登录
1. 在 32 的因数上画“√”，在 30 的因数上画“△”，在 24 的因数上画“○”。
(1) 32 和 30 的公因数有(
(2) 32 和 24 的公因数有(
(3) 30 和 24 的公因数有(
(1) 32 和 30 的公因数有(
1,2
)，最大公因数是(2
)。(2) 32 和 24 的公因数有(
1,2,4,8
)，最大公因数是(8
)。(3) 30 和 24 的公因数有(
1,2,3,6
)，最大公因数是(6
)。答案
1，2
2
1,2,4,8
8
1,2,3,6
6
2
1,2,4,8
8
1,2,3,6
6
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先明确因数、公因数和最大公因数的概念：
1. 因数：如果整数a除以整数b（b≠0）的商正好是整数且没有余数，那么b就是a的因数。
2. 公因数：两个数共有的因数就是它们的公因数，其中最大的那个就是最大公因数。
解题步骤如下：
① 先分别找出32、30、24的所有因数；
② 根据题目要求在表格中对应数字上标记符号；
③ 分别找出每两组数共有的因数，即为公因数，再从中找出最大的那个就是最大公因数。
【解析】
1. 先找出各数的因数：
32的因数：1、2、4、8、16、32；
30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30；
24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24。
(1) 对比32和30的因数，共有的因数是1、2，其中最大的是2；
(2) 对比32和24的因数，共有的因数是1、2、4、8，其中最大的是8；
(3) 对比30和24的因数，共有的因数是1、2、3、6，其中最大的是6。
【答案】
(1) 1，2；2
(2) 1,2,4,8；8
(3) 1,2,3,6；6
【知识点】
因数的认识、公因数、最大公因数
【点评】
本题主要考查因数、公因数和最大公因数的概念及应用，解题关键是准确找出每个数的所有因数，再通过对比找出公因数和最大公因数，培养学生对因数相关概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要先明确因数、公因数和最大公因数的概念：
1. 因数：如果整数a除以整数b（b≠0）的商正好是整数且没有余数，那么b就是a的因数。
2. 公因数：两个数共有的因数就是它们的公因数，其中最大的那个就是最大公因数。
解题步骤如下：
① 先分别找出32、30、24的所有因数；
② 根据题目要求在表格中对应数字上标记符号；
③ 分别找出每两组数共有的因数，即为公因数，再从中找出最大的那个就是最大公因数。
【解析】
1. 先找出各数的因数：
32的因数：1、2、4、8、16、32；
30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30；
24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24。
(1) 对比32和30的因数，共有的因数是1、2，其中最大的是2；
(2) 对比32和24的因数，共有的因数是1、2、4、8，其中最大的是8；
(3) 对比30和24的因数，共有的因数是1、2、3、6，其中最大的是6。
【答案】
(1) 1，2；2
(2) 1,2,4,8；8
(3) 1,2,3,6；6
【知识点】
因数的认识、公因数、最大公因数
【点评】
本题主要考查因数、公因数和最大公因数的概念及应用，解题关键是准确找出每个数的所有因数，再通过对比找出公因数和最大公因数，培养学生对因数相关概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
2. 如果两个数的最大公因数是 12，那么这两个数一定还有公因数(
1,2,3,4,6
)。答案
1,2,3,4,6
解析
【分析】
要解决这道题，首先要理解最大公因数的含义：两个数的最大公因数是它们所有公有因数中最大的那个数。既然这两个数的最大公因数是12，那么12的所有因数必然都是这两个数的公因数（因为12是它们共有的因数，它的因数也能同时整除这两个数）。所以我们只需要找出12的所有因数，再排除最大公因数12本身，剩下的就是这两个数一定还有的公因数。
