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知识点一 平方根的定义
一般地,如果一个数x的
即
根,也叫作二次方根。
一般地,如果一个数x的
平方
等于a,即
$x^2=a$
,那么这个数x就叫作a的平方根,也叫作二次方根。
答案
平方 $x^2=a$
解析
【分析】
这道题考查平方根的基础定义，属于概念识记类题目。解题时只需回忆教材中平方根的定义内容即可：我们定义平方根的前提是一个数与a存在平方运算的等量关系，第一个空要填x和a的运算关联，第二个空要把文字描述的等量关系转化为数学表达式。
【解析】
根据平方根的定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么这个数x就叫作a的平方根，也叫作二次方根。因此两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
平方；$x^2=a$
【知识点】
平方根的定义
【点评】
本题是对平方根基础概念的直接考查，属于基础识记题型，熟练掌握教材核心概念是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.9
这道题考查平方根的基础定义，属于概念识记类题目。解题时只需回忆教材中平方根的定义内容即可：我们定义平方根的前提是一个数与a存在平方运算的等量关系，第一个空要填x和a的运算关联，第二个空要把文字描述的等量关系转化为数学表达式。
【解析】
根据平方根的定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么这个数x就叫作a的平方根，也叫作二次方根。因此两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
平方；$x^2=a$
【知识点】
平方根的定义
【点评】
本题是对平方根基础概念的直接考查，属于基础识记题型，熟练掌握教材核心概念是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.9
知识点二 平方根的性质
一个
一个
正数
有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数
没有平方根。答案
正数 负数
解析
【分析】
拿到这道题我们可以结合平方根的定义和平方运算的特点来思考：首先回忆，如果$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的平方根。我们知道所有数的平方结果都是非负数（大于等于0），所以能作为被开方数的$a$也必须是非负数。接下来分情况看：①对于正数来说，一个正数和它的相反数的平方都等于这个正数，所以正数有两个平方根；②0的平方是0，所以0只有一个平方根就是本身；③负数不可能是任何实数的平方，所以负数没有平方根，顺着这个思路就能填出对应的答案。
【解析】
根据平方根的性质：
1. 一个正数有两个互为相反数的平方根；
2. 0的平方根是0本身；
3. 负数不存在平方根，因为不存在一个实数的平方等于负数。
因此两个空依次填入正数、负数。
【答案】
正数 负数
【知识点】
平方根的性质；平方的非负性
【点评】
本题是对平方根基础概念性质的直接考查，属于基础题型，熟练记忆平方根的相关性质即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
拿到这道题我们可以结合平方根的定义和平方运算的特点来思考：首先回忆，如果$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的平方根。我们知道所有数的平方结果都是非负数（大于等于0），所以能作为被开方数的$a$也必须是非负数。接下来分情况看：①对于正数来说，一个正数和它的相反数的平方都等于这个正数，所以正数有两个平方根；②0的平方是0，所以0只有一个平方根就是本身；③负数不可能是任何实数的平方，所以负数没有平方根，顺着这个思路就能填出对应的答案。
【解析】
根据平方根的性质：
1. 一个正数有两个互为相反数的平方根；
2. 0的平方根是0本身；
3. 负数不存在平方根，因为不存在一个实数的平方等于负数。
因此两个空依次填入正数、负数。
【答案】
正数 负数
【知识点】
平方根的性质；平方的非负性
【点评】
本题是对平方根基础概念性质的直接考查，属于基础题型，熟练记忆平方根的相关性质即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
知识点三 开平方的定义
求一个数a的
求一个数a的
平方根
的运算，叫作开平方，a叫作被开方数。答案
平方根
解析
【分析】
这道题考查开平方的基础定义，解题时先回忆开平方的相关概念：平方运算和开平方运算是互逆运算，若一个数x的平方等于a（即$x^2=a$），则x叫做a的平方根，求a对应的平方根的运算就叫做开平方，其中a是被开方数，对照题干描述即可确定空缺处的内容。
【解析】
