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1. 一个数的倒数是$\frac{9}{5}$,它的$\frac{2}{3}$是多少？
答案
$\frac{5}{9}×\frac{2}{3}=\frac{10}{27}$
2. 甲数是$\frac{5}{7}$,乙数是甲数倒数的$\frac{7}{2}$,乙数是多少？
答案
$\frac{7}{5}×\frac{7}{2}=\frac{49}{10}$
解析
甲数的倒数是$\frac{7}{5}$，乙数是$\frac{7}{5} × \frac{7}{2} = \frac{49}{10}$
3. 最小的质数与它的倒数的差是多少？
答案
$2-\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}$
1. 爷爷书桌的桌面是长方形的,长为$1.6$米,宽是长的倒数。这张书桌的桌面有多大？
答案
$1.6×(1÷1.6)=1$(平方米)
解析
$1.6×(1÷1.6)=1$（平方米）
2. 已知甲$×\frac{3}{4}= 乙×\frac{5}{7}= 丙×\frac{8}{9}$(甲、乙、丙三个数都不为$0$),你能将甲、乙、丙三个数按从小到大的顺序排列起来吗？
答案
因为$\frac{8}{9}＞\frac{3}{4}＞\frac{5}{7}$,所以丙＜甲＜乙。
解析
因为甲$×\frac{3}{4} = $乙$×\frac{5}{7} = $丙$×\frac{8}{9}$（甲、乙、丙均不为$0$），假设它们的乘积都等于$1$，则甲$=\frac{4}{3}$，乙$=\frac{7}{5}$，丙$=\frac{9}{8}$。
比较$\frac{4}{3}$、$\frac{7}{5}$、$\frac{9}{8}$的大小：
$\frac{4}{3} \approx 1.333$，$\frac{7}{5} = 1.4$，$\frac{9}{8} = 1.125$
因为$1.125＜1.333＜1.4$，所以$\frac{9}{8}＜\frac{4}{3}＜\frac{7}{5}$，即丙＜甲＜乙。
比较$\frac{4}{3}$、$\frac{7}{5}$、$\frac{9}{8}$的大小：
$\frac{4}{3} \approx 1.333$，$\frac{7}{5} = 1.4$，$\frac{9}{8} = 1.125$
因为$1.125＜1.333＜1.4$，所以$\frac{9}{8}＜\frac{4}{3}＜\frac{7}{5}$，即丙＜甲＜乙。
六、我会想。
两个自然数的倒数的和是$\frac{11}{30}$,这两个数各是多少？
两个自然数的倒数的和是$\frac{11}{30}$,这两个数各是多少？
答案
这两个自然数是 5 和 6 或 30 和 3
解析
设这两个自然数分别为$a$和$b$（$a ＜ b$），则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{11}{30}$，通分可得$\frac{a + b}{ab} = \frac{11}{30}$，即$30(a + b) = 11ab$，$11ab - 30a - 30b = 0$，两边同时加$\frac{900}{11}$配方得$(11a - 30)(11b - 30) = 900$。
因为$a$、$b$是自然数，所以$11a - 30$和$11b - 30$是正整数且$11a - 30 ＜ 11b - 30$，$900$的因数对有：
$ (30, 30) $：$11a - 30 = 30$，$a = \frac{60}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (20, 45) $：$11a - 30 = 20$，$a = \frac{50}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (15, 60) $：$11a - 30 = 15$，$a = \frac{45}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (12, 75) $：$11a - 30 = 12$，$a = \frac{42}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (10, 90) $：$11a - 30 = 10$，$a = \frac{40}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (6, 150) $：$11a - 30 = 6$，$a = \frac{36}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (5, 180) $：$11a - 30 = 5$，$a = \frac{35}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (4, 225) $：$11a - 30 = 4$，$a = \frac{34}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (3, 300) $：$11a - 30 = 3$，$a = 3$，则$11b - 30 = 300$，$b = 30$；
$ (2, 450) $：$11a - 30 = 2$，$a = \frac{32}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (1, 900) $：$11a - 30 = 1$，$a = \frac{31}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (50, 18) $：$11a - 30 = 50$，$a = \frac{80}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (60, 15) $：$11a - 30 = 60$，$a = \frac{90}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (75, 12) $：$11a - 30 = 75$，$a = \frac{105}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (90, 10) $：$11a - 30 = 90$，$a = \frac{120}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (100, 9) $：$11a - 30 = 100$，$a = 10$，$11b - 30 = 9$，$b = \frac{39}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (150, 6) $：$11a - 30 = 150$，$a = \frac{180}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (180, 5) $：$11a - 30 = 180$，$a = \frac{210}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (225, 4) $：$11a - 30 = 225$，$a = \frac{255}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (300, 3) $：$11a - 30 = 300$，$a = 30$，$b = 3$（与$a ＜ b$不符，视为同一组）；
