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12. 如果不等式组$\begin{cases}2x - b ＜ 3, \\ \dfrac{x}{2} + a ≥ 2\end{cases}$的解集是$0 ≤ x ＜ 1$，那么$a - b$的值为 ______ .
答案
12.3
解析
【分析】
要解决本题，首先需分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到用参数a、b表示的解集范围，再结合题目给出的已知解集，将解集的左右端点分别对应相等，建立关于a、b的一元一次方程，求出a、b的取值后代入a-b计算即可得到结果。
【解析】
第一步：分别解两个不等式
解不等式$2x - b ＜ 3$：
移项得$2x ＜ 3 + b$，
两边同时除以2，得$x ＜ \frac{3 + b}{2}$。
解不等式$\frac{x}{2} + a ≥ 2$：
移项得$\frac{x}{2} ≥ 2 - a$，
两边同时乘2，得$x ≥ 4 - 2a$。
第二步：写出不等式组的解集
综合两个不等式的解，不等式组的解集为$4 - 2a ≤ x ＜ \frac{3 + b}{2}$。
第三步：结合已知解集求参数
已知不等式组的解集是$0 ≤ x ＜ 1$，因此解集的端点对应相等：
$\begin{cases}4 - 2a = 0 \\ \frac{3 + b}{2} = 1\end{cases}$
解第一个方程：$4 - 2a = 0$，移项得$2a = 4$，解得$a = 2$。
解第二个方程：$\frac{3 + b}{2} = 1$，两边乘2得$3 + b = 2$，解得$b = -1$。
第四步：计算$a - b$的值
将$a=2$，$b=-1$代入得：$a - b = 2 - (-1) = 3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 不等式组解集的应用
3. 代数式求值
【点评】
本题是不等式组的典型题型，考查根据已知解集反求参数的能力，解题核心是准确解出含参数的不等式，再利用解集的对应关系建立方程求解，需注意不等号方向是否改变，计算时要细心。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到用参数a、b表示的解集范围，再结合题目给出的已知解集，将解集的左右端点分别对应相等，建立关于a、b的一元一次方程，求出a、b的取值后代入a-b计算即可得到结果。
【解析】
第一步：分别解两个不等式
解不等式$2x - b ＜ 3$：
移项得$2x ＜ 3 + b$，
两边同时除以2，得$x ＜ \frac{3 + b}{2}$。
解不等式$\frac{x}{2} + a ≥ 2$：
移项得$\frac{x}{2} ≥ 2 - a$，
两边同时乘2，得$x ≥ 4 - 2a$。
第二步：写出不等式组的解集
综合两个不等式的解，不等式组的解集为$4 - 2a ≤ x ＜ \frac{3 + b}{2}$。
第三步：结合已知解集求参数
已知不等式组的解集是$0 ≤ x ＜ 1$，因此解集的端点对应相等：
$\begin{cases}4 - 2a = 0 \\ \frac{3 + b}{2} = 1\end{cases}$
解第一个方程：$4 - 2a = 0$，移项得$2a = 4$，解得$a = 2$。
解第二个方程：$\frac{3 + b}{2} = 1$，两边乘2得$3 + b = 2$，解得$b = -1$。
第四步：计算$a - b$的值
将$a=2$，$b=-1$代入得：$a - b = 2 - (-1) = 3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 不等式组解集的应用
3. 代数式求值
【点评】
本题是不等式组的典型题型，考查根据已知解集反求参数的能力，解题核心是准确解出含参数的不等式，再利用解集的对应关系建立方程求解，需注意不等号方向是否改变，计算时要细心。
【难度系数】
0.7
13. 解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1) $2(2x - 1) - 3(5x + 1) ≤ 6$；
(2) $\frac{2x + 3}{6} - 1 ＞ \frac{x - 1}{2}$。
(1) $2(2x - 1) - 3(5x + 1) ≤ 6$；
(2) $\frac{2x + 3}{6} - 1 ＞ \frac{x - 1}{2}$。
答案
13.(1)$x≥-1$，解集在数轴上的表示如答图2-8-1.
(2)$x＜0$，解集在数轴上的表示如答图2-8-2.