根据开平方的定义：求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数，因此空缺处应填入“平方根”。
【答案】
平方根
【知识点】
开平方的定义；平方根的概念
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考查对课本基础定义的掌握情况，只要熟记相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
这道题考查开平方的基础定义，解题时先回忆开平方的相关概念：平方运算和开平方运算是互逆运算，若一个数x的平方等于a（即$x^2=a$），则x叫做a的平方根，求a对应的平方根的运算就叫做开平方，其中a是被开方数，对照题干描述即可确定空缺处的内容。
【解析】
根据开平方的定义：求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数，因此空缺处应填入“平方根”。
【答案】
平方根
【知识点】
开平方的定义；平方根的概念
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考查对课本基础定义的掌握情况，只要熟记相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
例1 判断下列说法是否正确：
(1)1的平方根是1；
(2)−16的平方根是±4；
(3)±3的平方根是9；
(4)$\sqrt{81}=±9$；
(5)−7是49的平方根；
(6)$\sqrt{16}$的平方根是±4。
[点拨] 熟记算术平方根和平方根的定义是解题的关键。
[解] (1)不正确，因为1是正数，1的平方根有两个，是±1。
(2)不正确，因为−16是负数，负数没有平方根。
(3)不正确，因为±3的平方是9。
(4)不正确，因为$\sqrt{81}$表示81的算术平方根，它是一个正数，即$\sqrt{81}=9$。
(5)正确，因为$(-7)^2=49$，根据平方根的概念知，−7是49的平方根。但反过来说49的平方根是−7就错了。
(6)不正确，因为$\sqrt{16}=4$，$\sqrt{16}$的平方根即4的平方根，所以$\sqrt{16}$的平方根应是±2。
(1)1的平方根是1；
(2)−16的平方根是±4；
(3)±3的平方根是9；
(4)$\sqrt{81}=±9$；
(5)−7是49的平方根；
(6)$\sqrt{16}$的平方根是±4。
[点拨] 熟记算术平方根和平方根的定义是解题的关键。
[解] (1)不正确，因为1是正数，1的平方根有两个，是±1。
(2)不正确，因为−16是负数，负数没有平方根。
(3)不正确，因为±3的平方是9。
(4)不正确，因为$\sqrt{81}$表示81的算术平方根，它是一个正数，即$\sqrt{81}=9$。
(5)正确，因为$(-7)^2=49$，根据平方根的概念知，−7是49的平方根。但反过来说49的平方根是−7就错了。
(6)不正确，因为$\sqrt{16}=4$，$\sqrt{16}$的平方根即4的平方根，所以$\sqrt{16}$的平方根应是±2。
答案
解：
(1) 该说法不正确。1是正数，正数的平方根有两个，1的平方根是$\pm1$。
(2) 该说法不正确。负数没有平方根，$-16$是负数，不存在平方根。
(3) 该说法不正确。该表述混淆了平方与平方根的概念，$\pm3$的平方是9。
(4) 该说法不正确。$\sqrt{81}$表示81的算术平方根，算术平方根是非负的，因此$\sqrt{81}=9$。
(5) 该说法正确。因为$(-7)^2=49$，根据平方根的定义可知，$-7$是49的平方根。
(6) 该说法不正确。先计算得$\sqrt{16}=4$，4的平方根是$\pm2$，因此$\sqrt{16}$的平方根是$\pm2$。
(1) 该说法不正确。1是正数，正数的平方根有两个，1的平方根是$\pm1$。
(2) 该说法不正确。负数没有平方根，$-16$是负数，不存在平方根。
(3) 该说法不正确。该表述混淆了平方与平方根的概念，$\pm3$的平方是9。
(4) 该说法不正确。$\sqrt{81}$表示81的算术平方根，算术平方根是非负的，因此$\sqrt{81}=9$。
(5) 该说法正确。因为$(-7)^2=49$，根据平方根的定义可知，$-7$是49的平方根。
(6) 该说法不正确。先计算得$\sqrt{16}=4$，4的平方根是$\pm2$，因此$\sqrt{16}$的平方根是$\pm2$。
解析
【分析】
解题时首先要明确平方根与算术平方根的核心定义及性质：①平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；②算术平方根的定义：正数的正的平方根叫做它的算术平方根，符号$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示的是$a$的算术平方根，结果为非负数。接下来逐个分析6个说法：先判断涉及的数是否有平方根，再核对平方根/算术平方根的结果是否正确，还要注意是否混淆了平方和平方根的概念，遇到带根号的数求平方根时，要先将该数化简后再求它的平方根。