【解析】
第一步：找出12的所有因数。
因为1×12=12，2×6=12，3×4=12，所以12的因数有1、2、3、4、6、12。
第二步：根据题意，最大公因数是12，题目问的是“一定还有的公因数”，即除12之外的公因数，所以这两个数一定还有的公因数是1、2、3、4、6。
【答案】
1,2,3,4,6
【知识点】
最大公因数的性质、因数的概念
【点评】
本题主要考查对最大公因数和因数关系的理解，解题的关键是明确：两个数的最大公因数的所有因数，都是这两个数的公因数。通过这道题可以加深对公因数、最大公因数概念的掌握，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要理解最大公因数的含义：两个数的最大公因数是它们所有公有因数中最大的那个数。既然这两个数的最大公因数是12，那么12的所有因数必然都是这两个数的公因数（因为12是它们共有的因数，它的因数也能同时整除这两个数）。所以我们只需要找出12的所有因数，再排除最大公因数12本身，剩下的就是这两个数一定还有的公因数。
【解析】
第一步：找出12的所有因数。
因为1×12=12，2×6=12，3×4=12，所以12的因数有1、2、3、4、6、12。
第二步：根据题意，最大公因数是12，题目问的是“一定还有的公因数”，即除12之外的公因数，所以这两个数一定还有的公因数是1、2、3、4、6。
【答案】
1,2,3,4,6
【知识点】
最大公因数的性质、因数的概念
【点评】
本题主要考查对最大公因数和因数关系的理解，解题的关键是明确：两个数的最大公因数的所有因数，都是这两个数的公因数。通过这道题可以加深对公因数、最大公因数概念的掌握，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 选一选。
(1) $a$，$b$ 是非 0 自然数，若 $a÷b = 1······1$，则 $a$ 和 $b$ 的最大公因数是(
A. 1
B. a
C. b
D. ab
(2) 甲和乙是两个非 0 自然数，它们的关系如下图，甲、乙两个数的最大公因数是(
A. 甲
B. 乙
C. 1
D. 甲×乙
(1) $a$，$b$ 是非 0 自然数，若 $a÷b = 1······1$，则 $a$ 和 $b$ 的最大公因数是(
A
)。A. 1
B. a
C. b
D. ab
(2) 甲和乙是两个非 0 自然数，它们的关系如下图，甲、乙两个数的最大公因数是(
A
)。A. 甲
B. 乙
C. 1
D. 甲×乙
答案
A
A
A
解析
【分析】
1. 第(1)题：根据有余数除法的关系，由$a÷b = 1······1$可推导出$a = b + 1$，说明$a$和$b$是相邻的非0自然数，相邻的非0自然数互为互质数，互质数的最大公因数是1，据此分析选项。
2. 第(2)题：从图中可知甲的因数全部包含在乙的因数中，说明甲是乙的因数，即乙是甲的倍数。当两个非0自然数存在倍数关系时，它们的最大公因数是其中较小的数，也就是甲，据此判断选项。
【解析】
(1) 由$a÷b = 1······1$可得$a = b×1 + 1 = b + 1$，$a$和$b$是相邻的非0自然数，相邻的非0自然数互质，互质的两个数的最大公因数是1，因此选A。
(2) 由图中“甲的因数”包含于“乙的因数”可知，甲是乙的因数，乙是甲的倍数，当两个数为倍数关系时，最大公因数是较小的数，即甲，因此选A。
【答案】
A；A
【知识点】
1. 互质数的特征
2. 倍数关系的最大公因数
【点评】
本题考查最大公因数的判断，需要结合有余数除法的数量关系、因数与倍数的包含关系，灵活运用互质数、倍数关系下的最大公因数规律，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)题：根据有余数除法的关系，由$a÷b = 1······1$可推导出$a = b + 1$，说明$a$和$b$是相邻的非0自然数，相邻的非0自然数互为互质数，互质数的最大公因数是1，据此分析选项。
