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1. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-3x+k=0$ 有实数根,则实数 $k$ 的值可能是 （
A.2
B.3
C.4
D.5
A
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
A
解析
【分析】首先，一元二次方程有实数根的判定依据是判别式Δ≥0。对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），判别式公式为Δ=b²-4ac。本题需先确定方程中a、b、c的值，计算判别式，再根据Δ≥0列出关于k的不等式，解不等式得到k的取值范围，最后结合选项选出符合条件的答案。
【解析】对于方程x²-3x+k=0，其中a=1，b=-3，c=k。因为方程有实数根，所以判别式Δ=b²-4ac≥0，代入得：(-3)² -4×1×k ≥0，即9-4k≥0。解不等式：4k≤9，得k≤2.25。观察选项，只有A选项的2满足k≤2.25，因此选A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的基本应用，属于基础题型，核心是牢记判别式与根的关系，准确计算和求解不等式即可。
【难度系数】0.8
【解析】对于方程x²-3x+k=0，其中a=1，b=-3，c=k。因为方程有实数根，所以判别式Δ=b²-4ac≥0，代入得：(-3)² -4×1×k ≥0，即9-4k≥0。解不等式：4k≤9，得k≤2.25。观察选项，只有A选项的2满足k≤2.25，因此选A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的基本应用，属于基础题型，核心是牢记判别式与根的关系，准确计算和求解不等式即可。
【难度系数】0.8
2. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(2m-1)x+m^{2}=$ 0 的两个实数根分别为 $x_{1},x_{2}$. 若 $(x_{1}+1)·$ $(x_{2}+1)=3$, 则 $m$ 的值为（
A.$-3$
B.$-1$
C.$-3$ 或 $1$
D.$-1$ 或 $3$
A
）A.$-3$
B.$-1$
C.$-3$ 或 $1$
D.$-1$ 或 $3$
答案
A 提示:由根与系数的关系,得 $x_1+x_2=2m-1$,$x_1x_2=m^2$. 因为$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1=3$,所以$m^2+2m-1+1=3$,解得$m_1=1,m_2=-3$. 因为方程有两个实数根,所以$[-(2m-1)]^2-4m^2≥0$,解得$m≤\frac{1}{4}$,所以$m=1$不合题意,舍去,所以$m=-3$.
解析
【分析】
要解决本题，需按以下思路推导：首先，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）写出两根之和与两根之积；其次，展开已知条件$(x_1+1)(x_2+1)$，代入韦达定理的结果得到关于$m$的方程并求解；最后，结合“方程有两个实数根”的条件，用根的判别式确定$m$的取值范围，舍去不符合的解，得到最终结果。
【解析】
解：对于方程$x^2-(2m-1)x+m^2=0$，其两个实数根为$x_1,x_2$，根据韦达定理：
$x_1+x_2=2m-1$，$x_1x_2=m^2$。
已知$(x_1+1)(x_2+1)=3$，将其展开得：
$x_1x_2 + x_1 + x_2 +1 =3$，
代入韦达定理的结果：
$m^2 + (2m -1) +1 =3$，
化简得：$m^2 +2m -3=0$，
因式分解得：$(m+3)(m-1)=0$，
解得：$m=1$或$m=-3$。
又因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta ≥0$，计算判别式：
$\Delta = [-(2m-1)]^2 -4×1× m^2 =4m^2 -4m +1 -4m^2 = -4m +1$，
令$\Delta ≥0$，即$-4m +1 ≥0$，解得$m ≤ \frac{1}{4}$。
对比$m=1$和$m=-3$，$m=1＞\frac{1}{4}$，不符合条件，舍去；$m=-3 ≤ \frac{1}{4}$，符合条件。
因此，$m$的值为$-3$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题综合考查韦达定理与根的判别式的应用，易错点是忽略“方程有两个实数根”的前提，直接取$m=1$和$m=-3$，误选C选项，需牢记应用韦达定理时要先保证方程有实根，即判别式非负。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需按以下思路推导：首先，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）写出两根之和与两根之积；其次，展开已知条件$(x_1+1)(x_2+1)$，代入韦达定理的结果得到关于$m$的方程并求解；最后，结合“方程有两个实数根”的条件，用根的判别式确定$m$的取值范围，舍去不符合的解，得到最终结果。
【解析】
解：对于方程$x^2-(2m-1)x+m^2=0$，其两个实数根为$x_1,x_2$，根据韦达定理：
$x_1+x_2=2m-1$，$x_1x_2=m^2$。
已知$(x_1+1)(x_2+1)=3$，将其展开得：
$x_1x_2 + x_1 + x_2 +1 =3$，
代入韦达定理的结果：
$m^2 + (2m -1) +1 =3$，
化简得：$m^2 +2m -3=0$，
因式分解得：$(m+3)(m-1)=0$，
解得：$m=1$或$m=-3$。
又因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta ≥0$，计算判别式：
$\Delta = [-(2m-1)]^2 -4×1× m^2 =4m^2 -4m +1 -4m^2 = -4m +1$，
令$\Delta ≥0$，即$-4m +1 ≥0$，解得$m ≤ \frac{1}{4}$。
对比$m=1$和$m=-3$，$m=1＞\frac{1}{4}$，不符合条件，舍去；$m=-3 ≤ \frac{1}{4}$，符合条件。
因此，$m$的值为$-3$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题综合考查韦达定理与根的判别式的应用，易错点是忽略“方程有两个实数根”的前提，直接取$m=1$和$m=-3$，误选C选项，需牢记应用韦达定理时要先保证方程有实根，即判别式非负。
【难度系数】
0.4
3. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+bx+c=0$的两个不相等的实数根分别为$α,β$，关于$x$的一元二次方程$x^{2}+cx+b=0$的两个实数根分别为$α+1,β+1$，则下列方程中，其两个实数根分别为$α-1,β-1$的是（
A.$x^{2}-x-3=0$
B.$x^{2}+2x-3=0$
C.$x^{2}+x-3=0$
D.$x^{2}+x-2=0$
C
）A.$x^{2}-x-3=0$
B.$x^{2}+2x-3=0$
C.$x^{2}+x-3=0$
D.$x^{2}+x-2=0$
答案
C 提示:因为关于x的一元二次方程$x^2+bx+c=0$的两个不相等的实数根分别为α,β,所以α+β=-b,αβ=c. 因为关于x的一元二次方程$x^2+cx+b=0$的两个实数根分别为α+1,β+1,所以α+1+β+1=-c,(α+1)(β+1)=b,所以-b+2=-c,2b=c+1. 由$\begin{cases}-b+2=-c,\\2b=c+1,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-1,\\c=-3,\end{cases}$所以α-1+β-1=-b-2=1-2=-1,(α-1)(β-1)=αβ-(α+β)+1=c+b+1=-3-1+1=-3,所以两个实数根分别为α-1,β-1的方程是$x^2+x-3=0$.
