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一、选择题
1. 下列方程中解为$x=0$的是（
A.$2x+3=2x+1$
B.$5x=3x$
C.$\dfrac{x+1}{2}+4=5x$
D.$\dfrac{1}{4}x+1=0$
1. 下列方程中解为$x=0$的是（
B
）A.$2x+3=2x+1$
B.$5x=3x$
C.$\dfrac{x+1}{2}+4=5x$
D.$\dfrac{1}{4}x+1=0$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断哪个方程的解是$x=0$，可依据方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题时有两种常用方法：一是将$x=0$逐一代入各选项的方程，验证左右两边是否相等；二是分别求解每个一元一次方程，判断解是否为$x=0$，其中代入验证法更加简便快捷。
【解析】
我们采用代入验证法解题，将$x=0$依次代入各选项：
A选项：左边$=2×0+3=3$，右边$=2×0+1=1$，左边≠右边，因此$x=0$不是该方程的解，排除A；
B选项：左边$=5×0=0$，右边$=3×0=0$，左边=右边，因此$x=0$是该方程的解；
继续验证剩余选项确保正确：
C选项：左边$=\dfrac{0+1}{2}+4=4.5$，右边$=5×0=0$，左边≠右边，排除C；
D选项：左边$=\dfrac{1}{4}×0+1=1$，右边$=0$，左边≠右边，排除D。
【答案】
B
【知识点】
方程的解的定义；一元一次方程的检验
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对方程解的概念的理解，采用代入验证法可以快速得出答案，计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.9
要判断哪个方程的解是$x=0$，可依据方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题时有两种常用方法：一是将$x=0$逐一代入各选项的方程，验证左右两边是否相等；二是分别求解每个一元一次方程，判断解是否为$x=0$，其中代入验证法更加简便快捷。
【解析】
我们采用代入验证法解题，将$x=0$依次代入各选项：
A选项：左边$=2×0+3=3$，右边$=2×0+1=1$，左边≠右边，因此$x=0$不是该方程的解，排除A；
B选项：左边$=5×0=0$，右边$=3×0=0$，左边=右边，因此$x=0$是该方程的解；
继续验证剩余选项确保正确：
C选项：左边$=\dfrac{0+1}{2}+4=4.5$，右边$=5×0=0$，左边≠右边，排除C；
D选项：左边$=\dfrac{1}{4}×0+1=1$，右边$=0$，左边≠右边，排除D。
【答案】
B
【知识点】
方程的解的定义；一元一次方程的检验
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对方程解的概念的理解，采用代入验证法可以快速得出答案，计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.9
2. 若代数式$2x+1$的值为5，则$x$等于（
A.3
B.-3
C.2
D.-2
C
）A.3
B.-3
C.2
D.-2
答案
2. C
解析
【分析】
首先根据代数式的值的定义，已知代数式2x+1的值为5，我们可以将这个条件转化为关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的基本步骤（移项、合并同类项、系数化为1）计算，就能求出x的取值，对应选出正确选项即可。
【解析】
解：根据题意可列方程：
$2x + 1 = 5$
移项得：$2x = 5 - 1$
计算得：$2x = 4$
系数化为1得：$x = 2$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
代数式求值；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，解题核心是将代数式的值的文字条件转化为方程，熟练掌握一元一次方程的基础解法就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
首先根据代数式的值的定义，已知代数式2x+1的值为5，我们可以将这个条件转化为关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的基本步骤（移项、合并同类项、系数化为1）计算，就能求出x的取值，对应选出正确选项即可。
【解析】
解：根据题意可列方程：
$2x + 1 = 5$
移项得：$2x = 5 - 1$
计算得：$2x = 4$
系数化为1得：$x = 2$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
代数式求值；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，解题核心是将代数式的值的文字条件转化为方程，熟练掌握一元一次方程的基础解法就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
