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7. 已知$|a - 2| + (b + \frac{1}{2})^2 = 0$，则$a^{2025}b^{2026}$的值为
$\frac{1}{2}$
。答案
7. $\frac{1}{2}$
解析
解：因为$|a - 2| + (b + \frac{1}{2})^2 = 0$，且$|a - 2| ≥ 0$，$(b + \frac{1}{2})^2 ≥ 0$，所以$a - 2 = 0$，$b + \frac{1}{2} = 0$，解得$a = 2$，$b = -\frac{1}{2}$。
$a^{2025}b^{2026} = a^{2025}b^{2025} · b = (ab)^{2025} · b$，将$a = 2$，$b = -\frac{1}{2}$代入，得$(2 × (-\frac{1}{2}))^{2025} × (-\frac{1}{2}) = (-1)^{2025} × (-\frac{1}{2}) = (-1) × (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$
$a^{2025}b^{2026} = a^{2025}b^{2025} · b = (ab)^{2025} · b$，将$a = 2$，$b = -\frac{1}{2}$代入，得$(2 × (-\frac{1}{2}))^{2025} × (-\frac{1}{2}) = (-1)^{2025} × (-\frac{1}{2}) = (-1) × (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$
8. 计算：$(-\frac{1}{4})^{2025}×(-4)^{2026}=$
$-4$
。答案
8. $-4$
解析
$(-\frac{1}{4})^{2025}×(-4)^{2026}$
$=(-\frac{1}{4})^{2025}×(-4)^{2025}×(-4)$
$=[(-\frac{1}{4})×(-4)]^{2025}×(-4)$
$=1^{2025}×(-4)$
$=1×(-4)$
$=-4$
$=(-\frac{1}{4})^{2025}×(-4)^{2025}×(-4)$
$=[(-\frac{1}{4})×(-4)]^{2025}×(-4)$
$=1^{2025}×(-4)$
$=1×(-4)$
$=-4$
9. 计算：$(-x^3)^2·(-x^4·x^3)=$
$-x^{13}$
。答案
9. $-x^{13}$
解析
$(-x^3)^2·(-x^4·x^3)$
$=x^6·(-x^7)$
$=-x^{13}$
$=x^6·(-x^7)$
$=-x^{13}$
10. 计算：
（1）$(\frac{1}{10})^5×(\frac{1}{10})^7$；
（2）$(a^{2m}·a^{n+1})^2·a^m$；
（3）$a^3·a^3·a^2 + (a^4)^2 + (-2a^2)^4$；
（4）$(1.3×10^4)×(-8×10^5)$。
（1）$(\frac{1}{10})^5×(\frac{1}{10})^7$；
（2）$(a^{2m}·a^{n+1})^2·a^m$；
（3）$a^3·a^3·a^2 + (a^4)^2 + (-2a^2)^4$；
（4）$(1.3×10^4)×(-8×10^5)$。
答案
10. 解：(1) $(\frac{1}{10})^{5} × (\frac{1}{10})^{7} = (\frac{1}{10})^{5 + 7} = (\frac{1}{10})^{12}$。
(2) $(a^{2m} · a^{n + 1})^{2} · a^{m} = a^{4m} · a^{2n + 2} · a^{m} = a^{5m + 2n + 2}$。
(3) $a^{3} · a^{3} · a^{2} + (a^{4})^{2} + (-2a^{2})^{4} = a^{8} + a^{8} + 16a^{8} = 18a^{8}$。
(4) $(1.3 × 10^{4}) × (-8 × 10^{5}) = -1.3 × 8 × 10^{4} × 10^{5} = -10.4 × 10^{9} = -1.04 × 10^{10}$。
(2) $(a^{2m} · a^{n + 1})^{2} · a^{m} = a^{4m} · a^{2n + 2} · a^{m} = a^{5m + 2n + 2}$。
(3) $a^{3} · a^{3} · a^{2} + (a^{4})^{2} + (-2a^{2})^{4} = a^{8} + a^{8} + 16a^{8} = 18a^{8}$。