解析
【分析】
本题需利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）解题：先对已知的两个一元二次方程，根据其根列出关于系数$b、c$的方程组，求解出$b、c$的值；再利用韦达定理计算所求方程的两根之和与两根之积，进而确定目标方程，选出正确选项。
【解析】
1. 根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1、x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
2. 对第一个方程$x^2+bx+c=0$，两根为$α、β$，可得：
$α+β=-b$，$αβ=c$；
3. 对第二个方程$x^2+cx+b=0$，两根为$α+1、β+1$，可得：
$(α+1)+(β+1)=-c$，即$α+β+2=-c$；
$(α+1)(β+1)=b$，展开得$αβ+α+β+1=b$；
4. 将$α+β=-b$、$αβ=c$代入上述两式，整理得方程组：
$\begin{cases}-b + 2 = -c \\ c - b + 1 = b \end{cases}$，即$\begin{cases}-b + c = -2 \\ 2b - c = 1 \end{cases}$；
5. 解方程组：两式相加消去$c$，得$b=-1$；将$b=-1$代入$-b + c=-2$，解得$c=-3$；
6. 求两根为$α-1、β-1$的方程：
两根之和：$(α-1)+(β-1)=(α+β)-2=-b -2=-(-1)-2=-1$；
两根之积：$(α-1)(β-1)=αβ - (α+β)+1=c + b +1=-3-1+1=-3$；
7. 因此，所求方程为$x^2 - (-1)x + (-3)=0$，即$x^2+x-3=0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题通过两次应用韦达定理建立方程组求解系数，再构造目标方程，重点考查韦达定理的灵活运用，是一元二次方程章节的典型题型，需熟练掌握根与系数的关系。
【难度系数】
0.6
本题需利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）解题：先对已知的两个一元二次方程，根据其根列出关于系数$b、c$的方程组，求解出$b、c$的值；再利用韦达定理计算所求方程的两根之和与两根之积，进而确定目标方程，选出正确选项。
【解析】
1. 根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1、x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
2. 对第一个方程$x^2+bx+c=0$，两根为$α、β$，可得：
$α+β=-b$，$αβ=c$；
3. 对第二个方程$x^2+cx+b=0$，两根为$α+1、β+1$，可得：
$(α+1)+(β+1)=-c$，即$α+β+2=-c$；
$(α+1)(β+1)=b$，展开得$αβ+α+β+1=b$；
4. 将$α+β=-b$、$αβ=c$代入上述两式，整理得方程组：
$\begin{cases}-b + 2 = -c \\ c - b + 1 = b \end{cases}$，即$\begin{cases}-b + c = -2 \\ 2b - c = 1 \end{cases}$；
5. 解方程组：两式相加消去$c$，得$b=-1$；将$b=-1$代入$-b + c=-2$，解得$c=-3$；
6. 求两根为$α-1、β-1$的方程：
两根之和：$(α-1)+(β-1)=(α+β)-2=-b -2=-(-1)-2=-1$；
两根之积：$(α-1)(β-1)=αβ - (α+β)+1=c + b +1=-3-1+1=-3$；
7. 因此，所求方程为$x^2 - (-1)x + (-3)=0$，即$x^2+x-3=0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题通过两次应用韦达定理建立方程组求解系数，再构造目标方程，重点考查韦达定理的灵活运用，是一元二次方程章节的典型题型，需熟练掌握根与系数的关系。
【难度系数】
0.6
4. 已知一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a ≠ 0)$ 和它的两个实数根为 $x_1,x_2$，有下列说法：
①若 $a,c$ 异号，则方程 $ax^2+bx+c=0$ 一定有实数根；②若 $b^2＞5ac$，则方程 $ax^2+bx+c=0$ 一定有两个异号实数根；③若$b=a+c$，则方程 $ax^2+bx+c=0$ 一定有两个实数根；④若 $a=1,b=2,c=3$，由根与系数的关系可得 $x_1+x_2=-2,x_1x_2=3.$
其中正确的结论有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①若 $a,c$ 异号，则方程 $ax^2+bx+c=0$ 一定有实数根；②若 $b^2＞5ac$，则方程 $ax^2+bx+c=0$ 一定有两个异号实数根；③若$b=a+c$，则方程 $ax^2+bx+c=0$ 一定有两个实数根；④若 $a=1,b=2,c=3$，由根与系数的关系可得 $x_1+x_2=-2,x_1x_2=3.$
其中正确的结论有（
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B 提示:当a,c异号时,ac＜0,所以$b^2-4ac＞0$,所以此时方程$ax^2+bx+c=0$一定有实数根,所以①正确;若$b^2＞5ac$,则$b^2-4ac＞0$,所以此时方程$ax^2+bx+c=0$一定有实数根,但不能确定ac＜0,所以方程$ax^2+bx+c=0$不一定有两个异号实根,所以②错误;若b=a+c,$b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2≥0$,则方程$ax^2+bx+c=0$一定有两个实数根,所以③正确;若a=1,b=2,c=3,$b^2-4ac=2^2-4×1×3=-8＜0$,所以方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根,所以④错误.
