4. (2024·灌云县期末)如图,在$ABC$中,$AB=AC=2$,$∠ B=40°$,点$D$在线段$BC$上运动(点$D$不与点$B$,$C$重合),连接$AD$,作$∠ ADE=40°$,$DE$交线段$AC$于点$E$.
(1)当$∠ BDA=115°$时,$∠ EDC=$$°$,$∠ AED=$$°$;
(2)线段$DC$的长度为何值时,$△ ABD ≌ △ DCE$,请说明理由.

4. (1)25 65
(2)解:当 $DC=2$ 时,$△ ABD≌△ DCE$,理由如下:
$\because ∠C=40^{\circ },\therefore ∠DEC+∠EDC=140^{\circ }.$
又$\because ∠ADE=40^{\circ },\therefore ∠ADB+∠EDC=140^{\circ },$
$\therefore ∠ADB=∠DEC.$
又$\because AB=DC=2$,在$△ ABD$和$△ DCE$中,
$\begin{cases} ∠ADB=∠DEC,\\ ∠B=∠C,\\ AB=DC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ DCE(\mathrm{AAS}).$

5. 已知 $C D$ 是经过 $∠ B C A$ 的顶点 $C$ 的一条直线, $C A=C B, E, F$ 分别是直线 $C D$ 上的两点, 且
$∠ B E C=∠ C F A=α .$
(1) 如图(1), 若 $∠ B C A=90°, α=90°$, 则 $B E$ $C F, E F$ $|B E-A F|$; (均填“＞”“＜”或“=”)
(2) 如图(2), 若 $0°＜∠ B C A＜180°$, 请添加一个关于 $α$ 与 $∠ B C A$ 关系的条件: ,使(1)中的两个结论仍然成立,并证明这两个结论.

5. (1)$=$ $=$
(2)解:$α+∠BCA=180^{\circ }$ 证明如下:
在$△ BCE$中,$∠CBE+∠BCE=180^{\circ }-∠BEC=180^{\circ }-α.$
$\because ∠BCA=180^{\circ }-α,\therefore ∠CBE+∠BCE=∠BCA.$
$\because ∠ACF+∠BCE=∠BCA,\therefore ∠CBE=∠ACF.$
$\because ∠BEC=∠CFA,BC=CA,\therefore △ BCE≌△ CAF(\mathrm{AAS}),$
$\therefore BE=CF,CE=AF.$
$\because EF=|CF-CE|,\therefore EF=|BE-AF|.$