(4) $(1.3 × 10^{4}) × (-8 × 10^{5}) = -1.3 × 8 × 10^{4} × 10^{5} = -10.4 × 10^{9} = -1.04 × 10^{10}$。
解析
【分析】
这道题是幂运算的基础综合计算题，解题思路是逐个匹配对应的幂运算法则分步计算：
1. 第(1)题两个幂的底数完全相同，直接套用同底数幂乘法规则，底数不变、指数相加即可得到结果；
2. 第(2)题先计算括号内的同底数幂乘法，再对括号整体做乘方运算，最后和括号外的幂继续用同底数幂乘法合并指数；
3. 第(3)题将算式拆分为三个独立部分，分别用对应幂运算法则计算每一项，最后合并同类项得到最终结果；
4. 第(4)题利用乘法交换律、结合律把系数和10的幂分开运算，最后将结果整理为符合规范的科学记数法形式即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂相乘，底数不变指数相加的规则：
$(\frac{1}{10})^5×(\frac{1}{10})^7 = (\frac{1}{10})^{5+7} = (\frac{1}{10})^{12}$
(2) 先计算括号内同底数幂乘法，再用幂的乘方规则（底数不变指数相乘）展开括号，最后合并同底数幂：
$(a^{2m}·a^{n+1})^2·a^m = a^{2×2m}·a^{2×(n+1)}·a^m = a^{4m}·a^{2n+2}·a^m = a^{4m+2n+2+m} = a^{5m+2n+2}$
(3) 分别计算三项：
第一项：同底数幂连乘，$a^3·a^3·a^2 = a^{3+3+2}=a^8$
第二项：幂的乘方，$(a^4)^2=a^{4×2}=a^8$
第三项：积的乘方，$(-2a^2)^4=(-2)^4·(a^2)^4=16a^8$
合并同类项得：$a^8+a^8+16a^8=18a^8$
(4) 用乘法交换律结合律分组计算：
$(1.3×10^4)×(-8×10^5) = -1.3×8 × 10^4×10^5 = -10.4×10^9$
调整为标准科学记数法（系数绝对值在1~10之间）：$-1.04×10^{10}$
【答案】
(1) $(\frac{1}{10})^{12}$；(2) $a^{5m+2n+2}$；(3) $18a^8$；(4) $-1.04×10^{10}$
【知识点】
同底数幂乘法，积的乘方运算，科学记数法
【点评】
本题是整式幂运算的基础综合题，覆盖了幂运算的全部核心基础规则，需要注意区分不同运算对应的指数操作：同底数幂相乘指数相加、幂的乘方指数相乘，避免混淆运算规则，同时要注意带负号的乘方符号判断、科学记数法的最终规范形式，计算后要检查合并同类项是否漏项。
【难度系数】
0.7
这道题是幂运算的基础综合计算题，解题思路是逐个匹配对应的幂运算法则分步计算：
1. 第(1)题两个幂的底数完全相同，直接套用同底数幂乘法规则，底数不变、指数相加即可得到结果；
2. 第(2)题先计算括号内的同底数幂乘法，再对括号整体做乘方运算，最后和括号外的幂继续用同底数幂乘法合并指数；
3. 第(3)题将算式拆分为三个独立部分，分别用对应幂运算法则计算每一项，最后合并同类项得到最终结果；
4. 第(4)题利用乘法交换律、结合律把系数和10的幂分开运算，最后将结果整理为符合规范的科学记数法形式即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂相乘，底数不变指数相加的规则：
$(\frac{1}{10})^5×(\frac{1}{10})^7 = (\frac{1}{10})^{5+7} = (\frac{1}{10})^{12}$
(2) 先计算括号内同底数幂乘法，再用幂的乘方规则（底数不变指数相乘）展开括号，最后合并同底数幂：
$(a^{2m}·a^{n+1})^2·a^m = a^{2×2m}·a^{2×(n+1)}·a^m = a^{4m}·a^{2n+2}·a^m = a^{4m+2n+2+m} = a^{5m+2n+2}$
(3) 分别计算三项：
第一项：同底数幂连乘，$a^3·a^3·a^2 = a^{3+3+2}=a^8$
第二项：幂的乘方，$(a^4)^2=a^{4×2}=a^8$
第三项：积的乘方，$(-2a^2)^4=(-2)^4·(a^2)^4=16a^8$
合并同类项得：$a^8+a^8+16a^8=18a^8$
(4) 用乘法交换律结合律分组计算：
$(1.3×10^4)×(-8×10^5) = -1.3×8 × 10^4×10^5 = -10.4×10^9$
调整为标准科学记数法（系数绝对值在1~10之间）：$-1.04×10^{10}$
【答案】
(1) $(\frac{1}{10})^{12}$；(2) $a^{5m+2n+2}$；(3) $18a^8$；(4) $-1.04×10^{10}$
【知识点】
同底数幂乘法，积的乘方运算，科学记数法
【点评】
