】
本题属于典型的手拉手全等模型题，核心考查全等三角形的SAS判定方法和全等三角形对应边、对应角相等的性质，解题的关键是通过角的和差关系得到全等所需的夹角相等，结合已知条件即可逐步推导结论。
【难度系数】
0.7