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，核心依据是根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，根的符号与$ac$的符号相关，且根与系数的关系（韦达定理）仅在方程有实根（即$\Delta ≥ 0$）时成立。需逐个分析四个说法：
1. 对①：利用$a,c$异号时$ac＜0$，推导判别式$\Delta$的正负；
2. 对②：由$b^2＞5ac$推导$\Delta$的正负，再结合$ac$的符号判断根的符号；
3. 对③：将$b=a+c$代入判别式，化简后判断$\Delta$的取值；
4. 对④：代入$a,b,c$计算判别式，判断方程是否有实根，再验证韦达定理的适用性。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$，韦达定理成立的前提是$\Delta ≥ 0$。
分析①：若$a,c$异号，则$ac＜0$，故$\Delta = b^2 - 4ac$。因为$b^2 ≥ 0$，$-4ac＞0$，所以$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，①正确；
分析②：若$b^2＞5ac$，则$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 5ac - 4ac = ac$，$\Delta＞0$仅说明方程有两个实数根，但无法确定$ac$的符号（例如$a=1,b=3,c=1$时，$b^2=9＞5×1×1=5$，$ac=1＞0$，两根同号），故不一定有两个异号实根，②错误；
分析③：若$b=a+c$，则$\Delta = (a+c)^2 - 4ac = a^2 + 2ac + c^2 - 4ac = (a - c)^2 ≥ 0$，方程有两个实数根（相等或不等），③正确；
分析④：当$a=1,b=2,c=3$时，$\Delta = 2^2 - 4×1×3 = 4 - 12 = -8 ＜ 0$，方程无实数根，韦达定理仅适用于有实根的情况，故不能用根与系数关系，④错误；
综上，正确结论为①、③，共2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，需注意韦达定理的前提是方程有实根，判断根的符号需结合判别式和$ac$的符号，属于基础概念辨析题，需准确掌握相关规则。
【难度系数】
0.5
要判断一元二次方程根的情况，核心依据是根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，根的符号与$ac$的符号相关，且根与系数的关系（韦达定理）仅在方程有实根（即$\Delta ≥ 0$）时成立。需逐个分析四个说法：
1. 对①：利用$a,c$异号时$ac＜0$，推导判别式$\Delta$的正负；
2. 对②：由$b^2＞5ac$推导$\Delta$的正负，再结合$ac$的符号判断根的符号；
3. 对③：将$b=a+c$代入判别式，化简后判断$\Delta$的取值；
4. 对④：代入$a,b,c$计算判别式，判断方程是否有实根，再验证韦达定理的适用性。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$，韦达定理成立的前提是$\Delta ≥ 0$。
分析①：若$a,c$异号，则$ac＜0$，故$\Delta = b^2 - 4ac$。因为$b^2 ≥ 0$，$-4ac＞0$，所以$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，①正确；
分析②：若$b^2＞5ac$，则$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 5ac - 4ac = ac$，$\Delta＞0$仅说明方程有两个实数根，但无法确定$ac$的符号（例如$a=1,b=3,c=1$时，$b^2=9＞5×1×1=5$，$ac=1＞0$，两根同号），故不一定有两个异号实根，②错误；
分析③：若$b=a+c$，则$\Delta = (a+c)^2 - 4ac = a^2 + 2ac + c^2 - 4ac = (a - c)^2 ≥ 0$，方程有两个实数根（相等或不等），③正确；
分析④：当$a=1,b=2,c=3$时，$\Delta = 2^2 - 4×1×3 = 4 - 12 = -8 ＜ 0$，方程无实数根，韦达定理仅适用于有实根的情况，故不能用根与系数关系，④错误；
综上，正确结论为①、③，共2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，需注意韦达定理的前提是方程有实根，判断根的符号需结合判别式和$ac$的符号，属于基础概念辨析题，需准确掌握相关规则。
【难度系数】
0.5
5. 在关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 中，$a,b,c$ 是有理数，且方程的一个根是 $-6+\sqrt{10}$，则方程的另一个根是
$-6-\sqrt{10}$
.答案
$-6-\sqrt{10}$