【解析】
(1) 该说法不正确。1是正数，正数的平方根有两个，1的平方根是$\pm1$。
(2) 该说法不正确。负数没有平方根，$-16$是负数，不存在平方根。
(3) 该说法不正确。该表述混淆了平方与平方根的概念，$\pm3$的平方是9。
(4) 该说法不正确。$\sqrt{81}$表示81的算术平方根，算术平方根是非负的，因此$\sqrt{81}=9$。
(5) 该说法正确。因为$(-7)^2=49$，根据平方根的定义可知，$-7$是49的平方根。
(6) 该说法不正确。先计算得$\sqrt{16}=4$，4的平方根是$\pm2$，因此$\sqrt{16}$的平方根是$\pm2$。
【答案】
(1)不正确；(2)不正确；(3)不正确；(4)不正确；(5)正确；(6)不正确
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义，平方根的性质
【点评】
本题是平方根与算术平方根的基础概念辨析题，易错点在于混淆二者的概念、忽略负数没有平方根、未化简带根号的数直接求平方根，掌握核心定义即可准确判断。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确平方根与算术平方根的核心定义及性质：①平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；②算术平方根的定义：正数的正的平方根叫做它的算术平方根，符号$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示的是$a$的算术平方根，结果为非负数。接下来逐个分析6个说法：先判断涉及的数是否有平方根，再核对平方根/算术平方根的结果是否正确，还要注意是否混淆了平方和平方根的概念，遇到带根号的数求平方根时，要先将该数化简后再求它的平方根。
【解析】
(1) 该说法不正确。1是正数，正数的平方根有两个，1的平方根是$\pm1$。
(2) 该说法不正确。负数没有平方根，$-16$是负数，不存在平方根。
(3) 该说法不正确。该表述混淆了平方与平方根的概念，$\pm3$的平方是9。
(4) 该说法不正确。$\sqrt{81}$表示81的算术平方根，算术平方根是非负的，因此$\sqrt{81}=9$。
(5) 该说法正确。因为$(-7)^2=49$，根据平方根的定义可知，$-7$是49的平方根。
(6) 该说法不正确。先计算得$\sqrt{16}=4$，4的平方根是$\pm2$，因此$\sqrt{16}$的平方根是$\pm2$。
【答案】
(1)不正确；(2)不正确；(3)不正确；(4)不正确；(5)正确；(6)不正确
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义，平方根的性质
【点评】
本题是平方根与算术平方根的基础概念辨析题，易错点在于混淆二者的概念、忽略负数没有平方根、未化简带根号的数直接求平方根，掌握核心定义即可准确判断。
【难度系数】
0.6
变式训练1 下列说法中错误的是(
A.$\frac{1}{2}$是0.25的一个平方根
B.正数a的两个平方根的和为0
C.$\frac{9}{16}$的平方根是$\frac{3}{4}$
D.当$x≠0$时，$-x^2$没有平方根
C
)A.$\frac{1}{2}$是0.25的一个平方根
B.正数a的两个平方根的和为0
C.$\frac{9}{16}$的平方根是$\frac{3}{4}$
D.当$x≠0$时，$-x^2$没有平方根
答案
C
解析
【分析】
这道题考查平方根的相关概念与性质，解题时需要先明确平方根的核心知识点：①正数有两个互为相反数的平方根，其中正的叫做算术平方根；②0的平方根是0；③负数没有平方根。我们只需逐个分析每个选项的说法是否符合上述性质，找出错误的选项即可。
【解析】
我们逐一判断各选项：
A选项：
∵$0.25=\frac{1}{4}$，$(±\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$是0.25的一个平方根，该说法正确，不符合题意；
B选项：正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0，因此正数$a$的两个平方根的和为0，该说法正确，不符合题意；
C选项：
∵$(±\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，
∴$\frac{9}{16}$的平方根是$±\frac{3}{4}$，选项中只提到$\frac{3}{4}$，遗漏了负的平方根，该说法错误，符合题意；
D选项：当$x≠0$时，$x^2＞0$，因此$-x^2＜0$，负数没有平方根，因此此时$-x^2$没有平方根，该说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质；平方的非负性
【点评】
本题是平方根的基础考查题，解题的关键是区分平方根和算术平方根的差异，牢记正数有两个一正一负的平方根，避免因漏记负的平方根出现判断错误。