解析
【分析】
解一元一次不等式的步骤与一元一次方程类似，依次为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，需注意两点：①去分母时不要漏乘不含分母的常数项；②系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要改变。在数轴表示解集时，包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈，大于向右延伸，小于向左延伸。
【解析】
(1) 解不等式$2(2x - 1) - 3(5x + 1) ≤ 6$：
①去括号，得 $4x - 2 - 15x - 3 ≤ 6$
②合并同类项，得 $-11x - 5 ≤ 6$
③移项，得 $-11x ≤ 6 + 5$，即 $-11x ≤ 11$
④系数化为1：不等号两边同时除以-11，不等号方向改变，得 $x ≥ -1$
解集在数轴上表示为-1处画实心圆点，向右延伸，对应答图2-8-1。
(2) 解不等式$\frac{2x + 3}{6} - 1 ＞ \frac{x - 1}{2}$：
①去分母：两边同时乘6，得 $2x + 3 - 6 ＞ 3(x - 1)$
②去括号，得 $2x - 3 ＞ 3x - 3$
③移项，得 $2x - 3x ＞ -3 + 3$
④合并同类项，得 $-x ＞ 0$
⑤系数化为1：不等号两边同时除以-1，不等号方向改变，得 $x ＜ 0$
解集在数轴上表示为0处画空心圆圈，向左延伸，对应答图2-8-2。
【答案】
(1)$x≥-1$，解集在数轴上的表示如答图2-8-1.
(2)$x＜0$，解集在数轴上的表示如答图2-8-2.
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式的性质、解集的数轴表示
【点评】
本题是一元一次不等式的基础考察题，解题时需注意去括号的符号变化、去分母时常数项也要乘公分母，系数为负化系数为1时要改变不等号方向，数轴表示解集时要准确区分实心点和空心圆圈的使用。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式的步骤与一元一次方程类似，依次为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，需注意两点：①去分母时不要漏乘不含分母的常数项；②系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要改变。在数轴表示解集时，包含端点用实心圆点，不包含端点用空心圆圈，大于向右延伸，小于向左延伸。
【解析】
(1) 解不等式$2(2x - 1) - 3(5x + 1) ≤ 6$：
①去括号，得 $4x - 2 - 15x - 3 ≤ 6$
②合并同类项，得 $-11x - 5 ≤ 6$
③移项，得 $-11x ≤ 6 + 5$，即 $-11x ≤ 11$
④系数化为1：不等号两边同时除以-11，不等号方向改变，得 $x ≥ -1$
解集在数轴上表示为-1处画实心圆点，向右延伸，对应答图2-8-1。
(2) 解不等式$\frac{2x + 3}{6} - 1 ＞ \frac{x - 1}{2}$：
①去分母：两边同时乘6，得 $2x + 3 - 6 ＞ 3(x - 1)$
②去括号，得 $2x - 3 ＞ 3x - 3$
③移项，得 $2x - 3x ＞ -3 + 3$
④合并同类项，得 $-x ＞ 0$
⑤系数化为1：不等号两边同时除以-1，不等号方向改变，得 $x ＜ 0$
解集在数轴上表示为0处画空心圆圈，向左延伸，对应答图2-8-2。
【答案】
(1)$x≥-1$，解集在数轴上的表示如答图2-8-1.
(2)$x＜0$，解集在数轴上的表示如答图2-8-2.
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式的性质、解集的数轴表示
【点评】
本题是一元一次不等式的基础考察题，解题时需注意去括号的符号变化、去分母时常数项也要乘公分母，系数为负化系数为1时要改变不等号方向，数轴表示解集时要准确区分实心点和空心圆圈的使用。
【难度系数】
0.8
14. 已知方程组$\begin{cases} x - y = 1 + 3a, \\ x + y = -7 - a \end{cases}$的解$x$为非正数，$y$为负数.
(1) 求$a$的取值范围；
(2) 当$a$为何整数时，不等式$2ax + x ＞ 2a + 1$的解集为$x ＜ 1$？
(1) 求$a$的取值范围；
(2) 当$a$为何整数时，不等式$2ax + x ＞ 2a + 1$的解集为$x ＜ 1$？
答案
14.(1)$-2＜a≤3$ (2)$a=-1$
解析
【分析】
(1) 首先通过加减消元法解二元一次方程组，将x、y用含a的代数式表示，再根据“x为非正数（x≤0）、y为负数（y＜0）”的条件列出关于a的一元一次不等式组，求解即可得到a的取值范围。
(2) 先对不等式2ax + x ＞ 2a + 1进行化简整理，根据不等式的解集为x＜1可知不等号方向发生了改变，由不等式的性质可推出未知数的系数为负数，由此得到关于a的不等式，再结合(1)中a的取值范围找出符合条件的整数a即可。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases} x - y = 1 + 3a ① \\ x + y = -7 - a ② \end{cases}$
①+②得：$2x = 2a - 6$，解得$x = a - 3$
②-①得：$2y = -8 - 4a$，解得$y = -4 - 2a$