3. 下列方程中，是一元一次方程的是（
A.$x+2=y+3$
B.$2+x^2=3$
C.$x+2$
D.$x-5=3x$
D
）A.$x+2=y+3$
B.$2+x^2=3$
C.$x+2$
D.$x-5=3x$
答案
3. D
解析
【分析】
要判断哪个选项是一元一次方程，首先需要牢记一元一次方程的四个判定条件：①是含有等号的等式；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为1；④是整式方程（分母不含未知数）。接下来我们将每个选项逐一对照以上条件，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程。我们对每个选项逐一分析：
A选项：方程中含有x、y两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元一次方程；
B选项：未知数x的最高次数是2，不符合“未知数最高次数为1”的要求，不是一元一次方程；
C选项：$x+2$是代数式，没有等号，不属于方程，自然不是一元一次方程；
D选项：只含有未知数x，x的最高次数为1，是整式等式，完全符合一元一次方程的判定要求。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握一元一次方程的判定要素，判断时要依次核对是否为等式、未知数个数、未知数次数、是否为整式方程，避免因漏看条件选错。
【难度系数】
0.85
要判断哪个选项是一元一次方程，首先需要牢记一元一次方程的四个判定条件：①是含有等号的等式；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为1；④是整式方程（分母不含未知数）。接下来我们将每个选项逐一对照以上条件，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程。我们对每个选项逐一分析：
A选项：方程中含有x、y两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元一次方程；
B选项：未知数x的最高次数是2，不符合“未知数最高次数为1”的要求，不是一元一次方程；
C选项：$x+2$是代数式，没有等号，不属于方程，自然不是一元一次方程；
D选项：只含有未知数x，x的最高次数为1，是整式等式，完全符合一元一次方程的判定要求。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握一元一次方程的判定要素，判断时要依次核对是否为等式、未知数个数、未知数次数、是否为整式方程，避免因漏看条件选错。
【难度系数】
0.85
4.（古典数学）《孙子算经》中有一道题，原文：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？”大意是：今有若干人乘车，若每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9个人无车可乘，问人和车各是多少？设共有x人，可列方程为（
A.$\frac{x}{3} + 9 = \frac{x}{2}$
B.$\frac{x}{3} - 2 = \frac{x - 9}{2}$
C.$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x - 9}{2}$
D.$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x + 9}{2}$
C
）A.$\frac{x}{3} + 9 = \frac{x}{2}$
B.$\frac{x}{3} - 2 = \frac{x - 9}{2}$
C.$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x - 9}{2}$
D.$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x + 9}{2}$
答案
4. C
解析
【分析】
本题是一元一次方程实际应用题，解题核心是抓住不变量作为等量关系列方程。题目中总车数是固定不变的，且已经设总人数为x，我们只需分别用含x的式子表示两种乘车场景下的总车数，令两个表达式相等即可列出方程。第一步先分析第一种乘车场景：每3人共乘1车，剩余2辆空车，坐满人的车辆数是$\frac{x}{3}$，总车数等于坐满人的车辆数加上空车数量；第二步分析第二种乘车场景：每2人共乘1车，剩余9人步行，此时乘车的人数为$x-9$，所有车辆都坐满2人，总车数等于乘车人数除以每车乘坐人数；第三步让两个总车数的表达式相等，匹配对应选项即可。
【解析】
设共有x人，根据总车数不变列方程：
1. 第一种乘车情况：每3人共乘1车，剩余2辆空车。坐满人的车辆数为$\frac{x}{3}$，总车数为$\frac{x}{3} + 2$。
2. 第二种乘车情况：每2人共乘1车，剩余9人无车可乘。此时乘车的人数为$x-9$，所有车辆都坐满，总车数为$\frac{x - 9}{2}$。
3. 由于总车数固定，因此可列方程：$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x - 9}{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用、找等量关系列方程