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用有理系数一元二次方程的无理根性质：对于系数为有理数的一元二次方程，若存在无理根形如 $ m+\sqrt{n} $（$ m,n $ 为有理数，且 $ n $ 不是完全平方数），则其共轭根式 $ m-\sqrt{n} $ 必为该方程的另一个根。也可通过韦达定理辅助理解：设另一个根为 $ x_2 $，两根之和为 $ -\frac{b}{a} $，因 $ a,b $ 是有理数，故两根之和为有理数，已知一根含 $ \sqrt{10} $，则另一根的无理部分需抵消 $ \sqrt{10} $，由此可确定另一个根。
【解析】
因为方程 $ ax^2+bx+c=0 $（$ a,b,c $ 为有理数）的一个根是 $ -6+\sqrt{10} $，根据有理系数一元二次方程无理根的共轭性，其另一个根为该根的共轭根式，即无理部分符号相反，因此另一个根为 $ -6-\sqrt{10} $。
【答案】
$ -6-\sqrt{10} $
【知识点】
一元二次方程根的性质，无理根共轭性
【点评】
本题考查有理系数一元二次方程的无理根特点，利用共轭性即可快速得出结果，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需利用有理系数一元二次方程的无理根性质：对于系数为有理数的一元二次方程，若存在无理根形如 $ m+\sqrt{n} $（$ m,n $ 为有理数，且 $ n $ 不是完全平方数），则其共轭根式 $ m-\sqrt{n} $ 必为该方程的另一个根。也可通过韦达定理辅助理解：设另一个根为 $ x_2 $，两根之和为 $ -\frac{b}{a} $，因 $ a,b $ 是有理数，故两根之和为有理数，已知一根含 $ \sqrt{10} $，则另一根的无理部分需抵消 $ \sqrt{10} $，由此可确定另一个根。
【解析】
因为方程 $ ax^2+bx+c=0 $（$ a,b,c $ 为有理数）的一个根是 $ -6+\sqrt{10} $，根据有理系数一元二次方程无理根的共轭性，其另一个根为该根的共轭根式，即无理部分符号相反，因此另一个根为 $ -6-\sqrt{10} $。
【答案】
$ -6-\sqrt{10} $
【知识点】
一元二次方程根的性质，无理根共轭性
【点评】
本题考查有理系数一元二次方程的无理根特点，利用共轭性即可快速得出结果，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
6. 若$x_{1},x_{2}$是关于$x$的方程$x^{2}-2x-3m^{2}=$0 的两个实数根,且$x_{1}+2x_{2}=5$,则$m$的值是
$\pm1$
.答案
$\pm1$ 提示:因为关于x的方程$x^2-2x-3m^2=0$有两个实数根,所以$b^2-4ac=(-2)^2-4×(-3m^2)=4+12m^2≥4＞0$,所以$x_1+x_2=2$,$x_1x_2=-3m^2$. 因为$x_1+2x_2=5$,所以$x_1+x_2+x_2=5$,即$x_2=3$,所以$x_1=2-3=-1$,所以$x_1x_2=-3$,所以$-3m^2=-3$,解得$m=\pm1$.
解析
【分析】
首先，题目给出的是一元二次方程，先利用根的判别式确认方程有两个实根，再根据韦达定理得到两根之和与两根之积；接着将已知条件$x_1 + 2x_2 =5$变形，结合两根之和求出单个根的值；最后利用两根之积的关系建立关于$m$的方程，求解得到$m$的值。
【解析】
对于方程$x^2 -2x -3m^2=0$：
1. 计算判别式：$\Delta = (-2)^2 -4×1×(-3m^2)=4 +12m^2$，因为$m^2≥0$，所以$\Delta≥4＞0$，方程有两个不相等的实数根。
2. 根据韦达定理，两根之和$x_1 +x_2 =2$，两根之积$x_1x_2=-3m^2$。
3. 已知$x_1 +2x_2=5$，变形为$(x_1+x_2)+x_2=5$，代入$x_1+x_2=2$，得$2 +x_2=5$，解得$x_2=3$。
4. 则$x_1=2 -x_2=2-3=-1$。
5. 由两根之积：$x_1x_2=(-1)×3=-3$，所以$-3m^2=-3$，即$m^2=1$，解得$m=\pm1$。
【答案】
$\pm1$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题核心考查韦达定理的应用，关键是将已知的两根和变形后与韦达定理结合，求出单个根后代入两根之积建立方程，整体难度中等，熟练掌握韦达定理即可解答。
【难度系数】
0.6
首先，题目给出的是一元二次方程，先利用根的判别式确认方程有两个实根，再根据韦达定理得到两根之和与两根之积；接着将已知条件$x_1 + 2x_2 =5$变形，结合两根之和求出单个根的值；最后利用两根之积的关系建立关于$m$的方程，求解得到$m$的值。
【解析】
对于方程$x^2 -2x -3m^2=0$：
1. 计算判别式：$\Delta = (-2)^2 -4×1×(-3m^2)=4 +12m^2$，因为$m^2≥0$，所以$\Delta≥4＞0$，方程有两个不相等的实数根。
2. 根据韦达定理，两根之和$x_1 +x_2 =2$，两根之积$x_1x_2=-3m^2$。
3. 已知$x_1 +2x_2=5$，变形为$(x_1+x_2)+x_2=5$，代入$x_1+x_2=2$，得$2 +x_2=5$，解得$x_2=3$。