∵x为非正数，y为负数
∴$\begin{cases} a - 3 ≤ 0 \\ -4 - 2a ＜ 0 \end{cases}$
解不等式$a - 3 ≤ 0$得：$a ≤ 3$
解不等式$-4 - 2a ＜ 0$得：$-2a ＜ 4$，即$a ＞ -2$
∴a的取值范围是$-2 ＜ a ≤ 3$
(2) 整理不等式$2ax + x ＞ 2a + 1$，提取公因式得：
$(2a + 1)x ＞ 2a + 1$
∵该不等式的解集为$x ＜ 1$，不等号方向发生改变
∴根据不等式的性质，两边同时除以的系数$2a + 1 ＜ 0$
解得：$a ＜ -\frac{1}{2}$
结合(1)中a的取值范围$-2 ＜ a ≤ 3$，可得a的取值范围为$-2 ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$
∵a为整数，
∴符合条件的a为$-1$
【答案】
(1)$-2＜a≤3$ (2)$a=-1$
【知识点】
二元一次方程组的解法；一元一次不等式组的应用；不等式的基本性质
【点评】
本题是方程组与不等式的综合题，解题的核心是先求出参数表示的方程组解，再结合题目的限制条件列不等式求解，第二问需要注意不等式两边除以负数时不等号方向要改变，是代数基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
(1) 首先通过加减消元法解二元一次方程组，将x、y用含a的代数式表示，再根据“x为非正数（x≤0）、y为负数（y＜0）”的条件列出关于a的一元一次不等式组，求解即可得到a的取值范围。
(2) 先对不等式2ax + x ＞ 2a + 1进行化简整理，根据不等式的解集为x＜1可知不等号方向发生了改变，由不等式的性质可推出未知数的系数为负数，由此得到关于a的不等式，再结合(1)中a的取值范围找出符合条件的整数a即可。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases} x - y = 1 + 3a ① \\ x + y = -7 - a ② \end{cases}$
①+②得：$2x = 2a - 6$，解得$x = a - 3$
②-①得：$2y = -8 - 4a$，解得$y = -4 - 2a$
∵x为非正数，y为负数
∴$\begin{cases} a - 3 ≤ 0 \\ -4 - 2a ＜ 0 \end{cases}$
解不等式$a - 3 ≤ 0$得：$a ≤ 3$
解不等式$-4 - 2a ＜ 0$得：$-2a ＜ 4$，即$a ＞ -2$
∴a的取值范围是$-2 ＜ a ≤ 3$
(2) 整理不等式$2ax + x ＞ 2a + 1$，提取公因式得：
$(2a + 1)x ＞ 2a + 1$
∵该不等式的解集为$x ＜ 1$，不等号方向发生改变
∴根据不等式的性质，两边同时除以的系数$2a + 1 ＜ 0$
解得：$a ＜ -\frac{1}{2}$
结合(1)中a的取值范围$-2 ＜ a ≤ 3$，可得a的取值范围为$-2 ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$
∵a为整数，
∴符合条件的a为$-1$
【答案】
(1)$-2＜a≤3$ (2)$a=-1$
【知识点】
二元一次方程组的解法；一元一次不等式组的应用；不等式的基本性质
【点评】
本题是方程组与不等式的综合题，解题的核心是先求出参数表示的方程组解，再结合题目的限制条件列不等式求解，第二问需要注意不等式两边除以负数时不等号方向要改变，是代数基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
15. 某校校长暑假将带领该校市级优秀学生乘旅行社的车去A市参加科技夏令营. 甲旅行社说：“若校长买一张全价票，则学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“包括校长在内，全体人员按票价的六折优惠.”已知票价为每张240元.
(1)设有x名学生，甲旅行社收费为a元，乙旅行社收费为b元. 分别计算两家旅行社的收费(用含有x的式子表示).
(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？
(3)就学生数x讨论哪家旅行社较优惠.
(1)设有x名学生，甲旅行社收费为a元，乙旅行社收费为b元. 分别计算两家旅行社的收费(用含有x的式子表示).
(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？
(3)就学生数x讨论哪家旅行社较优惠.
答案
15. 解：(1)甲旅行社收费 $a = 240 + 240×0.5x = 120x+240$(元)，
乙旅行社收费 $b = 240×0.6(x + 1) = 144x + 144$(元).
(2)由$a=b$，即$120x+240=144x+144$，得$x=4$.
答：当学生数是4时，两家旅行社的收费一样.
(3)由$a＜b$，即$120x+240＜144x+144$，得$x＞4$，甲旅行社较优惠；
由$a＞b$，即$120x+240＞144x+144$，得$x＜4$，乙旅行社较优惠；
由(2)知，当$x=4$时，两家旅行社收费一样.
答：当学生多于4名时，甲旅行社较优惠；当学生少于4名时，乙旅行社较优惠；当学生只有4名时，两家旅行社收费一样.
乙旅行社收费 $b = 240×0.6(x + 1) = 144x + 144$(元).
(2)由$a=b$，即$120x+240=144x+144$，得$x=4$.
答：当学生数是4时，两家旅行社的收费一样.