【点评】
本题结合古典数学背景考查方程的实际应用，解题关键是挖掘出“总车数不变”这一隐含等量关系，分析两种乘车场景下人和车的数量对应关系时要注意符号逻辑，避免把空车的加减关系搞反。
【难度系数】
0.7
本题是一元一次方程实际应用题，解题核心是抓住不变量作为等量关系列方程。题目中总车数是固定不变的，且已经设总人数为x，我们只需分别用含x的式子表示两种乘车场景下的总车数，令两个表达式相等即可列出方程。第一步先分析第一种乘车场景：每3人共乘1车，剩余2辆空车，坐满人的车辆数是$\frac{x}{3}$，总车数等于坐满人的车辆数加上空车数量；第二步分析第二种乘车场景：每2人共乘1车，剩余9人步行，此时乘车的人数为$x-9$，所有车辆都坐满2人，总车数等于乘车人数除以每车乘坐人数；第三步让两个总车数的表达式相等，匹配对应选项即可。
【解析】
设共有x人，根据总车数不变列方程：
1. 第一种乘车情况：每3人共乘1车，剩余2辆空车。坐满人的车辆数为$\frac{x}{3}$，总车数为$\frac{x}{3} + 2$。
2. 第二种乘车情况：每2人共乘1车，剩余9人无车可乘。此时乘车的人数为$x-9$，所有车辆都坐满，总车数为$\frac{x - 9}{2}$。
3. 由于总车数固定，因此可列方程：$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x - 9}{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用、找等量关系列方程
【点评】
本题结合古典数学背景考查方程的实际应用，解题关键是挖掘出“总车数不变”这一隐含等量关系，分析两种乘车场景下人和车的数量对应关系时要注意符号逻辑，避免把空车的加减关系搞反。
【难度系数】
0.7
5. 若$ m $满足方程$ |2024 - m| = 2024 + |m| $，则$ |m - 2025| $等于（
A.$ m - 2025 $
B.$ -m - 2025 $
C.$ m + 2025 $
D.$ -m + 2025 $
D
）A.$ m - 2025 $
B.$ -m - 2025 $
C.$ m + 2025 $
D.$ -m + 2025 $
答案
5. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要根据已知的绝对值等式确定m的取值范围，再根据m的范围判断m-2025的正负，最后依据绝对值的代数意义化简|m-2025|得到结果。解题时可采用分区间讨论的方法，按绝对值内表达式的正负划分m的取值区间，去掉绝对值符号后代入等式验证，即可得出符合条件的m的范围。
【解析】
根据绝对值的代数意义，分三种情况讨论m的取值：
1. 当$m ≥ 2024$时：
左边$|2024 - m| = m - 2024$，右边$2024 + |m| = 2024 + m$
代入等式得$m - 2024 = 2024 + m$，化简得$-2024 = 2024$，显然不成立，该区间无符合条件的$m$。
2. 当$0 ≤ m ＜ 2024$时：
左边$|2024 - m| = 2024 - m$，右边$2024 + |m| = 2024 + m$
代入等式得$2024 - m = 2024 + m$，解得$m=0$，符合该区间条件。
3. 当$m ＜ 0$时：
左边$|2024 - m| = 2024 - m$（$m＜0$时$-m＞0$，故$2024 - m＞0$），右边$2024 + |m| = 2024 - m$
此时左边=右边，等式恒成立，该区间的$m$均符合条件。
综上，满足方程的$m$的取值范围是$m ≤ 0$。
接下来化简$|m - 2025|$：
因为$m ≤ 0$，所以$m - 2025 ＜ 0$，根据负数的绝对值是它的相反数，可得：
$|m - 2025| = -(m - 2025) = -m + 2025$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质；解绝对值方程；代数式化简
【点评】
本题核心考查绝对值代数意义的应用，分类讨论去掉绝对值符号是解题的关键，分类时要注意做到区间不重不漏，化简绝对值前需先判断绝对值内代数式的正负性。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要根据已知的绝对值等式确定m的取值范围，再根据m的范围判断m-2025的正负，最后依据绝对值的代数意义化简|m-2025|得到结果。解题时可采用分区间讨论的方法，按绝对值内表达式的正负划分m的取值区间，去掉绝对值符号后代入等式验证，即可得出符合条件的m的范围。
【解析】
根据绝对值的代数意义，分三种情况讨论m的取值：
1. 当$m ≥ 2024$时：
左边$|2024 - m| = m - 2024$，右边$2024 + |m| = 2024 + m$
代入等式得$m - 2024 = 2024 + m$，化简得$-2024 = 2024$，显然不成立，该区间无符合条件的$m$。
2. 当$0 ≤ m ＜ 2024$时：
左边$|2024 - m| = 2024 - m$，右边$2024 + |m| = 2024 + m$