4. 则$x_1=2 -x_2=2-3=-1$。
5. 由两根之积：$x_1x_2=(-1)×3=-3$，所以$-3m^2=-3$，即$m^2=1$，解得$m=\pm1$。
【答案】
$\pm1$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题核心考查韦达定理的应用，关键是将已知的两根和变形后与韦达定理结合，求出单个根后代入两根之积建立方程，整体难度中等，熟练掌握韦达定理即可解答。
【难度系数】
0.6
7. 设$x_{1}$和$x_{2}$是关于$x$的方程$x^{2}+2x+k+$$2=0$的两个不相等的实数根. 若$x_{1}+x_{2}-$$x_{1}x_{2}＜-1$且$k$为整数，则$k$的值为
$-2$
.答案
$-2$
解析
【分析】
要解决这道题，需分三步思考：首先，方程有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式Δ＞0求出k的初步范围；其次，根据韦达定理（根与系数的关系）写出两根之和与两根之积，代入给定不等式，解不等式得到k的另一范围；最后结合k为整数的条件，确定k的值。
【解析】
对于方程$x^2 + 2x + k + 2 = 0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=k+2$。
1. 由方程有两个不相等的实数根，得判别式$\Delta ＞ 0$：
$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(k+2) = 4 - 4k - 8 = -4k - 4$，
令$-4k - 4 ＞ 0$，解得$k ＜ -1$。
2. 根据韦达定理，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2$，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = k + 2$。
将其代入不等式$x_1 + x_2 - x_1x_2 ＜ -1$：
$-2 - (k + 2) ＜ -1$，
化简得：$-k - 4 ＜ -1$，
移项得：$-k ＜ 3$，即$k ＞ -3$。
3. 结合上述两个范围$-3 ＜ k ＜ -1$，且$k$为整数，故$k = -2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理；一元一次不等式的解法
【点评】
本题综合考查一元二次方程的根的判别式、韦达定理及不等式的求解，需同时满足根的性质和不等式条件，再结合整数要求确定参数值，是基础题型，注重对核心知识点的综合应用。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需分三步思考：首先，方程有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式Δ＞0求出k的初步范围；其次，根据韦达定理（根与系数的关系）写出两根之和与两根之积，代入给定不等式，解不等式得到k的另一范围；最后结合k为整数的条件，确定k的值。
【解析】
对于方程$x^2 + 2x + k + 2 = 0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=k+2$。
1. 由方程有两个不相等的实数根，得判别式$\Delta ＞ 0$：
$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(k+2) = 4 - 4k - 8 = -4k - 4$，
令$-4k - 4 ＞ 0$，解得$k ＜ -1$。
2. 根据韦达定理，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2$，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = k + 2$。
将其代入不等式$x_1 + x_2 - x_1x_2 ＜ -1$：
$-2 - (k + 2) ＜ -1$，
化简得：$-k - 4 ＜ -1$，
移项得：$-k ＜ 3$，即$k ＞ -3$。
3. 结合上述两个范围$-3 ＜ k ＜ -1$，且$k$为整数，故$k = -2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理；一元一次不等式的解法
【点评】
本题综合考查一元二次方程的根的判别式、韦达定理及不等式的求解，需同时满足根的性质和不等式条件，再结合整数要求确定参数值，是基础题型，注重对核心知识点的综合应用。
【难度系数】
0.6
8. 若关于 $x$ 的方程 $\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{x-2}{x}+\dfrac{2x+a}{x(x-2)}=0$ 只有一个实数根,则 $a$ 的值是
$-3.5$
.答案
$-3.5$ 提示:原方程去分母,得$x^2+(x-2)^2+2x+a=0$. 整理,得$2x^2-2x+a+4=0$. 因为原方程只有一个实数根,所以$(-2)^2-4×2(a+4)=0$,解得$a=-3.5$.
