9. 如图,在$△ ABC$中,$BD,CE$分别是$AC,AB$边上的高,$F$是$BC$的中点,连接$DE,DF,EF$.
(1)求证:$△ DEF$是等腰三角形;
(2)若$∠ A=60°$,$DE=2$,求$BC$的长.

9.(1)证明:
∵BD,CE分别是AC,AB边上的高,
∴∠BDC=∠CEB=90°,
∴△BCD,△BCE为直角三角形.
∵F是BC的中点,
∴EF=DF=BF=CF=$\frac{1}{2}$BC,
∴△DEF是等腰三角形.
(2)解:
∵EF=DF=BF=CF=$\frac{1}{2}$BC,
∴∠BEF=∠ABC,∠CDF=∠ACB.
∵∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°,
∴∠BFE+∠CFD=360°-2(∠ABC+∠ACB)=120°,
∴∠EFD=60°,
∴△DEF是等边三角形,
∴DF=DE=2,
∴BC=2DF=4.

10. 如图,$△ ABC$是边长为6 cm的等边三角形,动点P,Q同时从A,B两点出发,分别沿AB,BC方向匀速移动.
(1)若点P的运动速度是1 cm/s,点Q的运动速度是2 cm/s,当点Q到达点C时,P,Q两点都停止运动,设运动时间为$t(\mathrm{s})$,当$t=2$时,判断$△ BPQ$的形状,并说明理由;
(2)若它们的速度都是1 cm/s,当点P到达点B时,P,Q两点都停止运动,设点P的运动时间为$t(\mathrm{s})$,则当$t$为何值时,$△ PBQ$是直角三角形?

10.解:(1)$△ BPQ$是等边三角形.理由:如答图,根据题意得$AP=t$ cm,$BQ=2t$ cm,
当$t=2$时,$AP=2$ cm,$BQ=4$ cm.
∵$△ ABC$是边长为6 cm的等边三角形,
∴$AB=6$ cm,$∠ B=60°$,
∴$BP=4$ cm,
∴$BP=BQ$,
∴$△ BPQ$是等边三角形.

(2)$△ PBQ$中,$BP=(6-t)$ cm,$BQ=t$ cm,若$△ PBQ$是直角三角形,则$∠ BQP=90°$或$∠ BPQ=90°$.
①当$∠ BQP=90°$时,
∵$∠ B=60°$,
∴$∠ BPQ=30°$,
∴$BQ=\frac{1}{2}BP$,即$t=\frac{1}{2}(6-t)$,解得$t=2$.
②当$∠ BPQ=90°$时,同理得$BP=\frac{1}{2}BQ$,
即$6-t=\frac{1}{2}t$,解得$t=4$.
综上,当$t=2$或$t=4$时,$△ PBQ$是直角三角形.

11. 如图，$∠ ACB=∠ ADB=90°$，$E$ 为 $AB$ 的中点，连接 $DE,CE,CD$.
(1) 求证：$DE=CE$；
(2) 若 $∠ CAB=25°$，$∠ DBA=35°$，判断 $△ DEC$ 的形状，并说明理由；
(3) 取 $CD$ 的中点 $F$，连接 $EF$，若 $∠ CAB+∠ ABD=45°$，$CD=12$，求 $EF$ 的长.

11.(1)证明:
∵$∠ ACB=∠ ADB=90°$,$E$是$AB$的中点,
∴$DE=\frac{1}{2}AB$,$CE=\frac{1}{2}AB$,
∴$DE=CE$.
(2)解:$△ DEC$是等边三角形.理由如下:
∵$∠ ACB=∠ ADB=90°$,$E$为$AB$的中点,
∴$DE=AE=BE=CE$,
∴$∠ CAB=∠ ACE=25°$,$∠ DBA=∠ BDE=35°$,
∴$∠ BEC=50°$,$∠ AED=70°$,
∴$∠ DEC=180°-50°-70°=60°$.
∵$DE=CE$,
∴$△ DEC$是等边三角形.
(3)解:由(2)知$∠ CAB=∠ ACE$,$∠ DBA=∠ BDE$,
∴$∠ BEC=2∠ CAB$,$∠ AED=2∠ ABD$,
∴$∠ DEC=180°-2(∠ CAB+∠ ABD)=90°$.
∵$ED=EC$,
∴$△ DEC$是等腰直角三角形.
∵$F$是斜边$CD$的中点,
∴$EF=\frac{1}{2}CD=6$.