代入等式得$2024 - m = 2024 + m$，解得$m=0$，符合该区间条件。
3. 当$m ＜ 0$时：
左边$|2024 - m| = 2024 - m$（$m＜0$时$-m＞0$，故$2024 - m＞0$），右边$2024 + |m| = 2024 - m$
此时左边=右边，等式恒成立，该区间的$m$均符合条件。
综上，满足方程的$m$的取值范围是$m ≤ 0$。
接下来化简$|m - 2025|$：
因为$m ≤ 0$，所以$m - 2025 ＜ 0$，根据负数的绝对值是它的相反数，可得：
$|m - 2025| = -(m - 2025) = -m + 2025$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质；解绝对值方程；代数式化简
【点评】
本题核心考查绝对值代数意义的应用，分类讨论去掉绝对值符号是解题的关键，分类时要注意做到区间不重不漏，化简绝对值前需先判断绝对值内代数式的正负性。
【难度系数】
0.7
6. 如果关于x的方程$2ax - 8 = 0$的解为$x = 1$，那么$a=$
4
，$3a=$12
.答案
6. $a=4$，$3a=12$
解析
【分析】
解题的核心是明确方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=1是原方程的解，我们只需将x=1代入原方程，就能得到只含未知数a的一元一次方程，解出a的值后，再代入3a计算即可得到第二个空的结果。
【解析】
∵ $x=1$ 是方程$2ax - 8 = 0$的解
∴ 将$x=1$代入方程，可得：
$2a×1 - 8 = 0$
即$2a - 8 = 0$
移项得$2a = 8$
系数化为1，解得$a = 4$
将$a=4$代入$3a$，可得$3a = 3×4 = 12$
【答案】
$a=4$，$3a=12$
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用方程解的含义将求参数的问题转化为解一元一次方程的问题，计算量小，掌握基础概念即可正确解答。
【难度系数】
0.9
解题的核心是明确方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=1是原方程的解，我们只需将x=1代入原方程，就能得到只含未知数a的一元一次方程，解出a的值后，再代入3a计算即可得到第二个空的结果。
【解析】
∵ $x=1$ 是方程$2ax - 8 = 0$的解
∴ 将$x=1$代入方程，可得：
$2a×1 - 8 = 0$
即$2a - 8 = 0$
移项得$2a = 8$
系数化为1，解得$a = 4$
将$a=4$代入$3a$，可得$3a = 3×4 = 12$
【答案】
$a=4$，$3a=12$
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用方程解的含义将求参数的问题转化为解一元一次方程的问题，计算量小，掌握基础概念即可正确解答。
【难度系数】
0.9
7. 方程$3x - 1 = x - 3$的解是
$x=-1$
.答案
7. $x=-1$
解析
【分析】
这是一道一元一次方程求解的基础题，解题时遵循一元一次方程的常规求解步骤即可：第一步先移项，将含未知数x的项移到方程左边，常数项移到方程右边，注意移项要变号；第二步合并同类项，将方程左右两边分别化简；第三步将未知数的系数化为1，即可求出x的值。
【解析】
解：对方程$3x - 1 = x - 3$按步骤求解：
1. 移项，得：$3x - x = -3 + 1$
2. 合并同类项，得：$2x = -2$
3. 系数化为1，方程两边同时除以2，得：$x = -1$
【答案】
$x=-1$
【知识点】
一元一次方程的解法；移项法则
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题型，核心考查移项变号的规则和基础计算能力，只要掌握解方程的基本步骤，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
这是一道一元一次方程求解的基础题，解题时遵循一元一次方程的常规求解步骤即可：第一步先移项，将含未知数x的项移到方程左边，常数项移到方程右边，注意移项要变号；第二步合并同类项，将方程左右两边分别化简；第三步将未知数的系数化为1，即可求出x的值。
【解析】
解：对方程$3x - 1 = x - 3$按步骤求解：
1. 移项，得：$3x - x = -3 + 1$
2. 合并同类项，得：$2x = -2$
3. 系数化为1，方程两边同时除以2，得：$x = -1$
【答案】
$x=-1$
【知识点】
一元一次方程的解法；移项法则
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题型，核心考查移项变号的规则和基础计算能力，只要掌握解方程的基本步骤，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
8. 有下列方程：①$\frac{1}{3}x=1$；②$2x-3=1$；③$\frac{2}{3}x-\frac{3}{2}=\frac{3}{7}$；④$(x+1)(x+2)=12$；⑤$2[3x-(x-3)]-3=11$.其中，$x=2$是其解的方程有
②④⑤
.（填序号）答案
8. ②④⑤
