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1. 有一张三角形纸片$ABC$，$∠ B = ∠ C = x°$.将纸片按如图所示的方案用剪刀沿着箭头方向剪开，其中可能得不到全等三角形纸片的是（
C
）答案
1. C
2. 如图，$△ ABC$ 的面积为 16，$AD$ 平分$∠ BAC$，且 $AD⊥ BD$ 于点 $D$，连接 $CD$，则$△ ADC$ 的面积是（
A.6
B.8
C.10
D.12
B
）A.6
B.8
C.10
D.12
答案
2. B 提示:延长 BD 交 AC 于点 E. 根据 AD 平分∠BAE,AD⊥BD,易证△ABD≌△AED(ASA),所以 BD=ED,所以 $S_{△ ABD}=S_{△ AED},S_{△ BDC}=S_{△ CDE}$,所以 $S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×16=8$.
3. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$E$为$AB$的中点,$D$为边$AC$上一点,$BF// AC$交$DE$的延长线于点$F$. 若$AC=8,BC=6$,则四边形$FBCD$周长的最小值是
20
.答案
3. 20 提示:易证△BFE≌△ADE,所以 BF=AD. 所以四边形 FBCD 的周长为 BC+BF+FD+DC=6+FD+(BF+DC)=6+FD+(AD+DC)=14+FD,所以当 FD 的长最小时,四边形 FBCD 的周长最小. 由"垂线段最短"可知,当 FD⊥AC 时,FD 的长最小,此时 FD=BC=6(平行线间的距离处处相等),所以四边形 FBCD 周长的最小值是 14+6=20.
4.（2024 连云港市海州区期中）如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB＞BC$，点$D$在边$BC$上，$CD=2BD$，点$E$，$F$在线段$AD$上，$∠ 1=∠ 2=∠ BAC$。若$△ BDE$的面积为2，$△ ABC$的面积为 21，则$△ CFD$的面积为
9
。答案
4. 9 提示:因为∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠ABE+∠BAE,∠2 = ∠ACF + ∠CAF, ∠BAC = ∠CAF+∠BAE,所以∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠ACF. 又因为 AB=CA,所以△ABE≌△CAF(ASA),所以 $S_{△ ABE}=S_{△ CAF}$. 因为 CD=2BD,所以 $S_{△ ACD}=2S_{△ ABD}$, 所以 $S_{△ ACD}=\frac{2}{3}S_{△ ABC}=14$,$S_{△ ABD}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=7$. 所以 $S_{△ CAF}=S_{△ ABE}=S_{△ ABD}-S_{△ BDE}=5$,所以 $S_{△ CFD}=S_{△ ACD}-S_{△ CAF}=9$.
5. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB=AD$,$AC=5$,$CD=1$,$∠ DAB=∠ DCB=90°$,则四边形$ABCD$的面积为
12.5
.答案
5. 12.5 提示:如图,过点 A 作 AE⊥AC,交 CB 的延长线于点 E. 因为∠DAB=∠DCB=90°,所以∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC,所以∠D=∠ABE. 因为∠DAB=∠CAE=90°,所以∠CAD=∠EAB. 又因为 AD=AB,所以△ACD≌△AEB(ASA),所以 AC=AE=5,$S_{△ ACD}=S_{△ AEB}$,所以四边形 ABCD 的面积与△ACE 的面积相等. 因为 $S_{△ ACE}=\frac{1}{2}×5×5=12.5$,所以四边形 ABCD 的面积为 12.5.
6. 某校七年级学生到野外活动,为测量一池塘两端 A,B 的距离,甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案.
甲:如图 1,先在平地取一个可直接到达点A,B 的点 C,再连接 AC,BC,并分别延长AC 至点 D,BC 至点 E,使 $DC=AC,EC=$$BC$,最后测出 $DE$ 的长即为点 A,B 的距离.
乙:如图 2,先过点 B 作 AB 的垂线 BF,再在 BF 上取 C,D 两点,使
丙:如图 3,过点 B 作 $BD ⊥ AB$,再由点 D观测,在 AB 的延长线上取一点 C,使
(1) 请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分.
乙:
(2) 请你选择其中一种方案进行说明理由.
甲:如图 1,先在平地取一个可直接到达点A,B 的点 C,再连接 AC,BC,并分别延长AC 至点 D,BC 至点 E,使 $DC=AC,EC=$$BC$,最后测出 $DE$ 的长即为点 A,B 的距离.
乙:如图 2,先过点 B 作 AB 的垂线 BF,再在 BF 上取 C,D 两点,使
CB=CD
,接着过点 D 作 BD 的垂线 DE,交 AC 的延长线于点 E,则测出 DE 的长即为点 A,B 的距离.丙:如图 3,过点 B 作 $BD ⊥ AB$,再由点 D观测,在 AB 的延长线上取一点 C,使
∠BDC=∠BDA
,这时只要测出 BC 的长即为点A,B 的距离.(1) 请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分.
乙:
CB=CD
;丙:∠BDC=∠BDA
.(2) 请你选择其中一种方案进行说明理由.
答案
6. 解:(1) CD=BC ∠BDC=∠BDA
(2) 选甲: 在△ABC 和△DEC 中,
$\begin{cases} AC=DC, \\ ∠ACB=∠DCE, \\ BC=EC, \end{cases}$
所以△ABC≌△DEC(SAS). 所以 AB=DE.
选乙: 因为 AB⊥BD,DE⊥BD,所以∠B=∠CDE=90°. 在△ABC 和△EDC 中,$\begin{cases} ∠ABC=∠EDC, \\ CB=CD, \\ ∠ACB=∠ECD, \end{cases}$ 所以△ABC≌△EDC(ASA).所以 AB=ED.
选丙: 在△ABD 和△CBD 中,
$\begin{cases} ∠ABD=∠CBD, \\ BD=BD, \\ ∠ADB=∠CDB, \end{cases}$
所以△ABD≌△CBD(ASA).所以 AB=BC.
(2) 选甲: 在△ABC 和△DEC 中,
$\begin{cases} AC=DC, \\ ∠ACB=∠DCE, \\ BC=EC, \end{cases}$
所以△ABC≌△DEC(SAS). 所以 AB=DE.
选乙: 因为 AB⊥BD,DE⊥BD,所以∠B=∠CDE=90°. 在△ABC 和△EDC 中,$\begin{cases} ∠ABC=∠EDC, \\ CB=CD, \\ ∠ACB=∠ECD, \end{cases}$ 所以△ABC≌△EDC(ASA).所以 AB=ED.
选丙: 在△ABD 和△CBD 中,
$\begin{cases} ∠ABD=∠CBD, \\ BD=BD, \\ ∠ADB=∠CDB, \end{cases}$
所以△ABD≌△CBD(ASA).所以 AB=BC.
