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综合与实践 为什么转弯镜能扩大视野范围
数学源于生活,又服务于生活.在现实生活中,我们常常会遇到“怎样做最省”“怎样做最大”“怎样做最合理”等问题,这些问题在数学中统称为优化问题.下面将带领大家经历“发现问题—建立模型—数学求解—解释应用”的完整过程,体会数学在实际问题中的价值.
【问题背景】
在校园、社区的直角路口,转弯镜是常见的交通安全设施,它能有效扩大视野,帮助行人、司机观察盲区路况.本次实践活动,我们以路口转弯镜为研究对象,将生活中的实际场景转化为数学问题,运用圆的相关知识探究其工作原理,对比平面镜与球凸面镜的视野差异,感受数学在生活中的实际应用.如图①,路口处的转弯镜随处可见,转弯镜可以扩大视野范围,从而降低交通事故风险.生活中常见的转弯镜多为球凸面镜,图②中$\overset{\frown}{AB}$是球凸面镜的平面示意图.
【知识链接】
法线:过入射点且与反射面在该点的切线垂直的直线;
光的反射定律:入射角=反射角.
【问题初探】
如图②,入射光线$CO$经过球面镜反射得到反射光线$OE$,若$∠ COD=30°$,则$∠ EOD$的度数为;若$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径长为4,$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角为$60°$,则$\overset{\frown}{AB}$的长为.
【深入探究】
如图③,从点$A$处发射出一条光线$AB$,请用无刻度直尺和圆规作出光线$AB$经过球凸面镜反射得到的光线$BC$.
【实践应用】
如图④,$AB$和$AC$分别是南北、东西方向的两条道路,为了降低事故风险,社区计划在此直角路口安装转弯镜,小明设计了两种转弯镜进行对比探究:
方案1 只安装平面镜$EF$;
方案2 只安装球凸面镜$\overset{\frown}{EF}$,且$\overset{\frown}{EF}$所对的圆心角为$60°$.
两种方案中,$∠ AEF$均为直角,且$∠ CAE=30°$,$AE=6\ \mathrm{m}$,道路$AB$上有观测点$D$,点$D$位于点$E$正东方向,借助转弯镜在观测点$D$处可以观察到道路$AC$的情况,若平面镜$EF$能观察到道路$AC$的最远点记为$M$,球凸面镜$\overset{\frown}{EF}$能观察到道路$AC$的最远点记为$N$,求$M,N$之间的距离.
【思考反思】
思考:为什么路口转弯镜大多使用球凸面镜,而不是平面镜?结合本次活动作业的计算结果,试说明理由.
数学源于生活,又服务于生活.在现实生活中,我们常常会遇到“怎样做最省”“怎样做最大”“怎样做最合理”等问题,这些问题在数学中统称为优化问题.下面将带领大家经历“发现问题—建立模型—数学求解—解释应用”的完整过程,体会数学在实际问题中的价值.
【问题背景】
在校园、社区的直角路口,转弯镜是常见的交通安全设施,它能有效扩大视野,帮助行人、司机观察盲区路况.本次实践活动,我们以路口转弯镜为研究对象,将生活中的实际场景转化为数学问题,运用圆的相关知识探究其工作原理,对比平面镜与球凸面镜的视野差异,感受数学在生活中的实际应用.如图①,路口处的转弯镜随处可见,转弯镜可以扩大视野范围,从而降低交通事故风险.生活中常见的转弯镜多为球凸面镜,图②中$\overset{\frown}{AB}$是球凸面镜的平面示意图.
【知识链接】
法线:过入射点且与反射面在该点的切线垂直的直线;
光的反射定律:入射角=反射角.
【问题初探】
如图②,入射光线$CO$经过球面镜反射得到反射光线$OE$,若$∠ COD=30°$,则$∠ EOD$的度数为;若$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径长为4,$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角为$60°$,则$\overset{\frown}{AB}$的长为.
【深入探究】
如图③,从点$A$处发射出一条光线$AB$,请用无刻度直尺和圆规作出光线$AB$经过球凸面镜反射得到的光线$BC$.
【实践应用】
如图④,$AB$和$AC$分别是南北、东西方向的两条道路,为了降低事故风险,社区计划在此直角路口安装转弯镜,小明设计了两种转弯镜进行对比探究:
方案1 只安装平面镜$EF$;
方案2 只安装球凸面镜$\overset{\frown}{EF}$,且$\overset{\frown}{EF}$所对的圆心角为$60°$.
两种方案中,$∠ AEF$均为直角,且$∠ CAE=30°$,$AE=6\ \mathrm{m}$,道路$AB$上有观测点$D$,点$D$位于点$E$正东方向,借助转弯镜在观测点$D$处可以观察到道路$AC$的情况,若平面镜$EF$能观察到道路$AC$的最远点记为$M$,球凸面镜$\overset{\frown}{EF}$能观察到道路$AC$的最远点记为$N$,求$M,N$之间的距离.
【思考反思】
思考:为什么路口转弯镜大多使用球凸面镜,而不是平面镜?结合本次活动作业的计算结果,试说明理由.
答案
解：
【问题初探】
根据光的反射定律：入射角=反射角，已知∠COD=30°，可得∠EOD=30°。
由弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入$n=60$，$r=4$，得$\overset{\frown}{AB}$的长为：
$l=\frac{60π×4}{180}=\frac{4π}{3}$
【深入探究】
作图步骤：
1. 过点B作弧AB的切线$l$；
2. 过点B作直线$m⊥ l$，直线$m$即为入射点B处的法线；
3. 以B为顶点，法线$m$为一边，在法线另一侧作$∠ mBC=∠ ABM$，射线$BC$即为所求反射光线。
【实践应用】
由题意可知：$∠ CAB=90°$，$AC$为东西方向，$AB$为南北方向，$ED⊥ AB$，$ED// AC$。
$\because ∠ CAE=30°$，$\therefore ∠ EAD=90°-30°=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$AE=6\ \mathrm{m}$，
$AD=AE·\cos60°=6×\frac{1}{2}=3\ \mathrm{m},\quad ED=AE·\sin60°=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
1. 求平面镜对应的最远距离$AM$：
平面镜$EF$满足$∠ AEF=90°$，即$AE⊥ EF$，因此EF在E点的法线与线段$AE$共线。
由反射定律得入射角$∠ AED=$反射角$∠ AEM=30°$，
在$△ AEM$中，$∠ EAM=30°$，$∠ AEM=30°$，$∠ AME=120°$，由正弦定理：
$\frac{AM}{\sin30°}=\frac{AE}{\sin120°}$
代入数值解得：$AM=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
2. 求球凸面镜对应的最远距离$AN$：
球凸面镜$\overset{\frown}{EF}$所对圆心角为$60°$，E点法线沿$AE$方向，F点法线与$AE$夹角为$60°$，结合反射定律可得反射光线与AC交点N满足：
在$\mathrm{Rt}△ AEN$中，$∠ EAN=30°$，$AE=6\ \mathrm{m}$，解得$AN=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
因此$M,N$之间的距离为：
$MN=AN-AM=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【思考反思】
由计算结果可知，球凸面镜可观察到的道路AC的最远距离大于平面镜的观测最远距离，球凸面镜的视野范围比平面镜更大，能够覆盖更多路口盲区，观察到更远位置的路况，因此路口转弯镜大多使用球凸面镜而非平面镜。
答：$M,N$之间的距离为$2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【问题初探】
根据光的反射定律：入射角=反射角，已知∠COD=30°，可得∠EOD=30°。
由弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入$n=60$，$r=4$，得$\overset{\frown}{AB}$的长为：
$l=\frac{60π×4}{180}=\frac{4π}{3}$
【深入探究】
作图步骤：
1. 过点B作弧AB的切线$l$；
2. 过点B作直线$m⊥ l$，直线$m$即为入射点B处的法线；
3. 以B为顶点，法线$m$为一边，在法线另一侧作$∠ mBC=∠ ABM$，射线$BC$即为所求反射光线。
【实践应用】
由题意可知：$∠ CAB=90°$，$AC$为东西方向，$AB$为南北方向，$ED⊥ AB$，$ED// AC$。
$\because ∠ CAE=30°$，$\therefore ∠ EAD=90°-30°=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$AE=6\ \mathrm{m}$，
$AD=AE·\cos60°=6×\frac{1}{2}=3\ \mathrm{m},\quad ED=AE·\sin60°=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
1. 求平面镜对应的最远距离$AM$：
平面镜$EF$满足$∠ AEF=90°$，即$AE⊥ EF$，因此EF在E点的法线与线段$AE$共线。
由反射定律得入射角$∠ AED=$反射角$∠ AEM=30°$，
在$△ AEM$中，$∠ EAM=30°$，$∠ AEM=30°$，$∠ AME=120°$，由正弦定理：
$\frac{AM}{\sin30°}=\frac{AE}{\sin120°}$
代入数值解得：$AM=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
2. 求球凸面镜对应的最远距离$AN$：
球凸面镜$\overset{\frown}{EF}$所对圆心角为$60°$，E点法线沿$AE$方向，F点法线与$AE$夹角为$60°$，结合反射定律可得反射光线与AC交点N满足：
在$\mathrm{Rt}△ AEN$中，$∠ EAN=30°$，$AE=6\ \mathrm{m}$，解得$AN=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
因此$M,N$之间的距离为：
$MN=AN-AM=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【思考反思】
由计算结果可知，球凸面镜可观察到的道路AC的最远距离大于平面镜的观测最远距离，球凸面镜的视野范围比平面镜更大，能够覆盖更多路口盲区，观察到更远位置的路况，因此路口转弯镜大多使用球凸面镜而非平面镜。
答：$M,N$之间的距离为$2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
本题以生活中常见的路口转弯镜为背景，结合光的反射定律，综合考查多类数学知识点的应用：
1. 问题初探模块：直接根据光的反射定律“入射角等于反射角”求角度，再代入弧长公式计算弧长，属于基础题型；
2. 深入探究模块：先根据法线定义作出入射点的法线，再根据反射角等于入射角作出反射光线，考查尺规作图的实操能力；
3. 实践应用模块：分别针对平面镜、球凸面镜两种场景，结合反射定律确定三角形角度，再利用解直角三角形、正弦定理计算对应线段长度，最后作差得到MN的距离，是本题的核心综合考点；
4. 思考反思模块：结合前面计算的观测距离结果，对比两种镜子的观测范围，即可得出结论，考查结论总结能力。
【解析】
问题初探
根据光的反射定律，入射角等于反射角，已知入射角$∠ COD=30°$，因此反射角$∠ EOD=∠ COD=30°$。
已知$\overset{\frown}{AB}$所在圆半径$r=4$，所对圆心角$n=60°$，代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{60π×4}{180}=\frac{4π}{3}$。
深入探究
作图步骤如下：
1. 过点B作弧的切线$l$；
2. 过点B作直线$m⊥ l$，直线$m$即为入射点B处的法线；
3. 以B为顶点，法线$m$为一边，在法线另一侧作角等于入射光线与法线的夹角，该角的另一边即为所求反射光线$BC$。
实践应用
由题意得$∠ CAB=90°$，AC为东西方向，AB为南北方向，点D在E正东方向，故$ED⊥ AB$，$ED// AC$。
$\because ∠ CAE=30°$，$\therefore ∠ EAD=90°-30°=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$AE=6\ \mathrm{m}$：
$AD=AE·\cos60°=6×\frac{1}{2}=3\ \mathrm{m}$，$ED=AE·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
求AM的长度
平面镜EF满足$∠ AEF=90°$，即$AE⊥ EF$，因此E点处法线与AE共线。
由反射定律得：入射角$∠ AED$=反射角$∠ AEM=30°$。
在$△ AEM$中，$∠ EAM=30°$，$∠ AEM=30°$，$∠ AME=120°$，由正弦定理：
$\frac{AM}{\sin30°}=\frac{AE}{\sin120°}$，代入数值：
$AM=\frac{AE·\sin30°}{\sin120°}=\frac{6×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
求AN的长度
球凸面镜$\overset{\frown}{EF}$所对圆心角为$60°$，E点法线沿AE方向，结合反射定律可得，在$\mathrm{Rt}△ AEN$中，$∠ EAN=30°$，$AE=6\ \mathrm{m}$，解得$AN=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
因此MN的距离为：
$MN=AN-AM=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
思考反思
由计算结果可知，球凸面镜可观测到的AC上最远点距离A点更远，说明球凸面镜的视野范围比平面镜更大，能够覆盖更多路口盲区，观测到更远位置的路况，因此路口转弯镜大多使用球凸面镜而非平面镜。
【答案】
【问题初探】$30°$；$\frac{4π}{3}$
【深入探究】见解析作图步骤
【实践应用】$2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【思考反思】球凸面镜视野范围更大，可覆盖更多盲区，因此选用球凸面镜
【知识点】
1. 弧长计算
2. 解直角三角形
3. 尺规作图
【点评】
本题紧密联系生活实际，跨学科结合物理光的反射定律与数学知识，既考查了基础公式的识记与应用，也考查了作图能力、利用数学知识解决实际场景问题的能力，能够让学生充分体会数学在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.6
本题以生活中常见的路口转弯镜为背景，结合光的反射定律，综合考查多类数学知识点的应用：
1. 问题初探模块：直接根据光的反射定律“入射角等于反射角”求角度，再代入弧长公式计算弧长，属于基础题型；
2. 深入探究模块：先根据法线定义作出入射点的法线，再根据反射角等于入射角作出反射光线，考查尺规作图的实操能力；
3. 实践应用模块：分别针对平面镜、球凸面镜两种场景，结合反射定律确定三角形角度，再利用解直角三角形、正弦定理计算对应线段长度，最后作差得到MN的距离，是本题的核心综合考点；
4. 思考反思模块：结合前面计算的观测距离结果，对比两种镜子的观测范围，即可得出结论，考查结论总结能力。
【解析】
问题初探
根据光的反射定律，入射角等于反射角，已知入射角$∠ COD=30°$，因此反射角$∠ EOD=∠ COD=30°$。
已知$\overset{\frown}{AB}$所在圆半径$r=4$，所对圆心角$n=60°$，代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{60π×4}{180}=\frac{4π}{3}$。
深入探究
作图步骤如下：
1. 过点B作弧的切线$l$；
2. 过点B作直线$m⊥ l$，直线$m$即为入射点B处的法线；
3. 以B为顶点，法线$m$为一边，在法线另一侧作角等于入射光线与法线的夹角，该角的另一边即为所求反射光线$BC$。
实践应用
由题意得$∠ CAB=90°$，AC为东西方向，AB为南北方向，点D在E正东方向，故$ED⊥ AB$，$ED// AC$。
$\because ∠ CAE=30°$，$\therefore ∠ EAD=90°-30°=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$AE=6\ \mathrm{m}$：
$AD=AE·\cos60°=6×\frac{1}{2}=3\ \mathrm{m}$，$ED=AE·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
求AM的长度
平面镜EF满足$∠ AEF=90°$，即$AE⊥ EF$，因此E点处法线与AE共线。
由反射定律得：入射角$∠ AED$=反射角$∠ AEM=30°$。
在$△ AEM$中，$∠ EAM=30°$，$∠ AEM=30°$，$∠ AME=120°$，由正弦定理：
$\frac{AM}{\sin30°}=\frac{AE}{\sin120°}$，代入数值：
$AM=\frac{AE·\sin30°}{\sin120°}=\frac{6×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
求AN的长度
球凸面镜$\overset{\frown}{EF}$所对圆心角为$60°$，E点法线沿AE方向，结合反射定律可得，在$\mathrm{Rt}△ AEN$中，$∠ EAN=30°$，$AE=6\ \mathrm{m}$，解得$AN=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
因此MN的距离为：
$MN=AN-AM=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
思考反思
由计算结果可知，球凸面镜可观测到的AC上最远点距离A点更远，说明球凸面镜的视野范围比平面镜更大，能够覆盖更多路口盲区，观测到更远位置的路况，因此路口转弯镜大多使用球凸面镜而非平面镜。
【答案】
【问题初探】$30°$；$\frac{4π}{3}$
【深入探究】见解析作图步骤
【实践应用】$2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【思考反思】球凸面镜视野范围更大，可覆盖更多盲区，因此选用球凸面镜
【知识点】
1. 弧长计算
2. 解直角三角形
3. 尺规作图
【点评】
本题紧密联系生活实际，跨学科结合物理光的反射定律与数学知识，既考查了基础公式的识记与应用，也考查了作图能力、利用数学知识解决实际场景问题的能力，能够让学生充分体会数学在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.6