解析
【分析】
解决本题需先将分式方程转化为整式方程，再根据“原方程只有一个实数根”的条件分析：分式方程去分母后得到整式方程，原方程的根需满足分母不为0，当整式方程有两个相等的实数根（判别式为0）时，若该根不是增根，则为原方程唯一实根，据此计算a的值。
【解析】
原方程的最简公分母为$x(x-2)$，两边同乘$x(x-2)$（$x≠0$且$x≠2$）去分母得：
$x^2 + (x-2)^2 + 2x + a = 0$
整理为一元二次方程的标准形式：
$2x^2 - 2x + a + 4 = 0$
因为原方程只有一个实数根，说明该整式方程有两个相等的实数根，此时判别式$\Delta = 0$：
$\Delta = (-2)^2 - 4×2×(a + 4) = 0$
计算得：$4 - 8(a + 4) = 0$，即$4 - 8a - 32 = 0$，解得$a = -\frac{7}{2} = -3.5$
【答案】
-3.5
【知识点】
分式方程的根、一元二次方程判别式
【点评】
本题考查分式方程根的情况，关键是将分式方程转化为整式方程后，利用判别式分析根的个数，需注意原方程的根不能使分母为0，本题核心是判别式的应用，属于中等难度题型。
【难度系数】
0.5
解决本题需先将分式方程转化为整式方程，再根据“原方程只有一个实数根”的条件分析：分式方程去分母后得到整式方程，原方程的根需满足分母不为0，当整式方程有两个相等的实数根（判别式为0）时，若该根不是增根，则为原方程唯一实根，据此计算a的值。
【解析】
原方程的最简公分母为$x(x-2)$，两边同乘$x(x-2)$（$x≠0$且$x≠2$）去分母得：
$x^2 + (x-2)^2 + 2x + a = 0$
整理为一元二次方程的标准形式：
$2x^2 - 2x + a + 4 = 0$
因为原方程只有一个实数根，说明该整式方程有两个相等的实数根，此时判别式$\Delta = 0$：
$\Delta = (-2)^2 - 4×2×(a + 4) = 0$
计算得：$4 - 8(a + 4) = 0$，即$4 - 8a - 32 = 0$，解得$a = -\frac{7}{2} = -3.5$
【答案】
-3.5
【知识点】
分式方程的根、一元二次方程判别式
【点评】
本题考查分式方程根的情况，关键是将分式方程转化为整式方程后，利用判别式分析根的个数，需注意原方程的根不能使分母为0，本题核心是判别式的应用，属于中等难度题型。
【难度系数】
0.5
9. 设 $a,b$ 是方程 $x^2+68x+1=0$ 的两个根，$c,d$ 是方程 $x^2-86x+1=0$ 的两个根，则 $(a+c)(b+c)(a-d)(b-d)$ 的值为
$2772$
。答案
$2772$ 提示:因为a,b是方程$x^2+68x+1=0$的两个根,所以a+b=-68①,ab=1②. 因为c,d是方程$x^2-86x+1=0$的两个根,所以c+d=86③,cd=1④.$(a+c)(b+c)(a-d)(b-d)=[c^2+(a+b)c+ab]·[d^2-(a+b)d+ab]$⑤. 将①②代入⑤,得$(c^2-68c+1)(d^2+68d+1)$. 因为c,d是方程$x^2-86x+1=0$的两个根,所以$c^2-86c+1=0,d^2-86d+1=0$. 所以$c^2-68c+1=18c,d^2+68d+1=154d$. 所以原式$=18c×154d=2772cd=2772$.
解析
【分析】
首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），求出两个方程的根的和与积；再对所求代数式分组变形，将其转化为含已知根的和、积的形式；最后结合方程根的定义，将高次项降次，整体代入计算结果。
【解析】
解：因为$a,b$是方程$x^2+68x+1=0$的两个根，由韦达定理得：
$a+b=-68$，$ab=1$；
因为$c,d$是方程$x^2-86x+1=0$的两个根，由韦达定理得：
$c+d=86$，$cd=1$；
对所求式子分组变形：
$(a+c)(b+c)=c^2+(a+b)c+ab$，
$(a-d)(b-d)=d^2-(a+b)d+ab$；
将$a+b=-68$，$ab=1$代入得：
$(a+c)(b+c)=c^2-68c+1$，
$(a-d)(b-d)=d^2+68d+1$；
又因为$c$是方程$x^2-86x+1=0$的根，所以$c^2-86c+1=0$，则$c^2-68c+1=(c^2-86c+1)+18c=18c$；
同理，$d$是方程$x^2-86x+1=0$的根，所以$d^2-86d+1=0$，则$d^2+68d+1=(d^2-86d+1)+154d=154d$；
因此原式$=18c×154d=18×154×cd$，代入$cd=1$得：
原式$=18×154×1=2772$。
【答案】
2772
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式恒等变形，一元二次方程根的定义
【点评】
本题核心是利用韦达定理和方程根的定义，对所求代数式进行合理变形降次，整体代入简化计算，是一元二次方程相关的典型综合题。
【难度系数】
0.4
首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），求出两个方程的根的和与积；再对所求代数式分组变形，将其转化为含已知根的和、积的形式；最后结合方程根的定义，将高次项降次，整体代入计算结果。
【解析】
解：因为$a,b$是方程$x^2+68x+1=0$的两个根，由韦达定理得：
$a+b=-68$，$ab=1$；
因为$c,d$是方程$x^2-86x+1=0$的两个根，由韦达定理得：
$c+d=86$，$cd=1$；
对所求式子分组变形：
$(a+c)(b+c)=c^2+(a+b)c+ab$，
$(a-d)(b-d)=d^2-(a+b)d+ab$；
将$a+b=-68$，$ab=1$代入得：
$(a+c)(b+c)=c^2-68c+1$，
$(a-d)(b-d)=d^2+68d+1$；
又因为$c$是方程$x^2-86x+1=0$的根，所以$c^2-86c+1=0$，则$c^2-68c+1=(c^2-86c+1)+18c=18c$；
同理，$d$是方程$x^2-86x+1=0$的根，所以$d^2-86d+1=0$，则$d^2+68d+1=(d^2-86d+1)+154d=154d$；
因此原式$=18c×154d=18×154×cd$，代入$cd=1$得：
原式$=18×154×1=2772$。
【答案】
2772
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式恒等变形，一元二次方程根的定义
【点评】
本题核心是利用韦达定理和方程根的定义，对所求代数式进行合理变形降次，整体代入简化计算，是一元二次方程相关的典型综合题。
【难度系数】
0.4
10. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^2-3(m-1)x+2m-3=0.$
(1) 若该方程有两个不相等的实数根,求 $m$ 的取值范围.
(2) 求证:无论 $m$ 为何非零实数,该方程总有一个固定的根.
(1) 若该方程有两个不相等的实数根,求 $m$ 的取值范围.
(2) 求证:无论 $m$ 为何非零实数,该方程总有一个固定的根.