本题是整式幂运算的基础综合题，覆盖了幂运算的全部核心基础规则，需要注意区分不同运算对应的指数操作：同底数幂相乘指数相加、幂的乘方指数相乘，避免混淆运算规则，同时要注意带负号的乘方符号判断、科学记数法的最终规范形式，计算后要检查合并同类项是否漏项。
【难度系数】
0.7
11. 阅读下面的材料：我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用。例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为$a^{m+n}=a^m·a^n$，$a^{mn}=(a^m)^n=(a^n)^m$。如下列探究：
探究一：比较$2^{15}$与$3^{12}$的大小。
探究一：比较$2^{15}$与$3^{12}$的大小。
答案
11. (1) 因为 $2^{44} = (2^{4})^{11} = 16^{11}$，$4^{22} = (4^{2})^{11} = 16^{11}$，所以 $2^{44} = 4^{22}$。
(2) 因为 $7^{24} = (7^{2})^{12} = 49^{12}$，$4^{36} = (4^{3})^{12} = 64^{12}$，$3^{48} = (3^{4})^{12} = 81^{12}$，$2^{60} = (2^{5})^{12} = 32^{12}$，又因为 $81 ＞ 64 ＞ 49 ＞ 32$，所以 $81^{12} ＞ 64^{12} ＞ 49^{12} ＞ 32^{12}$。所以 $3^{48} ＞ 4^{36} ＞ 7^{24} ＞ 2^{60}$。
(3) 因为 $3^{12} × 5^{10} = (3 × 5)^{10} × 3^{2}$，$3^{10} × 5^{12} = (3 × 5)^{10} × 5^{2}$，又因为 $5^{2} ＞ 3^{2}$，所以 $3^{10} × 5^{12} ＞ 3^{12} × 5^{10}$。
(2) 因为 $7^{24} = (7^{2})^{12} = 49^{12}$，$4^{36} = (4^{3})^{12} = 64^{12}$，$3^{48} = (3^{4})^{12} = 81^{12}$，$2^{60} = (2^{5})^{12} = 32^{12}$，又因为 $81 ＞ 64 ＞ 49 ＞ 32$，所以 $81^{12} ＞ 64^{12} ＞ 49^{12} ＞ 32^{12}$。所以 $3^{48} ＞ 4^{36} ＞ 7^{24} ＞ 2^{60}$。
(3) 因为 $3^{12} × 5^{10} = (3 × 5)^{10} × 3^{2}$，$3^{10} × 5^{12} = (3 × 5)^{10} × 5^{2}$，又因为 $5^{2} ＞ 3^{2}$，所以 $3^{10} × 5^{12} ＞ 3^{12} × 5^{10}$。
解析
【分析】
这道题的核心思路是利用材料给出的幂的运算法则逆向应用的提示，避免直接计算数值极大的高次幂，通过转化简化比较过程：
1. 首先观察待比较的幂的指数，找到所有指数的最大公约数，逆用幂的乘方法则，将所有待比较的幂转化为指数完全相同的形式，此时仅需要比较底数的大小，就能直接判断幂的大小关系；
2. 对于含不同底数乘积的幂的比较，逆用积的乘方法则，提取出相同的公因式部分，仅比较剩余的不同部分的大小，即可快速得到结果。
比如题干提到的比较$2^{15}$与$3^{12}$，15和12的最大公约数是3，转化为$2^{15}=(2^5)^3=32^3$，$3^{12}=(3^4)^3=81^3$，就能直接得到$3^{12}$更大，不需要计算最终的大数结果。
【解析】
我们分三小问逐步求解：
(1) 比较$2^{44}$和$4^{22}$的大小：
逆用幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，将两个幂的指数统一为11：
$2^{44} = 2^{4×11} = (2^4)^{11} = 16^{11}$
$4^{22} = 4^{2×11} = (4^2)^{11} = 16^{11}$
两个幂的指数和底数都完全相等，因此$2^{44} = 4^{22}$。
(2) 比较$7^{24}$、$4^{36}$、$3^{48}$、$2^{60}$的大小：
先观察四个指数24、36、48、60的最大公约数为12，逆用幂的乘方法则将所有幂的指数统一为12：
$7^{24} =7^{2×12}=(7^2)^{12}=49^{12}$
$4^{36}=4^{3×12}=(4^3)^{12}=64^{12}$
$3^{48}=3^{4×12}=(3^4)^{12}=81^{12}$
$2^{60}=2^{5×12}=(2^5)^{12}=32^{12}$
当指数相同时，底数越大，幂的数值越大，因为$81＞64＞49＞32$，因此$81^{12}＞64^{12}＞49^{12}＞32^{12}$，即$3^{48}＞4^{36}＞7^{24}＞2^{60}$。
