15. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中,点 $A$ 的坐标为 $(8,5)$,$\odot A$ 与 $x$ 轴相切,点 $P$ 在 $y$ 轴上,$PB$ 与 $\odot A$ 相切于点 $B$. 若 $∠ APB=30^{ \circ }$,则点 $P$ 的坐标为.

15.(0,11)或(0,−1)

16. 已知直线 $l_{1} // l_{2}$，$l_{1}$，$l_{2}$ 之间的距离是 5 cm，圆心 O 到直线 $l_{1}$ 的距离是 2 cm，如果 $\odot O$ 与直线$l_{1},l_{2}$有三个公共点，那么$\odot O$的半径为cm.

16.3或7

17.(2025·金坛区期中)在平面直角坐标系中,以点$(3,-4)$为圆心,$r$为半径的圆与坐标轴有且只有3个公共点,则$r$的值为.

17.4或5

18. (2025·盐城模拟)如图，$\odot O$的半径$OA=3$，$B$是$\odot O$上的动点(不与点$A$重合)，过点$B$作$\odot O$的切线$BC$，且$BC=OA$，连接$OC$，$AC$. 当$△ OAC$是直角三角形时，其斜边长为.

18.$3\sqrt{3}$或$3\sqrt{2}$

19. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$AB ⊥ AC$,$AB=6$,$BC=10$,点$P$在对角线$AC$上运动(点$P$不与点$A$重合),以点$P$为圆心,$PA$的长为半径作$\odot P$.
(1)当$\odot P$与边$CD$相切时,$AP=$;
(2)当$\odot P$与边$BC$相切时,求$AP$的长;
(3)随着$AP$的变化,$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数也在变化. 请根据$AP$的取值范围探索$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数.

19.(1)4
(2)解:如答图①所示,当$\odot P$与边$BC$相切时,设切点为E,连接PE.
$\therefore AP=PE,PE⊥ BC.$
$\because AB⊥ AC,\therefore BA$是$\odot P$的切线,
$\therefore BE=AB=6,\therefore CE=BC-BE=4.$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=6,BC=10$,则$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8.$
设$AP=PE=x$,则$CP=AC-AP=8-x.$
在$\mathrm{Rt}△ PEC$中,由勾股定理,得$CP^2=CE^2+PE^2$,
$\therefore (8-x)^2=4^2+x^2$,解得$x=3$,$\therefore AP=3.$
(3)解:由(2)可知,当$AP=3$时,$\odot P$与$BC$相切,此时$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为3.
如答图②所示,当$0＜AP＜3$时,$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为2.
由(1)可知当$AP=4$时,$\odot P$与$CD$相切,此时$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为4.
如答图③所示,当$3＜AP＜4$时,$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为4.
如答图④所示,当$\odot P$恰好经过点$D$时,此时$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为3.
连接$DP$,设$AP=PD=y$,则$CP=AC-AP=8-y.$
在平行四边形$ABCD$中,$AB// CD$,
$\therefore ∠ ACD=∠ BAC=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ PDC$中,由勾股定理,得$DP^2=CP^2+CD^2$,
$\therefore y^2=(8-y)^2+6^2$,解得$y=\dfrac{25}{4}.$
如答图⑤所示,当$4＜AP＜\dfrac{25}{4}$时,$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为4.
如答图⑥所示,当$\dfrac{25}{4}＜AP≤8$时,$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为2.
综上所述,
当$0＜AP＜3$时,$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为2;
当$AP=3$时,$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为3;
当$3＜AP＜\dfrac{25}{4}$时,$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为4;
当$AP=\dfrac{25}{4}$时,$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为3;
当$\dfrac{25}{4}＜AP≤8$时,$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为2.

20. 如图,将半径为 4 的圆形纸片沿半径 $OA,OB$ 截成 $1:5$ 两部分,用所得的扇形围成圆锥的侧面,则圆锥的底面圆半径为
（）

A.2
B.$\dfrac{10}{3}$
C.$\dfrac{2}{3}$或$\dfrac{10}{3}$
D.$\dfrac{1}{3}$或$\dfrac{5}{3}$

20.C

21. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°, AC=20, BC=15$, 绕 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 的一边所在直线旋转一周得到一个几何体,则这个几何体的表面积为.

21.$600π$或$900π$或$420π$