【难度系数】
0.7
这道题考查平方根的相关概念与性质，解题时需要先明确平方根的核心知识点：①正数有两个互为相反数的平方根，其中正的叫做算术平方根；②0的平方根是0；③负数没有平方根。我们只需逐个分析每个选项的说法是否符合上述性质，找出错误的选项即可。
【解析】
我们逐一判断各选项：
A选项：
∵$0.25=\frac{1}{4}$，$(±\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$是0.25的一个平方根，该说法正确，不符合题意；
B选项：正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0，因此正数$a$的两个平方根的和为0，该说法正确，不符合题意；
C选项：
∵$(±\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，
∴$\frac{9}{16}$的平方根是$±\frac{3}{4}$，选项中只提到$\frac{3}{4}$，遗漏了负的平方根，该说法错误，符合题意；
D选项：当$x≠0$时，$x^2＞0$，因此$-x^2＜0$，负数没有平方根，因此此时$-x^2$没有平方根，该说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质；平方的非负性
【点评】
本题是平方根的基础考查题，解题的关键是区分平方根和算术平方根的差异，牢记正数有两个一正一负的平方根，避免因漏记负的平方根出现判断错误。
【难度系数】
0.7
例2 求下列各数的平方根:
(1)0.64; (2)$\frac{25}{64}$;
(3)0; (4)$(-1\frac{5}{4})^2$。
[点拨] 运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法。要习惯用符号语言表示一个非负数的平方根,这对加深理解平方根的概念和性质有好处。
[解] (1)因为$(±0.8)^2=0.64$,
所以0.64的平方根是±0.8,
即$±\sqrt{0.64}=±0.8$。
(2)因为$(±\frac{5}{8})^2=\frac{25}{64}$,
所以$\frac{25}{64}$的平方根是$±\frac{5}{8}$,
即$±\sqrt{\frac{25}{64}}=±\frac{5}{8}$。
(3)因为$0^2=0$,
所以0的平方根是0,即$±\sqrt{0}=0$。
(4)因为$(-1\frac{5}{4})^2=(-\frac{9}{4})^2=\frac{81}{16}$,
而$(±\frac{9}{4})^2=\frac{81}{16}$,
所以$(-1\frac{5}{4})^2$的平方根是$±\frac{9}{4}$,
即$±\sqrt{$
$^2}=±\frac{9}{4}$。
(1)0.64; (2)$\frac{25}{64}$;
(3)0; (4)$(-1\frac{5}{4})^2$。
[点拨] 运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法。要习惯用符号语言表示一个非负数的平方根,这对加深理解平方根的概念和性质有好处。
[解] (1)因为$(±0.8)^2=0.64$,
所以0.64的平方根是±0.8,
即$±\sqrt{0.64}=±0.8$。
(2)因为$(±\frac{5}{8})^2=\frac{25}{64}$,
所以$\frac{25}{64}$的平方根是$±\frac{5}{8}$,
即$±\sqrt{\frac{25}{64}}=±\frac{5}{8}$。
(3)因为$0^2=0$,
所以0的平方根是0,即$±\sqrt{0}=0$。
(4)因为$(-1\frac{5}{4})^2=(-\frac{9}{4})^2=\frac{81}{16}$,
而$(±\frac{9}{4})^2=\frac{81}{16}$,
所以$(-1\frac{5}{4})^2$的平方根是$±\frac{9}{4}$,
即$±\sqrt{$
$^2}=±\frac{9}{4}$。答案
解：
(1) 因为$(±0.8)^2=0.64$，
所以0.64的平方根是$\pm0.8$，
即$\pm\sqrt{0.64}=\pm0.8$。
(2) 因为$(±\frac{5}{8})^2=\frac{25}{64}$，
所以$\frac{25}{64}$的平方根是$±\frac{5}{8}$，
即$\pm\sqrt{\frac{25}{64}}=\pm\frac{5}{8}$。
(3) 因为$0^2=0$，
所以0的平方根是0，即$\pm\sqrt{0}=0$。
(4) 因为$(-1\frac{5}{4})^2=(-\frac{9}{4})^2=\frac{81}{16}$，
而$(±\frac{9}{4})^2=\frac{81}{16}$，
所以$(-1\frac{5}{4})^2$的平方根是$±\frac{9}{4}$，
即$\pm\sqrt{(-1\frac{5}{4})^2}=\pm\frac{9}{4}$。