答案
(1) 解:根据题意,得$m≠0$且$b^2-4ac=9(m-1)^2-4m(2m-3)＞0$,解得$m≠0$且$m≠3$,即m的取值范围为$m≠0$且$m≠3$.
(2) 证明:因为$b^2-4ac=9(m-1)^2-4m(2m-3)=(m-3)^2$,所以$x=\frac{3(m-1)\pm(m-3)}{2m}$,所以$x_1=\frac{2m-3}{m}$,$x_2=1$. 所以无论m为何非零实数,该方程总有一个固定的根为1.
(2) 证明:因为$b^2-4ac=9(m-1)^2-4m(2m-3)=(m-3)^2$,所以$x=\frac{3(m-1)\pm(m-3)}{2m}$,所以$x_1=\frac{2m-3}{m}$,$x_2=1$. 所以无论m为何非零实数,该方程总有一个固定的根为1.
解析
【分析】
第(1)问：要确定一元二次方程有两个不相等的实数根，需满足两个条件：一是二次项系数不为0（保证是一元二次方程），二是判别式Δ＞0，据此列出不等式求解m的范围；第(2)问：对于含参数的一元二次方程，固定根是无论参数如何变化都满足方程的根，可通过求根公式计算方程的根，找出不随参数m变化的固定根。
【解析】
(1) 因为方程是一元二次方程，所以二次项系数m≠0。
判别式Δ = b² - 4ac，其中a=m，b=-3(m-1)，c=2m-3，代入得：
Δ = [-3(m-1)]² - 4·m·(2m-3) = 9(m² - 2m +1) - 4m(2m -3) = 9m² -18m +9 -8m² +12m = m² -6m +9 = (m-3)²。
方程有两个不相等的实数根，故Δ＞0，即(m-3)²＞0，解得m≠3。
结合m≠0，得m的取值范围为m≠0且m≠3。
(2) 由(1)知Δ=(m-3)²，根据求根公式x = [-b ± √Δ]/(2a)，代入得：
x = [3(m-1) ± (m-3)]/(2m)
计算两个根：
x₁ = [3(m-1) + (m-3)]/(2m) = (3m -3 +m -3)/(2m) = (4m -6)/(2m) = (2m -3)/m；
x₂ = [3(m-1) - (m-3)]/(2m) = (3m -3 -m +3)/(2m) = 2m/(2m) =1。
可见x₂=1与m无关，因此无论m为何非零实数，该方程总有一个固定的根为1。
【答案】
(1) m≠0且m≠3；(2) 无论m为何非零实数，方程总有固定根1。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解
【点评】
本题考查一元二次方程的相关性质，需注意一元二次方程的定义（二次项系数不为0），避免遗漏该条件；计算判别式和根时要细心化简，确保结果正确，第(2)问通过求根公式快速找到固定根，是常用的解题方法。
【难度系数】
0.6
第(1)问：要确定一元二次方程有两个不相等的实数根，需满足两个条件：一是二次项系数不为0（保证是一元二次方程），二是判别式Δ＞0，据此列出不等式求解m的范围；第(2)问：对于含参数的一元二次方程，固定根是无论参数如何变化都满足方程的根，可通过求根公式计算方程的根，找出不随参数m变化的固定根。
【解析】
(1) 因为方程是一元二次方程，所以二次项系数m≠0。
判别式Δ = b² - 4ac，其中a=m，b=-3(m-1)，c=2m-3，代入得：
Δ = [-3(m-1)]² - 4·m·(2m-3) = 9(m² - 2m +1) - 4m(2m -3) = 9m² -18m +9 -8m² +12m = m² -6m +9 = (m-3)²。
方程有两个不相等的实数根，故Δ＞0，即(m-3)²＞0，解得m≠3。
结合m≠0，得m的取值范围为m≠0且m≠3。
(2) 由(1)知Δ=(m-3)²，根据求根公式x = [-b ± √Δ]/(2a)，代入得：
x = [3(m-1) ± (m-3)]/(2m)
计算两个根：
x₁ = [3(m-1) + (m-3)]/(2m) = (3m -3 +m -3)/(2m) = (4m -6)/(2m) = (2m -3)/m；
x₂ = [3(m-1) - (m-3)]/(2m) = (3m -3 -m +3)/(2m) = 2m/(2m) =1。
可见x₂=1与m无关，因此无论m为何非零实数，该方程总有一个固定的根为1。
【答案】
(1) m≠0且m≠3；(2) 无论m为何非零实数，方程总有固定根1。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解
【点评】
本题考查一元二次方程的相关性质，需注意一元二次方程的定义（二次项系数不为0），避免遗漏该条件；计算判别式和根时要细心化简，确保结果正确，第(2)问通过求根公式快速找到固定根，是常用的解题方法。
【难度系数】
0.6
11. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-6x+m+$ $4=0$ 有两个实数根 $x_1,x_2$.
(1) 求 $m$ 的取值范围.
(2) 若 $x_1,x_2$ 满足 $3x_1=|x_2|+2$, 求 $m$ 的值.
(1) 求 $m$ 的取值范围.
(2) 若 $x_1,x_2$ 满足 $3x_1=|x_2|+2$, 求 $m$ 的值.
