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综合与实践 因式分解在数形结合中的应用与拓展
将几何图形与代数式结合起来探究整式的变化,即运用数形结合感悟代数与几何之间的联系是常见的数学思想。例如,在图①中,较大的正方形的边长为$a+b$,面积为$(a+b)^{2}$,该正方形由2个长方形和2个较小的正方形组成,所以较大的正方形的面积又可表示为$a^{2}+2ab+b^{2}$。由面积恒等可得完全平方公式$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$。
类似地,通过不同的方法求同一个立体图形的体积,我们称为等体积法。根据学习的经验,试着解决下列问题:在一个棱长为$a$的正方体中挖出一个棱长为$b$的正方体(如图②),然后利用切割的方法把剩余的立体图形(如图③)分成三部分(如图④),这三部分长方体的体积依次为$b^{2}(a-b)$,$ab(a-b)$,$a^{2}(a-b)$。
(1)分解因式:$a^{2}(a-b)+ab(a-b)+b^{2}(a-b)=$
(2)请借助图②、图③、图④用两种不同的方法表示图②中的立体图形的体积(用含有$a,b$的代数式表示):
①
②
思考:类比平方差公式,你能得到的等式(写成因式分解的形式)为
(3)应用:利用在(2)中所得到的等式进行因式分解:$x^{3}-8$。
(4)拓展:已知$a-b=1$,$ab=2$,代数式$a^{4}b-ab^{4}$的值为
将几何图形与代数式结合起来探究整式的变化,即运用数形结合感悟代数与几何之间的联系是常见的数学思想。例如,在图①中,较大的正方形的边长为$a+b$,面积为$(a+b)^{2}$,该正方形由2个长方形和2个较小的正方形组成,所以较大的正方形的面积又可表示为$a^{2}+2ab+b^{2}$。由面积恒等可得完全平方公式$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$。
类似地,通过不同的方法求同一个立体图形的体积,我们称为等体积法。根据学习的经验,试着解决下列问题:在一个棱长为$a$的正方体中挖出一个棱长为$b$的正方体(如图②),然后利用切割的方法把剩余的立体图形(如图③)分成三部分(如图④),这三部分长方体的体积依次为$b^{2}(a-b)$,$ab(a-b)$,$a^{2}(a-b)$。
(1)分解因式:$a^{2}(a-b)+ab(a-b)+b^{2}(a-b)=$
$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
。(2)请借助图②、图③、图④用两种不同的方法表示图②中的立体图形的体积(用含有$a,b$的代数式表示):
①
$a^{3}-b^{3}$
;②
$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
。思考:类比平方差公式,你能得到的等式(写成因式分解的形式)为
$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
。(3)应用:利用在(2)中所得到的等式进行因式分解:$x^{3}-8$。
(4)拓展:已知$a-b=1$,$ab=2$,代数式$a^{4}b-ab^{4}$的值为
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。答案
(1) $(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
(2) ① $a^{3}-b^{3}$；② $(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
思考：$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
(3) $x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4)$
(4) 14
(2) ① $a^{3}-b^{3}$；② $(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
思考：$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
(3) $x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4)$
(4) 14
