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22 (2025 苏州姑苏月考)已知$(x + y)^{2}=4$,$(x - y)^{2}=16$,求下列各式的值.
(1) $x^{2}+y^{2}$;
(2) $xy$;
(3) $x^{4}+y^{4}$.
(1) $x^{2}+y^{2}$;
(2) $xy$;
(3) $x^{4}+y^{4}$.
答案
22. 解:(1) 根据题意,得 $ (x+y)^{2}+(x-y)^{2}=20 $,
则 $ x^{2}+2xy+y^{2}+x^{2}-2xy+y^{2}=2x^{2}+2y^{2}=20 $,
所以 $ x^{2}+y^{2}=10 $.
(2) 由(1),得 $ x^{2}+y^{2}=10 $.
因为 $ (x+y)^{2}=4 $,
所以 $ 2xy=(x+y)^{2}-(x^{2}+y^{2})=4-10=-6 $,
所以 $ xy=-3 $.
(3) 由(2),得 $ xy=-3 $,所以 $ (xy)^{2}=x^{2}y^{2}=9 $,
所以 $ x^{4}+y^{4}=(x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}y^{2}=10^{2}-2×9=82 $.
则 $ x^{2}+2xy+y^{2}+x^{2}-2xy+y^{2}=2x^{2}+2y^{2}=20 $,
所以 $ x^{2}+y^{2}=10 $.
(2) 由(1),得 $ x^{2}+y^{2}=10 $.
因为 $ (x+y)^{2}=4 $,
所以 $ 2xy=(x+y)^{2}-(x^{2}+y^{2})=4-10=-6 $,
所以 $ xy=-3 $.
(3) 由(2),得 $ xy=-3 $,所以 $ (xy)^{2}=x^{2}y^{2}=9 $,
所以 $ x^{4}+y^{4}=(x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}y^{2}=10^{2}-2×9=82 $.
23 已知$(x + a)(x-\frac{3}{2})$的结果中不含$x$的一次项,求$(a + 2)^{2}-(1 - a)(-a - 1)$的值.
答案
23. 解:根据题意,得 $ (x+a)(x-\dfrac{3}{2})=x^{2}+ax-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}a=x^{2}+(a-\dfrac{3}{2})x-\dfrac{3}{2}a $.
因为 $ (x+a)(x-\dfrac{3}{2}) $ 的结果中不含 $ x $ 的一次项,
所以 $ a-\dfrac{3}{2}=0 $,解得 $ a=\dfrac{3}{2} $.
又因为 $ (a+2)^{2}-(1-a)(-a-1)=a^{2}+4a+4+1-a^{2}=4a+5 $,
所以当 $ a=\dfrac{3}{2} $ 时,原式 $ =4×\dfrac{3}{2}+5=11 $.
因为 $ (x+a)(x-\dfrac{3}{2}) $ 的结果中不含 $ x $ 的一次项,
所以 $ a-\dfrac{3}{2}=0 $,解得 $ a=\dfrac{3}{2} $.
又因为 $ (a+2)^{2}-(1-a)(-a-1)=a^{2}+4a+4+1-a^{2}=4a+5 $,
所以当 $ a=\dfrac{3}{2} $ 时,原式 $ =4×\dfrac{3}{2}+5=11 $.
24 (2025 济南章丘期末)将几个图形拼成一个新的图形,通过图形面积的计算,常常可以得到一些等式,这是研究数学问题的一种常用方法.我们在学习“从面积到乘法公式”时,曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积,探索了完全平方公式:$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$,如图 1 所示.
(1) 观察图 2,请你写出$(a + b)^{2}$,$(a - b)^{2}$,$ab$之间的等量关系:
【拓展应用】根据(1)中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识,解决下列问题.
(2) 若$x + y = 4$,$xy=\frac{7}{4}$,且$x＞y$,求$x - y$的值;
(3) 若$(2025 - m)^{2}+(m - 2024)^{2}=7$,求$(2025 - m)(m - 2024)$的值;
(4) 如图 3,在$△ BCE$中,$∠ BCE = 90°$,$CE = 8$,点$M$在边$BC$上,$CM = 3$,在边$CE$上取一点$Q$,使$BM = EQ$,分别以$BC$,$CQ$为边在$△ BCE$的外部作正方形$ABCD$和正方形$COPQ$,连接$BQ$,若$△ BCQ$的面积为$\frac{21}{2}$,设$BM = x(x＞0)$,求正方形$ABCD$和正方形$COPQ$的面积之和.