2. 第(2)题：从图中可知甲的因数全部包含在乙的因数中，说明甲是乙的因数，即乙是甲的倍数。当两个非0自然数存在倍数关系时，它们的最大公因数是其中较小的数，也就是甲，据此判断选项。
【解析】
(1) 由$a÷b = 1······1$可得$a = b×1 + 1 = b + 1$，$a$和$b$是相邻的非0自然数，相邻的非0自然数互质，互质的两个数的最大公因数是1，因此选A。
(2) 由图中“甲的因数”包含于“乙的因数”可知，甲是乙的因数，乙是甲的倍数，当两个数为倍数关系时，最大公因数是较小的数，即甲，因此选A。
【答案】
A；A
【知识点】
1. 互质数的特征
2. 倍数关系的最大公因数
【点评】
本题考查最大公因数的判断，需要结合有余数除法的数量关系、因数与倍数的包含关系，灵活运用互质数、倍数关系下的最大公因数规律，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.6
4. 如果 $A = 2×2×3×5$，$B = 2×3×3×5$，那么 $A$ 和 $B$ 的最大公因数是(
30
)。答案
30
解析
【分析】
要找出A和B的最大公因数，首先回忆最大公因数的定义：两个数公有的质因数的乘积就是它们的最大公因数。先观察A和B的质因数分解形式，A=2×2×3×5，B=2×3×3×5，我们需要找出它们公有的质因数，然后将这些公有的质因数相乘，就能得到最大公因数。具体步骤是先圈出公有的质因数，再计算乘积。
【解析】
已知$A = 2×2×3×5$，$B = 2×3×3×5$，
A和B公有的质因数为2、3、5，
将这些公有的质因数相乘：$2×3×5=30$，
所以A和B的最大公因数是30。
【答案】
30
【知识点】
质因数分解法求最大公因数
【点评】
本题主要考查用质因数分解法求两个数的最大公因数，解题关键是准确识别两个数公有的质因数，再进行乘法运算，属于基础题型，掌握质因数分解与最大公因数的关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要找出A和B的最大公因数，首先回忆最大公因数的定义：两个数公有的质因数的乘积就是它们的最大公因数。先观察A和B的质因数分解形式，A=2×2×3×5，B=2×3×3×5，我们需要找出它们公有的质因数，然后将这些公有的质因数相乘，就能得到最大公因数。具体步骤是先圈出公有的质因数，再计算乘积。
【解析】
已知$A = 2×2×3×5$，$B = 2×3×3×5$，
A和B公有的质因数为2、3、5，
将这些公有的质因数相乘：$2×3×5=30$，
所以A和B的最大公因数是30。
【答案】
30
【知识点】
质因数分解法求最大公因数
【点评】
本题主要考查用质因数分解法求两个数的最大公因数，解题关键是准确识别两个数公有的质因数，再进行乘法运算，属于基础题型，掌握质因数分解与最大公因数的关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
5. 把长度分别为 20 分米和 28 分米的两根彩带剪成同样长的小段且没有剩余，每小段最长是多少分米？至少可以剪成几段？
答案
(20,28)=4
20÷4+28÷4=12(段)
答：每小段最长是4分米，至少可以剪成12段。
20÷4+28÷4=12(段)
答：每小段最长是4分米，至少可以剪成12段。
解析
【分析】
这道题是最大公因数的实际应用问题。要把两根不同长度的彩带剪成同样长且无剩余的小段，求每小段最长的长度，其实就是求20和28的最大公因数，因为最大公因数是能同时整除这两个数的最大数，满足“最长”且“无剩余”的要求。求出最长小段长度后，分别用两根彩带的长度除以这个最长长度，得到各自能剪成的段数，再相加就是至少可以剪成的总段数。
【解析】
1. 求20和28的最大公因数：
通过短除法计算，先同时除以公因数2，得到10和14；再同时除以公因数2，得到互质的5和7，因此20和28的最大公因数是$2×2=4$，即每小段最长是4分米。
2. 计算至少可以剪成的总段数：
第一根彩带可剪成的段数：$20÷4=5$（段）
第二根彩带可剪成的段数：$28÷4=7$（段）
总段数：$5+7=12$（段）
【答案】
每小段最长是4分米，至少可以剪成12段。