(3)由$a＜b$，即$120x+240＜144x+144$，得$x＞4$，甲旅行社较优惠；
由$a＞b$，即$120x+240＞144x+144$，得$x＜4$，乙旅行社较优惠；
由(2)知，当$x=4$时，两家旅行社收费一样.
答：当学生多于4名时，甲旅行社较优惠；当学生少于4名时，乙旅行社较优惠；当学生只有4名时，两家旅行社收费一样.
解析
【分析】
(1) 列收费表达式时先明确收费构成：甲旅行社仅校长买全价票240元，x名学生均享受半价，总收费为校长票钱加所有学生票钱之和；乙旅行社是校长加x名学生共(x+1)人，所有人均按票价6折收费，总收费为总人数乘单人折扣票价，化简即可得到a、b的表达式。
(2) 两家收费相等即a=b，将第一问得到的两个代数式联立为一元一次方程，解方程即可得到对应的学生人数。
(3) 判断哪家优惠就是比较a和b的大小，分a＜b、a＞b、a=b三种情况，分别解对应不等式得到不同x的取值范围，即可对应得到不同学生人数下更优惠的旅行社。
【解析】
(1) 甲旅行社收费：校长1张全价票240元，x名学生单人票价为$240×0.5=120$元，因此
$a = 240 + 120x = 120x + 240$（元）
乙旅行社收费：总人数为$(x+1)$人，单人票价为$240×0.6=144$元，因此
$b = 144(x+1) = 144x + 144$（元）
(2) 当两家收费相等时$a=b$，列方程：
$120x + 240 = 144x + 144$
移项得$240 - 144 = 144x - 120x$
合并同类项得$96 = 24x$
系数化为1得$x=4$
(3) 分三种情况讨论：
① 若甲旅行社更优惠，则$a ＜ b$，即$120x + 240 ＜ 144x + 144$，解得$x ＞ 4$；
② 若乙旅行社更优惠，则$a ＞ b$，即$120x + 240 ＞ 144x + 144$，解得$x ＜ 4$；
③ 当$x=4$时，两家旅行社收费一致。
【答案】
(1)甲旅行社收费$a=120x+240$(元)，乙旅行社收费$b=144x+144$(元)。
(2)当学生数是4时，两家旅行社的收费一样。
(3)当学生多于4名时，甲旅行社较优惠；当学生少于4名时，乙旅行社较优惠；当学生为4名时，两家旅行社收费一样。
【知识点】
列代数式、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题是典型的消费方案选择类应用题，将生活实际问题转化为数学中的代数式、方程与不等式问题，解题需运用分类讨论思想梳理不同数量关系，能够锻炼数学建模与逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
(1) 列收费表达式时先明确收费构成：甲旅行社仅校长买全价票240元，x名学生均享受半价，总收费为校长票钱加所有学生票钱之和；乙旅行社是校长加x名学生共(x+1)人，所有人均按票价6折收费，总收费为总人数乘单人折扣票价，化简即可得到a、b的表达式。
(2) 两家收费相等即a=b，将第一问得到的两个代数式联立为一元一次方程，解方程即可得到对应的学生人数。
(3) 判断哪家优惠就是比较a和b的大小，分a＜b、a＞b、a=b三种情况，分别解对应不等式得到不同x的取值范围，即可对应得到不同学生人数下更优惠的旅行社。
【解析】
(1) 甲旅行社收费：校长1张全价票240元，x名学生单人票价为$240×0.5=120$元，因此
$a = 240 + 120x = 120x + 240$（元）
乙旅行社收费：总人数为$(x+1)$人，单人票价为$240×0.6=144$元，因此
$b = 144(x+1) = 144x + 144$（元）
(2) 当两家收费相等时$a=b$，列方程：
$120x + 240 = 144x + 144$
移项得$240 - 144 = 144x - 120x$
合并同类项得$96 = 24x$
系数化为1得$x=4$
(3) 分三种情况讨论：
① 若甲旅行社更优惠，则$a ＜ b$，即$120x + 240 ＜ 144x + 144$，解得$x ＞ 4$；
② 若乙旅行社更优惠，则$a ＞ b$，即$120x + 240 ＞ 144x + 144$，解得$x ＜ 4$；
③ 当$x=4$时，两家旅行社收费一致。
【答案】
(1)甲旅行社收费$a=120x+240$(元)，乙旅行社收费$b=144x+144$(元)。
(2)当学生数是4时，两家旅行社的收费一样。
(3)当学生多于4名时，甲旅行社较优惠；当学生少于4名时，乙旅行社较优惠；当学生为4名时，两家旅行社收费一样。
【知识点】
列代数式、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题是典型的消费方案选择类应用题，将生活实际问题转化为数学中的代数式、方程与不等式问题，解题需运用分类讨论思想梳理不同数量关系，能够锻炼数学建模与逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