(1) 因为$(±0.8)^2=0.64$，
所以0.64的平方根是$\pm0.8$，
即$\pm\sqrt{0.64}=\pm0.8$。
(2) 因为$(±\frac{5}{8})^2=\frac{25}{64}$，
所以$\frac{25}{64}$的平方根是$±\frac{5}{8}$，
即$\pm\sqrt{\frac{25}{64}}=\pm\frac{5}{8}$。
(3) 因为$0^2=0$，
所以0的平方根是0，即$\pm\sqrt{0}=0$。
(4) 因为$(-1\frac{5}{4})^2=(-\frac{9}{4})^2=\frac{81}{16}$，
而$(±\frac{9}{4})^2=\frac{81}{16}$，
所以$(-1\frac{5}{4})^2$的平方根是$±\frac{9}{4}$，
即$\pm\sqrt{(-1\frac{5}{4})^2}=\pm\frac{9}{4}$。
解析
【分析】
解答本题需要依据平方根的定义来思考：如果一个数的平方等于a（a≥0），那么这个数就叫做a的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0。解题时：①先判断所求数是否为非负数，本题所给数均满足非负要求；②对第(4)问先计算出幂的结果，将问题转化为求正数的平方根；③找到平方等于目标数的数，最后用规范符号写出结果即可。
【解析】
(1) 因为$(±0.8)^2=0.64$，
所以0.64的平方根是$\pm0.8$，
即$\pm\sqrt{0.64}=\pm0.8$。
(2) 因为$(±\frac{5}{8})^2=\frac{25}{64}$，
所以$\frac{25}{64}$的平方根是$±\frac{5}{8}$，
即$\pm\sqrt{\frac{25}{64}}=\pm\frac{5}{8}$。
(3) 因为$0^2=0$，
所以0的平方根是0，即$\pm\sqrt{0}=0$。
(4) 因为$(-1\frac{5}{4})^2=(-\frac{9}{4})^2=\frac{81}{16}$，
而$(±\frac{9}{4})^2=\frac{81}{16}$，
所以$(-1\frac{5}{4})^2$的平方根是$±\frac{9}{4}$，
即$\pm\sqrt{(-1\frac{5}{4})^2}=\pm\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) $\pm0.8$；(2) $\pm\frac{5}{8}$；(3) $0$；(4) $\pm\frac{9}{4}$
【知识点】
平方根的定义；开平方运算；平方根的性质
【点评】
本题属于平方根计算的基础题，核心考查对平方根概念的理解，解题时要注意正数的平方根有两个，不要漏写负的平方根，计算含有平方运算的数的平方根时，可先化简幂的结果再计算，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
解答本题需要依据平方根的定义来思考：如果一个数的平方等于a（a≥0），那么这个数就叫做a的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0。解题时：①先判断所求数是否为非负数，本题所给数均满足非负要求；②对第(4)问先计算出幂的结果，将问题转化为求正数的平方根；③找到平方等于目标数的数，最后用规范符号写出结果即可。
【解析】
(1) 因为$(±0.8)^2=0.64$，
所以0.64的平方根是$\pm0.8$，
即$\pm\sqrt{0.64}=\pm0.8$。
(2) 因为$(±\frac{5}{8})^2=\frac{25}{64}$，
所以$\frac{25}{64}$的平方根是$±\frac{5}{8}$，
即$\pm\sqrt{\frac{25}{64}}=\pm\frac{5}{8}$。
(3) 因为$0^2=0$，
所以0的平方根是0，即$\pm\sqrt{0}=0$。
(4) 因为$(-1\frac{5}{4})^2=(-\frac{9}{4})^2=\frac{81}{16}$，
而$(±\frac{9}{4})^2=\frac{81}{16}$，
所以$(-1\frac{5}{4})^2$的平方根是$±\frac{9}{4}$，
即$\pm\sqrt{(-1\frac{5}{4})^2}=\pm\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) $\pm0.8$；(2) $\pm\frac{5}{8}$；(3) $0$；(4) $\pm\frac{9}{4}$
【知识点】
平方根的定义；开平方运算；平方根的性质
【点评】
本题属于平方根计算的基础题，核心考查对平方根概念的理解，解题时要注意正数的平方根有两个，不要漏写负的平方根，计算含有平方运算的数的平方根时，可先化简幂的结果再计算，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
