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1. 某种花卉每盆的盈利与每盆植的株数有一定的关系.当每盆植3株时,平均每株的盈利为4元;若每盆每多植1株,则平均每株的盈利减少0.5元.若要使每盆的盈利达到15元,则每盆应多植多少株?设每盆应多植x株,则可列方程为()
A.$(3+x)(4-0.5x)=15$
B.$(x+3)(4+0.5x)=15$
C.$(x+4)(3-0.5x)=15$
D.$(x+1)(4-0.5x)=15$
A.$(3+x)(4-0.5x)=15$
B.$(x+3)(4+0.5x)=15$
C.$(x+4)(3-0.5x)=15$
D.$(x+1)(4-0.5x)=15$
答案
A
解析
设每盆多植$x$株，则每盆植$(3 + x)$株。原平均每株盈利为4元，每多植1株，平均每株盈利减少0.5元，因此新的平均每株盈利为$(4 - 0.5x)$元。
根据每盆盈利=每盆株数$×$平均每株盈利，可得方程：
$(3 + x)(4 - 0.5x) = 15$。
根据每盆盈利=每盆株数$×$平均每株盈利，可得方程：
$(3 + x)(4 - 0.5x) = 15$。
2. (2024·辽宁)某商场出售一种商品,经市场调查发现,日销售量y(件)与每件售价x(元)之间满足一次函数关系,部分数据如表所示:
(1) y与x之间的函数表达式为(不要求写出自变量x的取值范围);
(2) 该种商品的日销售额(填“能”或“不能”)达到2600元.
(1) y与x之间的函数表达式为(不要求写出自变量x的取值范围);
(2) 该种商品的日销售额(填“能”或“不能”)达到2600元.
答案
(1) 设 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y = kx + b$。
根据表格中的数据，可以列出以下方程组：
$\begin{cases}45k + b = 55, \\55k + b = 45.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}k = -1, \\b = 100.\end{cases}$
因此，$y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y = -x + 100$。
(2) 设日销售额为 $w$ 元，则 $w = x × y = x(-x + 100) = -x^2 + 100x$。
这是一个开口向下的二次函数，其最大值出现在对称轴上，即 $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-100}{2 × (-1)} = 50$。
将 $x = 50$ 代入 $w$，得到 $w_{最大} = -50^2 + 100 × 50 = 2500$。
由于 $2500 ＜ 2600$，因此该种商品的日销售额不能达到 2600 元。
故答案为：(1) $y = -x + 100$；(2) 不能。
根据表格中的数据，可以列出以下方程组：
$\begin{cases}45k + b = 55, \\55k + b = 45.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}k = -1, \\b = 100.\end{cases}$
因此，$y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y = -x + 100$。
(2) 设日销售额为 $w$ 元，则 $w = x × y = x(-x + 100) = -x^2 + 100x$。
这是一个开口向下的二次函数，其最大值出现在对称轴上，即 $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-100}{2 × (-1)} = 50$。
将 $x = 50$ 代入 $w$，得到 $w_{最大} = -50^2 + 100 × 50 = 2500$。
由于 $2500 ＜ 2600$，因此该种商品的日销售额不能达到 2600 元。
故答案为：(1) $y = -x + 100$；(2) 不能。
3. (教材P27练习第2题变式)(2024·烟台)每年5月的第三个星期日为全国助残日,2024年的主题是“科技助残,共享美好生活”.某公司新研发了一批便携式轮椅,计划在该月销售.根据市场调查,每辆轮椅盈利200元时,每天可售出60辆;单价每降低10元,每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不低于180元.若全国助残日当天,公司共获得销售利润12160元,请问这天售出了多少辆轮椅?