答案
(1) 解:(1) 因为关于x的一元二次方程$x^2-6x+m+4=0$有两个实数根$x_1,x_2$,所以$b^2-4ac=(-6)^2-4(m+4)=20-4m≥0$,解得$m≤5$,所以m的取值范围为$m≤5$.
(2) 因为关于x的一元二次方程$x^2-6x+m+4=0$有两个实数根$x_1,x_2$,所以$x_1+x_2=6$①,$x_1x_2=m+4$②. 因为$3x_1=|x_2|+2$,当$x_2≥0$时,有$3x_1=x_2+2$③,联立①③,解得$x_1=2,x_2=4$,代入②,得$8=m+4$,所以m=4;当$x_2＜0$时,有$3x_1=-x_2+2$④,联立①④,解得$x_1=-2$,$x_2=8$(不合题意,舍去). 所以符合条件的m的值为4.
(2) 因为关于x的一元二次方程$x^2-6x+m+4=0$有两个实数根$x_1,x_2$,所以$x_1+x_2=6$①,$x_1x_2=m+4$②. 因为$3x_1=|x_2|+2$,当$x_2≥0$时,有$3x_1=x_2+2$③,联立①③,解得$x_1=2,x_2=4$,代入②,得$8=m+4$,所以m=4;当$x_2＜0$时,有$3x_1=-x_2+2$④,联立①④,解得$x_1=-2$,$x_2=8$(不合题意,舍去). 所以符合条件的m的值为4.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式Δ≥0求解m的取值范围；第(2)问结合韦达定理得到两根的和与积，再根据绝对值的性质分x₂≥0和x₂＜0两种情况联立方程，求解后舍去不合题意的解，进而得到m的值。
【解析】
(1) 因为一元二次方程$x^2 -6x + m +4 =0$有两个实数根，所以根的判别式$\Delta = b^2 -4ac ≥0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=m+4$，代入得：
$\Delta = (-6)^2 -4×1×(m+4) = 36 -4m -16 =20 -4m ≥0$，
解得$m ≤5$，即m的取值范围为$m ≤5$。
(2) 由韦达定理可知，方程的两根满足$x_1 +x_2 =6$①，$x_1x_2 = m+4$②。
已知$3x_1 = |x_2| +2$，分两种情况讨论：
①当$x_2 ≥0$时，$|x_2|=x_2$，则$3x_1 =x_2 +2$③，
联立①③：$\begin{cases}x_1 +x_2=6 \\3x_1 =x_2 +2 \end{cases}$，
用③-①得：$2x_1 =x_2 -4$，即$x_2=2x_1 +4$，代入①得$x_1 +2x_1 +4=6$，解得$x_1=2$，则$x_2=6 -2=4$，
将$x_1=2$，$x_2=4$代入②得：$2×4 =m+4$，解得$m=4$，符合$m ≤5$。
②当$x_2 ＜0$时，$|x_2|=-x_2$，则$3x_1 = -x_2 +2$④，
联立①④：$\begin{cases}x_1 +x_2=6 \\3x_1 = -x_2 +2 \end{cases}$，
将两式相加得：$4x_1 =8$，解得$x_1=2$，则$x_2=6 -2=4$，与假设$x_2 ＜0$矛盾，舍去该情况。
综上，m的值为4。
【答案】
(1) $m ≤5$；(2) $m=4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理；绝对值的性质
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理的应用，以及绝对值的分类讨论思想，属于基础题型，需熟练掌握相关公式，注意解的合理性验证。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式Δ≥0求解m的取值范围；第(2)问结合韦达定理得到两根的和与积，再根据绝对值的性质分x₂≥0和x₂＜0两种情况联立方程，求解后舍去不合题意的解，进而得到m的值。
【解析】
(1) 因为一元二次方程$x^2 -6x + m +4 =0$有两个实数根，所以根的判别式$\Delta = b^2 -4ac ≥0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=m+4$，代入得：
$\Delta = (-6)^2 -4×1×(m+4) = 36 -4m -16 =20 -4m ≥0$，
解得$m ≤5$，即m的取值范围为$m ≤5$。
(2) 由韦达定理可知，方程的两根满足$x_1 +x_2 =6$①，$x_1x_2 = m+4$②。
已知$3x_1 = |x_2| +2$，分两种情况讨论：
①当$x_2 ≥0$时，$|x_2|=x_2$，则$3x_1 =x_2 +2$③，
联立①③：$\begin{cases}x_1 +x_2=6 \\3x_1 =x_2 +2 \end{cases}$，
用③-①得：$2x_1 =x_2 -4$，即$x_2=2x_1 +4$，代入①得$x_1 +2x_1 +4=6$，解得$x_1=2$，则$x_2=6 -2=4$，
将$x_1=2$，$x_2=4$代入②得：$2×4 =m+4$，解得$m=4$，符合$m ≤5$。
②当$x_2 ＜0$时，$|x_2|=-x_2$，则$3x_1 = -x_2 +2$④，
联立①④：$\begin{cases}x_1 +x_2=6 \\3x_1 = -x_2 +2 \end{cases}$，
将两式相加得：$4x_1 =8$，解得$x_1=2$，则$x_2=6 -2=4$，与假设$x_2 ＜0$矛盾，舍去该情况。
综上，m的值为4。
【答案】
(1) $m ≤5$；(2) $m=4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理；绝对值的性质
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理的应用，以及绝对值的分类讨论思想，属于基础题型，需熟练掌握相关公式，注意解的合理性验证。
【难度系数】
0.6