(1) 观察图 2,请你写出$(a + b)^{2}$,$(a - b)^{2}$,$ab$之间的等量关系:
$ (a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab $
;【拓展应用】根据(1)中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识,解决下列问题.
(2) 若$x + y = 4$,$xy=\frac{7}{4}$,且$x＞y$,求$x - y$的值;
(3) 若$(2025 - m)^{2}+(m - 2024)^{2}=7$,求$(2025 - m)(m - 2024)$的值;
(4) 如图 3,在$△ BCE$中,$∠ BCE = 90°$,$CE = 8$,点$M$在边$BC$上,$CM = 3$,在边$CE$上取一点$Q$,使$BM = EQ$,分别以$BC$,$CQ$为边在$△ BCE$的外部作正方形$ABCD$和正方形$COPQ$,连接$BQ$,若$△ BCQ$的面积为$\frac{21}{2}$,设$BM = x(x＞0)$,求正方形$ABCD$和正方形$COPQ$的面积之和.
答案
24. 解:(1) $ (a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab $
(2) 由(1),得 $ (x-y)^{2}=(x+y)^{2}-4xy $.
因为 $ x+y=4 $, $ xy=\dfrac{7}{4} $,
所以 $ (x-y)^{2}=4^{2}-4×\dfrac{7}{4}=9 $.
又因为 $ x＞y $,所以 $ x-y=3 $.
(3) 根据题意,得 $ 2ab=(a+b)^{2}-(a^{2}+b^{2}) $.
因为 $ (2025-m)^{2}+(m-2024)^{2}=7 $,
所以 $ 2(2025-m)(m-2024)=[(2025-m)+(m-2024)]^{2}-[(2025-m)^{2}+(m-2024)^{2}]=1-7=-6 $,所以 $ (2025-m)(m-2024)=-3 $.
(4) 设 $ BM=x(x＞0) $,则 $ EQ=x $.
因为 $ CM=3 $, $ CE=8 $,
所以 $ CQ=CE-EQ=8-x $, $ BC=CM+BM=3+x $.
易得 $ S_{△ BCQ}=\dfrac{1}{2}CQ·BC=\dfrac{21}{2} $,
所以 $ (8-x)(3+x)=21 $.
令 $ 8-x=n $, $ 3+x=g $,则 $ n+g=11 $, $ ng=21 $,
所以正方形 $ ABCD $ 和正方形 $ COPQ $ 的面积之和为 $ g^{2}+n^{2}=(g+n)^{2}-2ng=11^{2}-2×21=79 $.
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(2) 由(1),得 $ (x-y)^{2}=(x+y)^{2}-4xy $.
因为 $ x+y=4 $, $ xy=\dfrac{7}{4} $,
所以 $ (x-y)^{2}=4^{2}-4×\dfrac{7}{4}=9 $.
又因为 $ x＞y $,所以 $ x-y=3 $.
(3) 根据题意,得 $ 2ab=(a+b)^{2}-(a^{2}+b^{2}) $.
因为 $ (2025-m)^{2}+(m-2024)^{2}=7 $,
所以 $ 2(2025-m)(m-2024)=[(2025-m)+(m-2024)]^{2}-[(2025-m)^{2}+(m-2024)^{2}]=1-7=-6 $,所以 $ (2025-m)(m-2024)=-3 $.
(4) 设 $ BM=x(x＞0) $,则 $ EQ=x $.
因为 $ CM=3 $, $ CE=8 $,
所以 $ CQ=CE-EQ=8-x $, $ BC=CM+BM=3+x $.
易得 $ S_{△ BCQ}=\dfrac{1}{2}CQ·BC=\dfrac{21}{2} $,
所以 $ (8-x)(3+x)=21 $.
令 $ 8-x=n $, $ 3+x=g $,则 $ n+g=11 $, $ ng=21 $,
所以正方形 $ ABCD $ 和正方形 $ COPQ $ 的面积之和为 $ g^{2}+n^{2}=(g+n)^{2}-2ng=11^{2}-2×21=79 $.
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