答案
64
解析
设每辆轮椅降价$10m$元（$m$为非负整数），则每辆轮椅的利润为$(200 - 10m)$元，每天的销量为$(60 + 4m)$辆。
依题意：
1. 利润限制：每辆利润不低于180元，即$200 - 10m \geq 180$，解得$m \leq 2$。
2. 总利润方程：总利润=每辆利润×销量，即$(200 - 10m)(60 + 4m) = 12160$。
解方程：
展开并整理方程：
$(200 - 10m)(60 + 4m) = 12160 \\ 12000 + 800m - 600m - 40m^2 = 12160 \\ -40m^2 + 200m - 160 = 0 \\ m^2 - 5m + 4 = 0 $
因式分解得$(m - 1)(m - 4) = 0$，解得$m = 1$或$m = 4$。
结合利润限制：
$m = 4$时，每辆利润$200 - 10×4 = 160 ＜ 180$（舍去）；$m = 1$符合题意。
计算销量：
当$m = 1$时，销量为$60 + 4×1 = 64$辆。
结论：
这天售出了$64$辆轮椅。
依题意：
1. 利润限制：每辆利润不低于180元，即$200 - 10m \geq 180$，解得$m \leq 2$。
2. 总利润方程：总利润=每辆利润×销量，即$(200 - 10m)(60 + 4m) = 12160$。
解方程：
展开并整理方程：
$(200 - 10m)(60 + 4m) = 12160 \\ 12000 + 800m - 600m - 40m^2 = 12160 \\ -40m^2 + 200m - 160 = 0 \\ m^2 - 5m + 4 = 0 $
因式分解得$(m - 1)(m - 4) = 0$，解得$m = 1$或$m = 4$。
结合利润限制：
$m = 4$时，每辆利润$200 - 10×4 = 160 ＜ 180$（舍去）；$m = 1$符合题意。
计算销量：
当$m = 1$时，销量为$60 + 4×1 = 64$辆。
结论：
这天售出了$64$辆轮椅。
4. (2024·遂宁改编)宾馆有50间房供游客居住,当每间房每天的定价为180元时,宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲1间房.如果有游客居住,那么宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当每间房每天的定价为多少元时,宾馆当天的利润为10890元?设每间房每天的定价为x元,则可列方程为()
A.$(180+x-20)(50-\frac{x}{10})=10890$
B.$(x-20)(50-\frac{x-180}{10})=10890$
C.$x(50-\frac{x-180}{10})-50×20=10890$
D.$(x+180)(50-\frac{x}{10})-50×20=10890$
A.$(180+x-20)(50-\frac{x}{10})=10890$
B.$(x-20)(50-\frac{x-180}{10})=10890$
C.$x(50-\frac{x-180}{10})-50×20=10890$
D.$(x+180)(50-\frac{x}{10})-50×20=10890$
答案
B
解析
设每间房每天的定价为$x$元，
由题意知，当定价为180元时，宾馆住满，即50间房都被租出，
当定价每增加10元，就会空闲1间房，
因此，当定价为$x$元时，空闲的房间数为$\frac{x - 180}{10}$，
所以，被租出的房间数为$50 - \frac{x - 180}{10}$，
每间房每天的支出为20元，所以每间房的实际收入为$(x - 20)$元，
因此，宾馆当天的总利润为$(x - 20)$乘以被租出的房间数，即$(x - 20)\left(50 - \frac{x - 180}{10}\right)$，
根据题意，这个总利润等于10890元，所以我们有方程：$(x - 20)\left(50 - \frac{x - 180}{10}\right) = 10890$。
由题意知，当定价为180元时，宾馆住满，即50间房都被租出，
当定价每增加10元，就会空闲1间房，
因此，当定价为$x$元时，空闲的房间数为$\frac{x - 180}{10}$，
所以，被租出的房间数为$50 - \frac{x - 180}{10}$，
每间房每天的支出为20元，所以每间房的实际收入为$(x - 20)$元，
因此，宾馆当天的总利润为$(x - 20)$乘以被租出的房间数，即$(x - 20)\left(50 - \frac{x - 180}{10}\right)$，
根据题意，这个总利润等于10890元，所以我们有方程：$(x - 20)\left(50 - \frac{x - 180}{10}\right) = 10890$。