$ (450, 2) $：$11a - 30 = 450$，$a = \frac{480}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (900, 1) $：$11a - 30 = 900$，$a = \frac{930}{11}$（非自然数，舍去）。
另一种方法：$ab = 30k$，$a + b = 11k$（$k$为正整数），则$a$、$b$是方程$x^2 - 11kx + 30k = 0$的根，判别式$121k^2 - 120k$为完全平方数。
$k = 1$：方程$x^2 - 11x + 30 = 0$，$(x - 5)(x - 6) = 0$，解得$x = 5$或$6$；
$k = 3$：方程$x^2 - 33x + 90 = 0$，$(x - 3)(x - 30) = 0$，解得$x = 3$或$30$。
综上，这两个数是 5 和 6 或 3 和 30。
5和6或3和30
因为$a$、$b$是自然数，所以$11a - 30$和$11b - 30$是正整数且$11a - 30 ＜ 11b - 30$，$900$的因数对有：
$ (30, 30) $：$11a - 30 = 30$，$a = \frac{60}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (20, 45) $：$11a - 30 = 20$，$a = \frac{50}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (15, 60) $：$11a - 30 = 15$，$a = \frac{45}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (12, 75) $：$11a - 30 = 12$，$a = \frac{42}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (10, 90) $：$11a - 30 = 10$，$a = \frac{40}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (6, 150) $：$11a - 30 = 6$，$a = \frac{36}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (5, 180) $：$11a - 30 = 5$，$a = \frac{35}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (4, 225) $：$11a - 30 = 4$，$a = \frac{34}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (3, 300) $：$11a - 30 = 3$，$a = 3$，则$11b - 30 = 300$，$b = 30$；
$ (2, 450) $：$11a - 30 = 2$，$a = \frac{32}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (1, 900) $：$11a - 30 = 1$，$a = \frac{31}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (50, 18) $：$11a - 30 = 50$，$a = \frac{80}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (60, 15) $：$11a - 30 = 60$，$a = \frac{90}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (75, 12) $：$11a - 30 = 75$，$a = \frac{105}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (90, 10) $：$11a - 30 = 90$，$a = \frac{120}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (100, 9) $：$11a - 30 = 100$，$a = 10$，$11b - 30 = 9$，$b = \frac{39}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (150, 6) $：$11a - 30 = 150$，$a = \frac{180}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (180, 5) $：$11a - 30 = 180$，$a = \frac{210}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (225, 4) $：$11a - 30 = 225$，$a = \frac{255}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (300, 3) $：$11a - 30 = 300$，$a = 30$，$b = 3$（与$a ＜ b$不符，视为同一组）；
$ (450, 2) $：$11a - 30 = 450$，$a = \frac{480}{11}$（非自然数，舍去）；
$ (900, 1) $：$11a - 30 = 900$，$a = \frac{930}{11}$（非自然数，舍去）。
另一种方法：$ab = 30k$，$a + b = 11k$（$k$为正整数），则$a$、$b$是方程$x^2 - 11kx + 30k = 0$的根，判别式$121k^2 - 120k$为完全平方数。
$k = 1$：方程$x^2 - 11x + 30 = 0$，$(x - 5)(x - 6) = 0$，解得$x = 5$或$6$；
$k = 3$：方程$x^2 - 33x + 90 = 0$，$(x - 3)(x - 30) = 0$，解得$x = 3$或$30$。
综上，这两个数是 5 和 6 或 3 和 30。
5和6或3和30