(3) 比较$3^{12}×5^{10}$和$3^{10}×5^{12}$的大小：
逆用积的乘方法则$a^n·b^n=(ab)^n$，提取两个式子的公因式$(3×5)^{10}$：
$3^{12}×5^{10} = 3^{2}×3^{10}×5^{10} = 3^2 × (3×5)^{10} =9×15^{10}$
$3^{10}×5^{12} = 5^{2}×3^{10}×5^{10} =5^2 ×(3×5)^{10}=25×15^{10}$
因为$25＞9$，因此$25×15^{10} ＞9×15^{10}$，即$3^{10}×5^{12}＞3^{12}×5^{10}$。
【答案】
(1) 因为 $2^{44} = (2^{4})^{11} = 16^{11}$，$4^{22} = (4^{2})^{11} = 16^{11}$，所以 $2^{44} = 4^{22}$。
(2) 因为 $7^{24} = (7^{2})^{12} = 49^{12}$，$4^{36} = (4^{3})^{12} = 64^{12}$，$3^{48} = (3^{4})^{12} = 81^{12}$，$2^{60} = (2^{5})^{12} = 32^{12}$，又因为 $81 ＞ 64 ＞ 49 ＞ 32$，所以 $81^{12} ＞ 64^{12} ＞ 49^{12} ＞ 32^{12}$。所以 $3^{48} ＞ 4^{36} ＞ 7^{24} ＞ 2^{60}$。
(3) 因为 $3^{12} × 5^{10} = (3 × 5)^{10} × 3^{2}$，$3^{10} × 5^{12} = (3 × 5)^{10} × 5^{2}$，又因为 $5^{2} ＞ 3^{2}$，所以 $3^{10} × 5^{12} ＞ 3^{12} × 5^{10}$。
【知识点】
幂的乘方逆运算
积的乘方逆运算
幂的大小比较
【点评】
本题属于幂运算的探究拓展题，打破了常规正向套用幂运算法则的思维定式，引导学生主动逆向运用运算性质，将原本需要计算极大数的比较问题转化为简单的底数大小比较，有效锻炼了转化化归的数学思维，掌握该方法后可快速解决所有高次幂的大小比较类题型。
【难度系数】
0.6
这道题的核心思路是利用材料给出的幂的运算法则逆向应用的提示，避免直接计算数值极大的高次幂，通过转化简化比较过程：
1. 首先观察待比较的幂的指数，找到所有指数的最大公约数，逆用幂的乘方法则，将所有待比较的幂转化为指数完全相同的形式，此时仅需要比较底数的大小，就能直接判断幂的大小关系；
2. 对于含不同底数乘积的幂的比较，逆用积的乘方法则，提取出相同的公因式部分，仅比较剩余的不同部分的大小，即可快速得到结果。
比如题干提到的比较$2^{15}$与$3^{12}$，15和12的最大公约数是3，转化为$2^{15}=(2^5)^3=32^3$，$3^{12}=(3^4)^3=81^3$，就能直接得到$3^{12}$更大，不需要计算最终的大数结果。
【解析】
我们分三小问逐步求解：
(1) 比较$2^{44}$和$4^{22}$的大小：
逆用幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，将两个幂的指数统一为11：
$2^{44} = 2^{4×11} = (2^4)^{11} = 16^{11}$
$4^{22} = 4^{2×11} = (4^2)^{11} = 16^{11}$
两个幂的指数和底数都完全相等，因此$2^{44} = 4^{22}$。
(2) 比较$7^{24}$、$4^{36}$、$3^{48}$、$2^{60}$的大小：
先观察四个指数24、36、48、60的最大公约数为12，逆用幂的乘方法则将所有幂的指数统一为12：
$7^{24} =7^{2×12}=(7^2)^{12}=49^{12}$
$4^{36}=4^{3×12}=(4^3)^{12}=64^{12}$
$3^{48}=3^{4×12}=(3^4)^{12}=81^{12}$
$2^{60}=2^{5×12}=(2^5)^{12}=32^{12}$
当指数相同时，底数越大，幂的数值越大，因为$81＞64＞49＞32$，因此$81^{12}＞64^{12}＞49^{12}＞32^{12}$，即$3^{48}＞4^{36}＞7^{24}＞2^{60}$。
(3) 比较$3^{12}×5^{10}$和$3^{10}×5^{12}$的大小：
逆用积的乘方法则$a^n·b^n=(ab)^n$，提取两个式子的公因式$(3×5)^{10}$：
$3^{12}×5^{10} = 3^{2}×3^{10}×5^{10} = 3^2 × (3×5)^{10} =9×15^{10}$
$3^{10}×5^{12} = 5^{2}×3^{10}×5^{10} =5^2 ×(3×5)^{10}=25×15^{10}$
