5. 如图9，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，$PE⊥BC$于点E，$PF⊥CD$于点F，连接EF.给出下列结论：①$AP=EF$；②$AP⊥EF$；③$△APD$一定是等腰三角形；④$∠PFE=∠BAP$；⑤$PD=\sqrt {2}EC$.其中正确结论的序号是______.

①②④⑤

1. 如图10，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE，DF.求证：$CE=DF$.

【解析】：
- 因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = BC = CD$，$\angle B=\angle BCD = 90^{\circ}$。
- 又因为$E$是边$AB$的中点，$F$是边$BC$的中点，所以$BE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}BC$，则$BE = CF$。
- 在$\triangle CBE$和$\triangle DCF$中：
$BC = CD$（已证）
$\angle B=\angle BCD$（已证）
$BE = CF$（已证）
- 根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle CBE\cong\triangle DCF$。
- 因为全等三角形的对应边相等，所以$CE = DF$。
【答案】：
在正方形$ABCD$中，$AB = BC = CD$，$\angle B=\angle BCD = 90^{\circ}$。
$\because E$是$AB$中点，$F$是$BC$中点，$\therefore BE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}BC$，$\therefore BE = CF$。
在$\triangle CBE$和$\triangle DCF$中，$\begin{cases}BC = CD\\\angle B=\angle BCD\\BE = CF\end{cases}$，$\therefore\triangle CBE\cong\triangle DCF(SAS)$，$\therefore CE = DF$。

2. 如图11，在四边形ABCD中，$AD// BC$，$AD=CD$，E是对角线BD上一点，且$EA=EC$.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如果$BE=BC$，且$∠CBE:∠BCE=2:3$，求证：四边形ABCD是正方形.

【解析】：
(1) 首先证明$\triangle ADE\cong\triangle CDE$，得到$\angle ADE = \angle CDE$，再利用$AD// BC$得出$\angle ADE = \angle CBD$，进而得到$\angle CDE = \angle CBD$，推出$BC = CD$，结合$AD = CD$和$AD// BC$，证明四边形$ABCD$是菱形。
(2) 根据$BE = BC$得出$\angle BCE = \angle BEC$，结合$\angle CBE:\angle BCE = 2:3$求出$\angle CBE = 45^{\circ}$，再由(1)中$\angle ADE = \angle CDE = \angle CBD$得出$\angle ADC = 90^{\circ}$，结合四边形$ABCD$是菱形，证明四边形$ABCD$是正方形。
【答案】：
(1) 在$\triangle ADE$与$\triangle CDE$中，$\left\{\begin{array}{l} AD = CD\\ DE = DE\\ EA = EC\end{array}\right.$，所以$\triangle ADE\cong\triangle CDE(SSS)$，则$\angle ADE = \angle CDE$。
因为$AD// BC$，所以$\angle ADE = \angle CBD$，所以$\angle CDE = \angle CBD$，所以$BC = CD$。
又因为$AD = CD$，所以$BC = AD$，又$AD// BC$，所以四边形$ABCD$是平行四边形，又$AD = CD$，所以四边形$ABCD$是菱形。
(2) 因为$BE = BC$，所以$\angle BCE = \angle BEC$。
因为$\angle CBE:\angle BEC = 2:3$，设$\angle CBE = 2x$，则$\angle BEC=\angle BCE = 3x$。
在$\triangle BEC$中，$2x + 3x + 3x = 180^{\circ}$，解得$x = 22.5^{\circ}$，所以$\angle CBE = 45^{\circ}$。
由(1)知$\angle ADE = \angle CDE = \angle CBD$，所以$\angle ADE = \angle CDE = 45^{\circ}$，所以$\angle ADC = 90^{\circ}$。
又因为四边形$ABCD$是菱形，所以四边形$ABCD$是正方形。