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，核心是理解“剪成同样长的小段且无剩余，每小段最长”对应求两个数的最大公因数，再通过除法运算得到总段数，属于基础应用题，能帮助学生强化数论知识与实际问题的结合能力。
【难度系数】
0.8
这道题是最大公因数的实际应用问题。要把两根不同长度的彩带剪成同样长且无剩余的小段，求每小段最长的长度，其实就是求20和28的最大公因数，因为最大公因数是能同时整除这两个数的最大数，满足“最长”且“无剩余”的要求。求出最长小段长度后，分别用两根彩带的长度除以这个最长长度，得到各自能剪成的段数，再相加就是至少可以剪成的总段数。
【解析】
1. 求20和28的最大公因数：
通过短除法计算，先同时除以公因数2，得到10和14；再同时除以公因数2，得到互质的5和7，因此20和28的最大公因数是$2×2=4$，即每小段最长是4分米。
2. 计算至少可以剪成的总段数：
第一根彩带可剪成的段数：$20÷4=5$（段）
第二根彩带可剪成的段数：$28÷4=7$（段）
总段数：$5+7=12$（段）
【答案】
每小段最长是4分米，至少可以剪成12段。
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，核心是理解“剪成同样长的小段且无剩余，每小段最长”对应求两个数的最大公因数，再通过除法运算得到总段数，属于基础应用题，能帮助学生强化数论知识与实际问题的结合能力。
【难度系数】
0.8
6. 某机场准备在大厅门口的长廊放置自助饮料售卖机。如图，从 A 地经过 B 地到 C 地，如果每隔相同的距离放置一台，那么至少需要放置多少台自助饮料售卖机？（A 地、B 地和 C 地各需放置一台）
答案
(800,1200)=400
800÷400+1200÷400+1=6(台)
答：至少需要放置6台自助饮料售卖机。
800÷400+1200÷400+1=6(台)
答：至少需要放置6台自助饮料售卖机。
解析
【分析】
要使放置的自助饮料售卖机数量最少，需让相邻两台售卖机的间隔距离尽可能大，这个最大间隔距离就是A到B的1200米与B到C的800米的最大公因数。先求出该最大公因数，再结合两端都栽的植树问题思路，分别计算两段路线的间隔数，最后汇总得到总台数，注意B地的售卖机仅算一次。
【解析】
1. 求800和1200的最大公因数：
通过计算可得$(800,1200)=400$，即最大间隔距离为400米。
2. 计算总售卖机数量：
根据两端都栽的植树问题公式，总台数=两段的间隔数之和 + 1，即起点A的售卖机，代入数据：
$800÷400 + 1200÷400 + 1 = 2 + 3 + 1 = 6$（台）
【答案】
至少需要放置6台自助饮料售卖机。
【知识点】
最大公因数应用、两端都栽植树问题
【点评】
本题将最大公因数与植树问题结合，核心是明确“最少台数”对应最大间隔距离，需准确把握两段路线连接点的计数规则，避免重复计算，考查学生对知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
要使放置的自助饮料售卖机数量最少，需让相邻两台售卖机的间隔距离尽可能大，这个最大间隔距离就是A到B的1200米与B到C的800米的最大公因数。先求出该最大公因数，再结合两端都栽的植树问题思路，分别计算两段路线的间隔数，最后汇总得到总台数，注意B地的售卖机仅算一次。
【解析】
1. 求800和1200的最大公因数：
通过计算可得$(800,1200)=400$，即最大间隔距离为400米。
2. 计算总售卖机数量：
根据两端都栽的植树问题公式，总台数=两段的间隔数之和 + 1，即起点A的售卖机，代入数据：
$800÷400 + 1200÷400 + 1 = 2 + 3 + 1 = 6$（台）
【答案】
至少需要放置6台自助饮料售卖机。
【知识点】
最大公因数应用、两端都栽植树问题
【点评】
本题将最大公因数与植树问题结合，核心是明确“最少台数”对应最大间隔距离，需准确把握两段路线连接点的计数规则，避免重复计算，考查学生对知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