因为$25＞9$，因此$25×15^{10} ＞9×15^{10}$，即$3^{10}×5^{12}＞3^{12}×5^{10}$。
【答案】
(1) 因为 $2^{44} = (2^{4})^{11} = 16^{11}$，$4^{22} = (4^{2})^{11} = 16^{11}$，所以 $2^{44} = 4^{22}$。
(2) 因为 $7^{24} = (7^{2})^{12} = 49^{12}$，$4^{36} = (4^{3})^{12} = 64^{12}$，$3^{48} = (3^{4})^{12} = 81^{12}$，$2^{60} = (2^{5})^{12} = 32^{12}$，又因为 $81 ＞ 64 ＞ 49 ＞ 32$，所以 $81^{12} ＞ 64^{12} ＞ 49^{12} ＞ 32^{12}$。所以 $3^{48} ＞ 4^{36} ＞ 7^{24} ＞ 2^{60}$。
(3) 因为 $3^{12} × 5^{10} = (3 × 5)^{10} × 3^{2}$，$3^{10} × 5^{12} = (3 × 5)^{10} × 5^{2}$，又因为 $5^{2} ＞ 3^{2}$，所以 $3^{10} × 5^{12} ＞ 3^{12} × 5^{10}$。
【知识点】
幂的乘方逆运算
积的乘方逆运算
幂的大小比较
【点评】
本题属于幂运算的探究拓展题，打破了常规正向套用幂运算法则的思维定式，引导学生主动逆向运用运算性质，将原本需要计算极大数的比较问题转化为简单的底数大小比较，有效锻炼了转化化归的数学思维，掌握该方法后可快速解决所有高次幂的大小比较类题型。
【难度系数】
0.6
12. 如果“三角”
表示$4abc$，“圆圈”
表示$-5x^y p^q$，你能求出
×
的值吗？
表示$4abc$，“圆圈”表示$-5x^y p^q$，你能求出×的值吗？答案
12. $-40m^{3}n^{4}$
解析
【分析】
拿到这道题首先要明确这是结合自定义新符号规则的整式运算题，解题思路分两步走：第一步先严格对应题目给出的两个图形的运算规则，把插图3的三角图形、插图4的圆圈图形分别转换成常规的代数式；第二步列出两个代数式的乘法算式，按照单项式乘单项式的运算法则，分别将系数、同底数幂对应运算，最后化简得到结果，过程中要注意不要搞错系数符号和指数的运算规则。
【解析】
解：根据题中给出的自定义运算规则：
1. 已知三角图形表示$4abc$，代入插图3的对应参数，可得该三角对应的代数式为：$4· m· 2· n = 8mn$
2. 已知圆圈图形表示$-5x^y p^q$，代入插图4的对应参数，可得该圆圈对应的代数式为：$-5m^2n^3$
3. 计算两者的乘积：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=8mn × (-5m^2n^3)\\&=[8×(-5)] · m^{1+2} · n^{1+3}\\&=-40m^3n^4\end{aligned}$
【答案】
$-40m^{3}n^{4}$
【知识点】
定义新运算，单项式乘法，同底数幂乘法
【点评】
本题以自定义图形符号的新颖形式考察整式运算，核心考点是单项式乘单项式的运算法则，解题的关键是先准确将图形符号转化为常规代数式，运算时注意系数的符号、同底数幂指数相加的规则，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.7
拿到这道题首先要明确这是结合自定义新符号规则的整式运算题，解题思路分两步走：第一步先严格对应题目给出的两个图形的运算规则，把插图3的三角图形、插图4的圆圈图形分别转换成常规的代数式；第二步列出两个代数式的乘法算式，按照单项式乘单项式的运算法则，分别将系数、同底数幂对应运算，最后化简得到结果，过程中要注意不要搞错系数符号和指数的运算规则。
【解析】
解：根据题中给出的自定义运算规则：
1. 已知三角图形表示$4abc$，代入插图3的对应参数，可得该三角对应的代数式为：$4· m· 2· n = 8mn$
2. 已知圆圈图形表示$-5x^y p^q$，代入插图4的对应参数，可得该圆圈对应的代数式为：$-5m^2n^3$
3. 计算两者的乘积：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=8mn × (-5m^2n^3)\\&=[8×(-5)] · m^{1+2} · n^{1+3}\\&=-40m^3n^4\end{aligned}$
【答案】
$-40m^{3}n^{4}$
【知识点】
定义新运算，单项式乘法，同底数幂乘法
【点评】
本题以自定义图形符号的新颖形式考察整式运算，核心考点是单项式乘单项式的运算法则，解题的关键是先准确将图形符号转化为常规代数式，运算时注意系数的符号、同底数幂指数相加的规则，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.7