解析
【分析】
要判断x=2是不是某个方程的解，依据方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题思路是把x=2分别代入各个方程，计算左边的结果，和右边的结果对比，若相等则x=2是该方程的解，否则不是，最后选出所有符合的方程序号即可。
【解析】
我们将x=2逐个代入各方程验证：
① 左边 = $\frac{1}{3}×2=\frac{2}{3}$，右边=1，$\frac{2}{3}≠1$，所以x=2不是①的解；
② 左边 = $2×2 - 3=4-3=1$，右边=1，左边=右边，所以x=2是②的解；
③ 左边 = $\frac{2}{3}×2 - \frac{3}{2}=\frac{4}{3}-\frac{3}{2}=-\frac{1}{6}$，右边=$\frac{3}{7}$，$-\frac{1}{6}≠\frac{3}{7}$，所以x=2不是③的解；
④ 左边 = $(2+1)×(2+2)=3×4=12$，右边=12，左边=右边，所以x=2是④的解；
⑤ 先化简计算左边：$2[3×2 - (2-3)] - 3=2×(6 +1)-3=14-3=11$，右边=11，左边=右边，所以x=2是⑤的解。
综上，x=2是其解的方程为②④⑤。
【答案】
②④⑤
【知识点】
方程的解的定义，代入检验法，整式运算
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程解的判定方法，只要熟练掌握代入验证的步骤，计算时注意运算顺序（尤其是带多层括号的整式运算），避免计算失误就能正确作答。
【难度系数】
0.8
要判断x=2是不是某个方程的解，依据方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题思路是把x=2分别代入各个方程，计算左边的结果，和右边的结果对比，若相等则x=2是该方程的解，否则不是，最后选出所有符合的方程序号即可。
【解析】
我们将x=2逐个代入各方程验证：
① 左边 = $\frac{1}{3}×2=\frac{2}{3}$，右边=1，$\frac{2}{3}≠1$，所以x=2不是①的解；
② 左边 = $2×2 - 3=4-3=1$，右边=1，左边=右边，所以x=2是②的解；
③ 左边 = $\frac{2}{3}×2 - \frac{3}{2}=\frac{4}{3}-\frac{3}{2}=-\frac{1}{6}$，右边=$\frac{3}{7}$，$-\frac{1}{6}≠\frac{3}{7}$，所以x=2不是③的解；
④ 左边 = $(2+1)×(2+2)=3×4=12$，右边=12，左边=右边，所以x=2是④的解；
⑤ 先化简计算左边：$2[3×2 - (2-3)] - 3=2×(6 +1)-3=14-3=11$，右边=11，左边=右边，所以x=2是⑤的解。
综上，x=2是其解的方程为②④⑤。
【答案】
②④⑤
【知识点】
方程的解的定义，代入检验法，整式运算
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程解的判定方法，只要熟练掌握代入验证的步骤，计算时注意运算顺序（尤其是带多层括号的整式运算），避免计算失误就能正确作答。
【难度系数】
0.8
9. 列等式表示“x的5倍与2的和等于x的3倍与4的差”为
$5x+2=3x-4$
.答案
9. $5x+2=3x-4$
解析
【分析】
解题时需逐句拆解文字表述，将文字语言转化为数学式子：首先分别求出等式左右两侧对应的代数式，再根据“等于”的等量关系用等号连接即可。第一步处理左侧：“x的5倍”即5乘x，写作5x，“与2的和”就是5x加2，得到左侧式子5x+2；第二步处理右侧：“x的3倍”即3乘x，写作3x，“与4的差”就是3x减4，得到右侧式子3x-4；最后用等号连接两侧式子就是所求等式。
【解析】
1. 表示等式左侧：“x的5倍”记为$5x$，“与2的和”可写为$5x+2$；
2. 表示等式右侧：“x的3倍”记为$3x$，“与4的差”可写为$3x-4$；
3. 根据两者相等的关系，联立得等式：$5x+2=3x-4$。
【答案】
$5x+2=3x-4$
【知识点】
列代数式；根据题意列等式
【点评】
本题是基础题，核心考查文字语言转化为数学语言的能力，解题关键是准确把握“倍”“和”“差”对应的运算规则，注意不要颠倒减法的运算顺序。
【难度系数】
0.9
解题时需逐句拆解文字表述，将文字语言转化为数学式子：首先分别求出等式左右两侧对应的代数式，再根据“等于”的等量关系用等号连接即可。第一步处理左侧：“x的5倍”即5乘x，写作5x，“与2的和”就是5x加2，得到左侧式子5x+2；第二步处理右侧：“x的3倍”即3乘x，写作3x，“与4的差”就是3x减4，得到右侧式子3x-4；最后用等号连接两侧式子就是所求等式。
【解析】
1. 表示等式左侧：“x的5倍”记为$5x$，“与2的和”可写为$5x+2$；
2. 表示等式右侧：“x的3倍”记为$3x$，“与4的差”可写为$3x-4$；
3. 根据两者相等的关系，联立得等式：$5x+2=3x-4$。
【答案】
$5x+2=3x-4$
【知识点】
列代数式；根据题意列等式
【点评】
本题是基础题，核心考查文字语言转化为数学语言的能力，解题关键是准确把握“倍”“和”“差”对应的运算规则，注意不要颠倒减法的运算顺序。
【难度系数】
0.9
