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【学以致用1】下列函数中,是偶函数的是（
A.$y=2x$
B.$y=(x-1)^0$
C.$y=\sqrt{x^2}$
D.$y=\frac{1}{x}$
C
）A.$y=2x$
B.$y=(x-1)^0$
C.$y=\sqrt{x^2}$
D.$y=\frac{1}{x}$
答案
C 函数$y=2x$为奇函数,故A不符合题意.
该函数的定义域为$\{x ∣ x ≠ 1\}$,定义域不关于原点对称,所以该函数为非奇非偶函数,故B不符合题意.
该函数的定义域为$\mathbb{R}$,且$∀ x \in \mathbb{R}$,都有$-x \in \mathbb{R}$,$f(-x)=\sqrt{(-x)^2}=\sqrt{x^2}=f(x)$,所以该函数为偶函数,故C符合题意.
该函数的定义域为$\{x ∣ x ≠ 0\}$,且$∀ x \in \{x ∣ x ≠ 0\}$,都有$-x \in \{x ∣ x ≠ 0\}$,$f(-x)=\frac{1}{-x}=-f(x)$,所以该函数为奇函数,故D不符合题意.
该函数的定义域为$\{x ∣ x ≠ 1\}$,定义域不关于原点对称,所以该函数为非奇非偶函数,故B不符合题意.
该函数的定义域为$\mathbb{R}$,且$∀ x \in \mathbb{R}$,都有$-x \in \mathbb{R}$,$f(-x)=\sqrt{(-x)^2}=\sqrt{x^2}=f(x)$,所以该函数为偶函数,故C符合题意.
该函数的定义域为$\{x ∣ x ≠ 0\}$,且$∀ x \in \{x ∣ x ≠ 0\}$,都有$-x \in \{x ∣ x ≠ 0\}$,$f(-x)=\frac{1}{-x}=-f(x)$,所以该函数为奇函数,故D不符合题意.
【学以致用3】已知$y=f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数，则下列函数为奇函数的是（
①$y=\dfrac{f(x)}{x-1}$；
②$y=-f(x)$；
③$y=xf(x)$；
④$y=f(x)+x.$
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
D
）①$y=\dfrac{f(x)}{x-1}$；
②$y=-f(x)$；
③$y=xf(x)$；
④$y=f(x)+x.$
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
答案
D 由奇函数的定义$f(-x)=-f(x)$验证.
①由$x-1 ≠ 0$,得$x ≠ 1$,定义域不关于原点对称,故①为非奇非偶函数;②令$g(x) = -f(x)$,则$g(-x)=-f(-x)=f(x)=-g(x)$,故②为奇函数;③令$F(x)=xf(x)$,则$F(-x)=-xf(-x)=-x · [-f(x)]=xf(x)=F(x)$,故③为偶函数;④令$h(x)=f(x)+x$,则$h(-x)=f(-x)+(-x)=-[f(x)+x]=-h(x)$,故④为奇函数.
①由$x-1 ≠ 0$,得$x ≠ 1$,定义域不关于原点对称,故①为非奇非偶函数;②令$g(x) = -f(x)$,则$g(-x)=-f(-x)=f(x)=-g(x)$,故②为奇函数;③令$F(x)=xf(x)$,则$F(-x)=-xf(-x)=-x · [-f(x)]=xf(x)=F(x)$,故③为偶函数;④令$h(x)=f(x)+x$,则$h(-x)=f(-x)+(-x)=-[f(x)+x]=-h(x)$,故④为奇函数.
