10. (★★)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=$$90°$,$CD// AB$,$DE⊥ AC$,垂足为$E$,且$AB=CE$,连接$AD$。求证:$△ ACD$是等腰三角形。

$\because$ $CD// AB$,$\therefore$ $\boldsymbol{∠ BAC=∠ DCE}$。
$\because$ $DE⊥ AC$,
$\therefore$ $\boldsymbol{∠ B=∠ DEC=90°}$。
$\because$ $AB=CE$,
$\therefore$ $\boldsymbol{△ ABC≌△ CED(ASA)}$。
$\therefore$ $\boldsymbol{AC=CD}$。
$\therefore$ $\boldsymbol{△ ACD}$是等腰三角形。

11. (★★)如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AD⊥ BC$于点$D$,$BE$平分$∠ ABC$,交$AC$于点$E$。求证:$△ AEF$是等腰三角形。

$\because$ 在$△ ABC$中, $\boldsymbol{∠ BAC = 90°}$, $AD⊥ BC$,
$\therefore$ $\boldsymbol{∠ BAD+∠ CAD=90°,∠ CAD+∠ C=90°}$。$\therefore$ $\boldsymbol{∠ BAD=∠ C}$。
$\because$ $BE$平分$∠ ABC$,$\therefore$ $\boldsymbol{∠ ABF=∠ CBE}$。
$\because$ $\boldsymbol{∠ AFE = ∠ ABF + ∠ BAD,∠ AEF = ∠ CBE+∠ C}$,
$\therefore$ $\boldsymbol{∠ AFE=∠ AEF}$。 $\therefore$ $\boldsymbol{AF=AE}$,
即$\boldsymbol{△ AEF}$是等腰三角形。

12. (★★)用反证法证明命题:三角形的三个内角中,至少有一个内角小于或等于$60°$。第一步应先假设。

三角形的三个内角都大于$60°$

13. (★★)已知:$m$是正整数,且$m^{2}$是偶数。求证:$m$是偶数。(注:利用反证法证明)

假设$m$不是偶数,则$m$为奇数。设$\boldsymbol{m=2n+1(n}$为整数$\boldsymbol{)}$,则$\boldsymbol{m^{2}=(2n+1)^{2}=4n^{2}+4n+1=4(n^{2}+n)+1}$。
$\because$ $\boldsymbol{4(n^{2}+n)}$为偶数,
$\therefore$ $\boldsymbol{4(n^{2}+n)+1}$为奇数。这与$m^{2}$为偶数矛盾。
$\therefore$ 假设不成立。故$\boldsymbol{m}$为偶数。

14. (★★★)如图,已知$P$是射线$MN$上一动点,$∠ AMN=40°$,当$∠ A$的度数为时,$△ AMP$是等腰三角形。

$100°$或$70°$或$40°$

15. (★★★)在平面直角坐标系中,$A(2,-2)$,在$y$轴上确定点$P$,使$△ AOP$为等腰三角形,则符合条件的点$P$共有个,且点$P$的坐标为。

4；$(0,2\sqrt{2})$或$(0,-2)$或$(0,-2\sqrt{2})$或$(0,-4)$