1. (1)探究一,模型再现:m条直线最多可以把平面分割成多少个部分?
如图①,平面中画出1条直线时,最多可以把平面分割成2个部分;如图②,平面中画出2条直线时,最多可以把平面分割成4个部分;如图③,平面中画出3条直线时,最多可以把平面分割成7个部分……

问题一:5条直线最多可以把平面分割成个部分.
(2)探究二,类比迁移:n个圆最多可以把平面分割成多少个部分?
如图④,平面中画出1个圆时,最多可以把平面分割成2个部分;如图⑤,平面中画出第2个圆时,新增的一个圆与已知的1个圆最多有2个交点,这2个交点会把新增的这个圆分成2部分,从而多出2个部分,即总共会得到$1+1+2=4$(个)部分,所以2个圆最多可以把平面分割成4个部分;如图⑥,平面中画出第3个圆时,新增的一个圆与已知的2个圆最多有4个交点,这4个交点会把新增的这个圆分成4部分,从而多出4个部分,即总共会得到$1+1+2+4=8$(个)部分……

问题二:5个圆最多可以把平面分割成个部分.
(3)探究三,拓展延伸:
问题三:5条直线和1个圆最多可以把平面分割成多少个部分?请结合以上探究过程说明理由.

1.(1)16 解析:根据规律得,平面中画出第5条直线时,新增的一条直线与已知的4条直线最多有4个交点,这4个交点会把新增的这条直线分成5部分,从而多出5个部分,即总共会得到1+1+2+3+4+5=16(个)部分,所以5条直线最多可以把平面分割成16个部分.
(2)22 解析:平面中画出第5个圆时,新增的一个圆与已知的4个圆最多有8个交点,这8个交点会把新增的这个圆分成8部分,从而多出8个部分,即总共会得到1+1+2+4+6+8=22(个)部分.
(3)1条直线和1个圆最多将平面分割成2+2×1=4(个)部分,2条直线和1个圆最多将平面分割成4+2×2=8(个)部分……5条直线和1个圆最多将平面分割成16+2×5=26(个)部分.

2. 平面上有10条直线，无任何3条交于一点，要使它们出现31个交点，怎样安排才能实现？试画出图形。

2. 设10条直线交点的个数为n,则由交点个数规律知最多出现$\frac{10×9}{2}$=45(个)交点.
按题设要求只出现31个交点,需减少14个交点,有下列两种方法:
(1)多线共点,这与题设矛盾.
(2)出现平行线.若有6条直线互相平行,则可减少15个交点,故在这一方向上最多可取5条平行线,这时还有4个交点需要减去,换一个方向取3条平行线,即可减少3个交点,这时还剩下2条直线和1个需要减去的点,只得使这两条直线在第三个方向上互相平行即可.
画法合理即可: