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概念建构
正多边形的外接圆的
正多边形的外接圆的
圆心
叫作正多边形的中心，外接圆的半径
叫作正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角
叫作正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。答案
圆心；半径；圆心角
解析
【分析】
这是一道基础概念识记类填空题，解题时需回忆正多边形与圆相关的核心定义，逐一匹配每个空对应的概念即可：首先回忆正多边形中心的定义，它和外接圆的圆心对应；再回忆正多边形半径的定义，它和外接圆的半径对应；最后回忆正多边形中心角的定义，它对应正多边形每边所对的外接圆的圆心角，直接根据定义填写就能得到答案。
【解析】
根据正多边形与圆的相关定义逐一分析：
1. 正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心，因此第一空填“圆心”；
2. 正多边形外接圆的半径叫作正多边形的半径，因此第二空填“半径”；
3. 正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角，因此第三空填“圆心角”。
【答案】
圆心；半径；圆心角
【知识点】
正多边形相关概念，正多边形与圆的关系
【点评】
本题属于基础题，重点考查对正多边形和圆对应基础定义的掌握情况，只要熟记相关概念即可轻松作答，这类基础概念也是后续解决正多边形与圆综合题型的必备基础。
【难度系数】
0.9
这是一道基础概念识记类填空题，解题时需回忆正多边形与圆相关的核心定义，逐一匹配每个空对应的概念即可：首先回忆正多边形中心的定义，它和外接圆的圆心对应；再回忆正多边形半径的定义，它和外接圆的半径对应；最后回忆正多边形中心角的定义，它对应正多边形每边所对的外接圆的圆心角，直接根据定义填写就能得到答案。
【解析】
根据正多边形与圆的相关定义逐一分析：
1. 正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心，因此第一空填“圆心”；
2. 正多边形外接圆的半径叫作正多边形的半径，因此第二空填“半径”；
3. 正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角，因此第三空填“圆心角”。
【答案】
圆心；半径；圆心角
【知识点】
正多边形相关概念，正多边形与圆的关系
【点评】
本题属于基础题，重点考查对正多边形和圆对应基础定义的掌握情况，只要熟记相关概念即可轻松作答，这类基础概念也是后续解决正多边形与圆综合题型的必备基础。
【难度系数】
0.9
1.正十边形的中心角的度数为 （
A.$30°$
B.$36°$
C.$45°$
D.$60°$
【变式·逆向推理】如图，在正$n$边形中，$∠ 1=18°$，则$n$的值是
B
）A.$30°$
B.$36°$
C.$45°$
D.$60°$
【变式·逆向推理】如图，在正$n$边形中，$∠ 1=18°$，则$n$的值是
20
.答案
1.B 【变式·逆向推理】20
解析
【分析】
对于正多边形中心角相关问题，首先明确核心规律：正多边形所有中心角的和为周角360°，且每个中心角度数相等，因此中心角计算公式为：中心角度数=360°÷边数n。
第一问求正十边形的中心角，直接将边数n=10代入公式计算即可；变式题已知中心角∠1=18°，属于公式的逆向应用，将已知中心角代入公式求解边数n即可。
【解析】
1. 根据正多边形中心角的计算公式：正n边形的中心角=$\frac{360°}{n}$
当n=10时，中心角=$\frac{360°}{10}=36°$，故选B。
【变式·逆向推理】
图中∠1为正n边形的中心角，已知∠1=18°，代入公式得：
$\frac{360°}{n}=18°$
解得：$n=\frac{360°}{18°}=20$
【答案】
1.B 【变式·逆向推理】20
【知识点】
正多边形中心角计算；正多边形的性质
【点评】
本题是正多边形与圆相关的基础题型，核心是掌握正多边形中心角和边数的换算关系，公式的正向、逆向应用都较为简单，熟练记忆公式即可快速得分。
【难度系数】
0.9
对于正多边形中心角相关问题，首先明确核心规律：正多边形所有中心角的和为周角360°，且每个中心角度数相等，因此中心角计算公式为：中心角度数=360°÷边数n。
第一问求正十边形的中心角，直接将边数n=10代入公式计算即可；变式题已知中心角∠1=18°，属于公式的逆向应用，将已知中心角代入公式求解边数n即可。
【解析】
1. 根据正多边形中心角的计算公式：正n边形的中心角=$\frac{360°}{n}$
当n=10时，中心角=$\frac{360°}{10}=36°$，故选B。
【变式·逆向推理】
图中∠1为正n边形的中心角，已知∠1=18°，代入公式得：
$\frac{360°}{n}=18°$
解得：$n=\frac{360°}{18°}=20$
【答案】
1.B 【变式·逆向推理】20
【知识点】
正多边形中心角计算；正多边形的性质
【点评】
本题是正多边形与圆相关的基础题型，核心是掌握正多边形中心角和边数的换算关系，公式的正向、逆向应用都较为简单，熟练记忆公式即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2.一个圆的半径为4，则该圆的内接正方形的边长为（
A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{2}$
D.8
C
）A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{2}$
D.8
答案
2.C
解析
【分析】要计算圆内接正方形的边长，首先需明确圆内接正方形的核心特征：正方形的对角线恰好等于圆的直径。我们可以先根据圆的半径算出直径，再结合勾股定理求出正方形的边长即可。
【解析】已知圆的半径为4，因此圆的直径为 $2×4=8$。
因为正方形是该圆的内接正方形，所以正方形的对角线长度与圆的直径相等，即正方形的对角线长为8。
设正方形的边长为$a$，根据勾股定理，正方形的两条邻边与对角线构成直角三角形，因此有：
$a^2 + a^2 = 8^2$
化简得 $2a^2=64$，即$a^2=32$，解得$a=4\sqrt{2}$（边长为正数，舍去负根）。
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形性质；勾股定理；正方形性质
【点评】本题属于基础题型，解题的关键是掌握圆内接正方形的对角线等于圆的直径这一核心特征，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】0.8
【解析】已知圆的半径为4，因此圆的直径为 $2×4=8$。
因为正方形是该圆的内接正方形，所以正方形的对角线长度与圆的直径相等，即正方形的对角线长为8。
设正方形的边长为$a$，根据勾股定理，正方形的两条邻边与对角线构成直角三角形，因此有：
$a^2 + a^2 = 8^2$
化简得 $2a^2=64$，即$a^2=32$，解得$a=4\sqrt{2}$（边长为正数，舍去负根）。
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形性质；勾股定理；正方形性质
【点评】本题属于基础题型，解题的关键是掌握圆内接正方形的对角线等于圆的直径这一核心特征，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】0.8
3.如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接OA，OC，AC，则∠1的度数为 （
A.$15°$
B.$18°$
C.$20°$
D.$24°$
B
）A.$15°$
B.$18°$
C.$20°$
D.$24°$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时先利用正多边形中心角的计算公式求出正五边形的单个中心角，再得到∠AOC的度数；再结合正多边形外接圆半径相等，可知△AOC为等腰三角形，最后利用等腰三角形内角和的性质即可算出∠1的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的单个中心角：
正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，因此正五边形的中心角为$\frac{360°}{5}=72°$。
2. 求∠AOC的度数：
点O是正五边形ABCDE的中心，OA、OB、OC都是正五边形外接圆的半径，相邻半径的夹角等于中心角，即$∠ AOB=∠ BOC=72°$，因此$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=72°×2=144°$。
3. 计算∠1的度数：
因为OA=OC，所以△AOC是等腰三角形，两底角相等，结合三角形内角和为180°，可得：
$∠1=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-144°}{2}=18°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆；等腰三角形性质；三角形内角和
【点评】
本题属于基础题型，重点考查正多边形中心角的计算和等腰三角形性质的应用，解题的关键是正确求出∠AOC的度数，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时先利用正多边形中心角的计算公式求出正五边形的单个中心角，再得到∠AOC的度数；再结合正多边形外接圆半径相等，可知△AOC为等腰三角形，最后利用等腰三角形内角和的性质即可算出∠1的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的单个中心角：
正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，因此正五边形的中心角为$\frac{360°}{5}=72°$。
2. 求∠AOC的度数：
点O是正五边形ABCDE的中心，OA、OB、OC都是正五边形外接圆的半径，相邻半径的夹角等于中心角，即$∠ AOB=∠ BOC=72°$，因此$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=72°×2=144°$。
3. 计算∠1的度数：
因为OA=OC，所以△AOC是等腰三角形，两底角相等，结合三角形内角和为180°，可得：
$∠1=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-144°}{2}=18°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆；等腰三角形性质；三角形内角和
【点评】
本题属于基础题型，重点考查正多边形中心角的计算和等腰三角形性质的应用，解题的关键是正确求出∠AOC的度数，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
4.如图,圆内接正三角形ABC的半径是5,则它的边长是 （
A.5
B.$5\sqrt{2}$
C.7.5
D.$5\sqrt{3}$
D
）A.5
B.$5\sqrt{2}$
C.7.5
D.$5\sqrt{3}$
答案
4.D
解析
【分析】
求解圆内接正多边形的边长问题，核心思路是构造由“外接圆半径、弦心距、边长的一半”组成的直角三角形，结合正多边形的性质、垂径定理和勾股定理计算。本题我们先连接圆心与正三角形的两个顶点得到半径，再作边的垂线得到弦心距，即可得到可计算的直角三角形，逐步求出边长。
【解析】
连接OB、OC，过点O作OD⊥BC于点D。
∵△ABC是⊙O的内接正三角形
∴中心角$∠ BOC=\frac{360°}{3}=120°$
又
∵OB=OC=5，$OD⊥ BC$
根据垂径定理可得：$BD=DC$，$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOC=60°$
在$Rt△ BOD$中，$∠ OBD=30°$
∴$OD=\frac{1}{2}OB=2.5$
由勾股定理得：
$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{5^2-2.5^2}=\sqrt{\frac{75}{4}}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$
∴边长$BC=2BD=2×\frac{5\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题属于正多边形与圆的基础常考题，解题关键是掌握正多边形中半径、弦心距、半边长构成直角三角形的模型，结合相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
求解圆内接正多边形的边长问题，核心思路是构造由“外接圆半径、弦心距、边长的一半”组成的直角三角形，结合正多边形的性质、垂径定理和勾股定理计算。本题我们先连接圆心与正三角形的两个顶点得到半径，再作边的垂线得到弦心距，即可得到可计算的直角三角形，逐步求出边长。
【解析】
连接OB、OC，过点O作OD⊥BC于点D。
∵△ABC是⊙O的内接正三角形
∴中心角$∠ BOC=\frac{360°}{3}=120°$
又
∵OB=OC=5，$OD⊥ BC$
根据垂径定理可得：$BD=DC$，$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOC=60°$
在$Rt△ BOD$中，$∠ OBD=30°$
∴$OD=\frac{1}{2}OB=2.5$
由勾股定理得：
$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{5^2-2.5^2}=\sqrt{\frac{75}{4}}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$
∴边长$BC=2BD=2×\frac{5\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题属于正多边形与圆的基础常考题，解题关键是掌握正多边形中半径、弦心距、半边长构成直角三角形的模型，结合相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
[补充设问1]正三角形的边心距是
$\frac{5}{2}$
。答案
$\frac{5}{2}$
解析
【分析】
解题时首先明确正三角形边心距的定义：正多边形的边心距是其外接圆圆心（正三角形的内心与外心重合，也等于内切圆圆心）到任意一边的距离。正三角形具备四心（内心、外心、重心、垂心）重合的性质，其重心将高线分为2:1的两段，较短的一段即为边心距，因此边心距等于正三角形高的$\frac{1}{3}$，也等于外接圆半径的$\frac{1}{2}$。结合本题题干给出的已知条件，代入对应关系计算即可得到结果。
【解析】
以已知正三角形边长为$5\sqrt{3}$为例计算：
1. 先计算正三角形的高：$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{2}×5\sqrt{3}=\frac{15}{2}$；
2. 由正三角形四心重合的性质，边心距为高的$\frac{1}{3}$，因此边心距$r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}×\frac{15}{2}=\frac{5}{2}$。
若已知正三角形外接圆半径为5，可直接用边角关系计算：
正三角形的边心距与外接圆半径的夹角为$60°$，因此边心距$r=R·\cos60°=5×\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
正多边形与圆；正三角形的性质；边心距的定义
【点评】
本题属于基础类计算题，重点考查正三角形边心距的计算，解题关键是熟练掌握正三角形四心重合的性质，理清边心距与高、外接圆半径之间的数量关系，计算时注意不要混淆各线段的比例关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确正三角形边心距的定义：正多边形的边心距是其外接圆圆心（正三角形的内心与外心重合，也等于内切圆圆心）到任意一边的距离。正三角形具备四心（内心、外心、重心、垂心）重合的性质，其重心将高线分为2:1的两段，较短的一段即为边心距，因此边心距等于正三角形高的$\frac{1}{3}$，也等于外接圆半径的$\frac{1}{2}$。结合本题题干给出的已知条件，代入对应关系计算即可得到结果。
【解析】
以已知正三角形边长为$5\sqrt{3}$为例计算：
1. 先计算正三角形的高：$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{2}×5\sqrt{3}=\frac{15}{2}$；
2. 由正三角形四心重合的性质，边心距为高的$\frac{1}{3}$，因此边心距$r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}×\frac{15}{2}=\frac{5}{2}$。
若已知正三角形外接圆半径为5，可直接用边角关系计算：
正三角形的边心距与外接圆半径的夹角为$60°$，因此边心距$r=R·\cos60°=5×\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
正多边形与圆；正三角形的性质；边心距的定义
【点评】
本题属于基础类计算题，重点考查正三角形边心距的计算，解题关键是熟练掌握正三角形四心重合的性质，理清边心距与高、外接圆半径之间的数量关系，计算时注意不要混淆各线段的比例关系。
【难度系数】
0.7
[补充设问2]等边三角形的内切圆半径、外接圆半径的比是
$1:2$
。答案
$1:2$
解析
【分析】
解题时可按以下思路思考：首先回忆等边三角形的特殊性质，等边三角形的内切圆圆心（内心）、外接圆圆心（外心）、重心、垂心完全重合，统称为正三角形的中心；其中外接圆半径R是中心到顶点的距离，内切圆半径r是中心到边的距离。接下来可通过两种常见路径推导比值：路径1利用重心分中线为2:1的性质直接得到比例；路径2构造含30°角的直角三角形，利用30°角对应的直角边是斜边一半的性质推导r和R的关系。
【解析】
解法一：
∵等边三角形的内心、外心、重心重合，设其外接圆半径为R，内切圆半径为r。
根据三角形重心的性质：重心将三角形的中线分为长度比为2:1的两段，其中外接圆半径R是重心到顶点的距离（对应较长段），内切圆半径r是重心到边的距离（对应较短段），
∴$r:R=1:2$。
解法二：
设等边三角形边长为$a$，中心为$O$，连接中心与任意顶点得线段$OA$（即外接圆半径$R$），过$O$作该顶点相邻边的垂线$OD$，垂足为$D$（$OD$即内切圆半径$r$）。
∵$O$是等边三角形的中心，
∴$OA$平分等边三角形的内角，等边三角形内角为60°，
∴$Rt△ OAD$中，$∠ OAD=30°$，
根据直角三角形30°角的性质：30°角对的直角边等于斜边的一半，可得$OD=\frac{1}{2}OA$，即$r=\frac{1}{2}R$，
∴$r:R=1:2$。
【答案】
$1:2$
【知识点】
等边三角形的性质、正多边形与圆、直角三角形的性质
【点评】
本题是特殊三角形与圆结合的基础题型，解题核心是掌握等边三角形四心合一的特性，结合已学的重心性质或特殊直角三角形的性质即可快速求解，侧重对基础概念应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路思考：首先回忆等边三角形的特殊性质，等边三角形的内切圆圆心（内心）、外接圆圆心（外心）、重心、垂心完全重合，统称为正三角形的中心；其中外接圆半径R是中心到顶点的距离，内切圆半径r是中心到边的距离。接下来可通过两种常见路径推导比值：路径1利用重心分中线为2:1的性质直接得到比例；路径2构造含30°角的直角三角形，利用30°角对应的直角边是斜边一半的性质推导r和R的关系。
【解析】
解法一：
∵等边三角形的内心、外心、重心重合，设其外接圆半径为R，内切圆半径为r。
根据三角形重心的性质：重心将三角形的中线分为长度比为2:1的两段，其中外接圆半径R是重心到顶点的距离（对应较长段），内切圆半径r是重心到边的距离（对应较短段），
∴$r:R=1:2$。
解法二：
设等边三角形边长为$a$，中心为$O$，连接中心与任意顶点得线段$OA$（即外接圆半径$R$），过$O$作该顶点相邻边的垂线$OD$，垂足为$D$（$OD$即内切圆半径$r$）。
∵$O$是等边三角形的中心，
∴$OA$平分等边三角形的内角，等边三角形内角为60°，
∴$Rt△ OAD$中，$∠ OAD=30°$，
根据直角三角形30°角的性质：30°角对的直角边等于斜边的一半，可得$OD=\frac{1}{2}OA$，即$r=\frac{1}{2}R$，
∴$r:R=1:2$。
【答案】
$1:2$
【知识点】
等边三角形的性质、正多边形与圆、直角三角形的性质
【点评】
本题是特殊三角形与圆结合的基础题型，解题核心是掌握等边三角形四心合一的特性，结合已学的重心性质或特殊直角三角形的性质即可快速求解，侧重对基础概念应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
5.如图，正五边形ABCDE内接于$\odot O$，点F是$\overset{\frown}{DE}$上的动点，则$∠ AFC$的度数为 （
A.$60°$
B.$72°$
C.$144°$
D.随着点F的变化而变
B
）A.$60°$
B.$72°$
C.$144°$
D.随着点F的变化而变
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先回忆圆周角定理和正多边形内接于圆的性质：正n边形内接于圆时，各边对应的劣弧度数相等，均为360°÷n；圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，且只要圆周角所对的弧固定，圆周角的度数就不会随顶点位置变化。首先先计算正五边形每条边对应的劣弧度数，再找到∠AFC所对的劣弧的总度数，最后用圆周角定理计算角度即可。
【解析】
∵正五边形ABCDE内接于$\odot O$，正五边形的各边相等，对应的各段劣弧度数相等
∴每段劣弧（$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{CD}$、$\overset{\frown}{DE}$、$\overset{\frown}{EA}$）的度数为：$360°÷5=72°$
∵点F在$\overset{\frown}{DE}$上，$∠ AFC$为圆周角，它所对的弧为$\overset{\frown}{ABC}$
∴$\overset{\frown}{ABC}$的度数$=\overset{\frown}{AB}$的度数$+\overset{\frown}{BC}$的度数$=72°×2=144°$
根据圆周角定理可得：$∠ AFC=\frac{1}{2}×144°=72°$，且$\overset{\frown}{ABC}$度数固定，故$∠ AFC$度数不随F的移动变化。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是明确正多边形内接于圆时各边对应弧的度数相等，同时能准确找到圆周角对应的弧，熟练运用圆周角定理计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆圆周角定理和正多边形内接于圆的性质：正n边形内接于圆时，各边对应的劣弧度数相等，均为360°÷n；圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，且只要圆周角所对的弧固定，圆周角的度数就不会随顶点位置变化。首先先计算正五边形每条边对应的劣弧度数，再找到∠AFC所对的劣弧的总度数，最后用圆周角定理计算角度即可。
【解析】
∵正五边形ABCDE内接于$\odot O$，正五边形的各边相等，对应的各段劣弧度数相等
∴每段劣弧（$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{CD}$、$\overset{\frown}{DE}$、$\overset{\frown}{EA}$）的度数为：$360°÷5=72°$
∵点F在$\overset{\frown}{DE}$上，$∠ AFC$为圆周角，它所对的弧为$\overset{\frown}{ABC}$
∴$\overset{\frown}{ABC}$的度数$=\overset{\frown}{AB}$的度数$+\overset{\frown}{BC}$的度数$=72°×2=144°$
根据圆周角定理可得：$∠ AFC=\frac{1}{2}×144°=72°$，且$\overset{\frown}{ABC}$度数固定，故$∠ AFC$度数不随F的移动变化。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是明确正多边形内接于圆时各边对应弧的度数相等，同时能准确找到圆周角对应的弧，熟练运用圆周角定理计算即可。
【难度系数】
0.7
6. 跨学科·化学 碳60是一种非金属单质，化学式为$\ce{C_{60}}$，其分子是由60个碳原子构成的，形似足球，又名足球烯. 如图，足球烯是由正五边形和正六边形组成的凸多面体.
（1）足球烯中正五边形的中心角的度数为
（2）若足球烯中一个正六边形的边长为$a$，求该正六边形的边心距和面积.
（1）足球烯中正五边形的中心角的度数为
$72°$
；（2）若足球烯中一个正六边形的边长为$a$，求该正六边形的边心距和面积.
答案
6.解：(1)$72°$ (2)该正六边形的边心距为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，该正六边形的面积为$\frac{3\sqrt{3}a^2}{2}$。
解析
【分析】
（1）求正五边形的中心角，首先回忆正多边形中心角的计算公式：正$n$边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，已知是正五边形，即$n=5$，代入公式即可算出结果。
（2）求边长为$a$的正六边形的边心距和面积，首先明确正六边形的性质：正六边形的边长等于其外接圆的半径，可将正六边形分割为6个边长为$a$的等边三角形，边心距就是等边三角形的高，用勾股定理即可求出边心距；再根据正多边形面积公式（正多边形面积=$\frac{1}{2}$×周长×边心距），就能得到正六边形的面积。
【解析】
（1）正多边形的中心角公式为$\frac{360°}{n}$（$n$为正多边形的边数），正五边形的边数$n=5$，因此中心角的度数为$\frac{360°}{5}=72°$。
（2）正六边形的边长与外接圆半径相等，均为$a$。过正六边形的中心作某条边的垂线，连接中心与这条边的两个端点，可得直角三角形，其中斜边长为$a$，一条直角边为边长的一半即$\frac{a}{2}$。
根据勾股定理，边心距$h=\sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
正六边形的周长$C=6a$，正多边形面积公式为$S=\frac{1}{2} × C × h$，代入得：
$S=\frac{1}{2} × 6a × \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$。
【答案】
（1）$72°$；（2）边心距为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$
【知识点】
正多边形中心角计算；正多边形与圆；正多边形相关计算
【点评】
本题结合化学中足球烯的结构进行跨学科命题，考查正多边形的基础计算，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，会将正多边形的计算转化为直角三角形的计算。
【难度系数】
0.8
（1）求正五边形的中心角，首先回忆正多边形中心角的计算公式：正$n$边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，已知是正五边形，即$n=5$，代入公式即可算出结果。
（2）求边长为$a$的正六边形的边心距和面积，首先明确正六边形的性质：正六边形的边长等于其外接圆的半径，可将正六边形分割为6个边长为$a$的等边三角形，边心距就是等边三角形的高，用勾股定理即可求出边心距；再根据正多边形面积公式（正多边形面积=$\frac{1}{2}$×周长×边心距），就能得到正六边形的面积。
【解析】
（1）正多边形的中心角公式为$\frac{360°}{n}$（$n$为正多边形的边数），正五边形的边数$n=5$，因此中心角的度数为$\frac{360°}{5}=72°$。
（2）正六边形的边长与外接圆半径相等，均为$a$。过正六边形的中心作某条边的垂线，连接中心与这条边的两个端点，可得直角三角形，其中斜边长为$a$，一条直角边为边长的一半即$\frac{a}{2}$。
根据勾股定理，边心距$h=\sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
正六边形的周长$C=6a$，正多边形面积公式为$S=\frac{1}{2} × C × h$，代入得：
$S=\frac{1}{2} × 6a × \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$。
【答案】
（1）$72°$；（2）边心距为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$
【知识点】
正多边形中心角计算；正多边形与圆；正多边形相关计算
【点评】
本题结合化学中足球烯的结构进行跨学科命题，考查正多边形的基础计算，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，会将正多边形的计算转化为直角三角形的计算。
【难度系数】
0.8
7.下列正多边形中,通过直尺和圆规不能作出的是 （
A.正三角形
B.正方形
C.正七边形
D.正六边形
C
）A.正三角形
B.正方形
C.正七边形
D.正六边形
答案
7.C
解析
【分析】
解决本题的核心是明确尺规作正多边形的本质：要作出正n边形，需要先用直尺和圆规将圆周平均分为n等份，再顺次连接各分点即可。接下来逐个判断各选项对应的圆周等分数能否通过尺规实现：我们学过3等分、4等分、6等分圆周都可以用尺规完成，而7等分圆周无法通过尺规作图实现，据此即可选出答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 正三角形：先作一个圆，以圆的半径为长度在圆周上依次截取，可得到圆周的6个等分点，每隔1个点顺次连接即可得到正三角形，尺规可作出，不符合题意；
B. 正方形：先作圆的一条直径，再用尺规作这条直径的垂直平分线，得到圆的另外两个端点，4个端点将圆周4等分，顺次连接即可得到正方形，尺规可作出，不符合题意；
C. 正七边形：无法通过直尺和圆规将圆周平均分成7等份，因此不能用尺规作出正七边形，符合题意；
D. 正六边形：以圆的半径为长度在圆周上依次截取，可得到6个等分点，顺次连接各点即可得到正六边形，尺规可作出，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆、尺规作图、圆周等分
【点评】
本题属于基础概念类题目，考查常见正多边形的尺规作图方法，解题的关键是理解尺规作正多边形的本质是等分圆周，熟记常见的可尺规作出的正多边形即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是明确尺规作正多边形的本质：要作出正n边形，需要先用直尺和圆规将圆周平均分为n等份，再顺次连接各分点即可。接下来逐个判断各选项对应的圆周等分数能否通过尺规实现：我们学过3等分、4等分、6等分圆周都可以用尺规完成，而7等分圆周无法通过尺规作图实现，据此即可选出答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 正三角形：先作一个圆，以圆的半径为长度在圆周上依次截取，可得到圆周的6个等分点，每隔1个点顺次连接即可得到正三角形，尺规可作出，不符合题意；
B. 正方形：先作圆的一条直径，再用尺规作这条直径的垂直平分线，得到圆的另外两个端点，4个端点将圆周4等分，顺次连接即可得到正方形，尺规可作出，不符合题意；
C. 正七边形：无法通过直尺和圆规将圆周平均分成7等份，因此不能用尺规作出正七边形，符合题意；
D. 正六边形：以圆的半径为长度在圆周上依次截取，可得到6个等分点，顺次连接各点即可得到正六边形，尺规可作出，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆、尺规作图、圆周等分
【点评】
本题属于基础概念类题目，考查常见正多边形的尺规作图方法，解题的关键是理解尺规作正多边形的本质是等分圆周，熟记常见的可尺规作出的正多边形即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8.如图,已知AC为⊙O的直径.请用尺规作图法,作出⊙O的内接正方形ABCD.(保留作图痕迹,不写作法)
答案
解：
分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧，两弧分别交于直线AC的两侧，过两个交点作直线，该直线与⊙O交于B、D两点，顺次连接A、B、C、D，所得四边形ABCD即为所求的⊙O的内接正方形，保留所有画弧的作图痕迹。
分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧，两弧分别交于直线AC的两侧，过两个交点作直线，该直线与⊙O交于B、D两点，顺次连接A、B、C、D，所得四边形ABCD即为所求的⊙O的内接正方形，保留所有画弧的作图痕迹。
解析
【分析】
要作⊙O的内接正方形，首先明确圆内接正方形的对角线是圆的直径，且两条对角线互相垂直平分。本题已给出直径AC作为正方形的一条对角线，因此只需作出过圆心且与AC垂直的另一条直径，即可得到正方形的另外两个顶点，顺次连接四个顶点就能得到所求正方形。作垂直于AC的直径可通过作AC的垂直平分线实现，符合尺规作图的操作要求。
【解析】
1. 分别以点A、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧在直线AC的两侧各有一个交点；
2. 过两个交点作直线，该直线是AC的垂直平分线，经过圆心O，与⊙O交于B、D两点；
3. 顺次连接A、B、C、D，所得四边形就是⊙O的内接正方形，作图时保留所有画弧痕迹即可。
【答案】
分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧，两弧分别交于直线AC的两侧，过两个交点作直线，该直线与⊙O交于B、D两点，顺次连接A、B、C、D，所得四边形ABCD即为所求的⊙O的内接正方形，保留所有画弧的作图痕迹。
【知识点】
作线段垂直平分线；正多边形与圆；正方形的性质
【点评】
本题属于基础尺规作图题，结合了正方形性质和正多边形与圆的相关知识，解题核心是抓住圆内接正方形对角线互相垂直且均为圆直径的特征，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作法即可顺利完成。
【难度系数】
0.7
要作⊙O的内接正方形，首先明确圆内接正方形的对角线是圆的直径，且两条对角线互相垂直平分。本题已给出直径AC作为正方形的一条对角线，因此只需作出过圆心且与AC垂直的另一条直径，即可得到正方形的另外两个顶点，顺次连接四个顶点就能得到所求正方形。作垂直于AC的直径可通过作AC的垂直平分线实现，符合尺规作图的操作要求。
【解析】
1. 分别以点A、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧在直线AC的两侧各有一个交点；
2. 过两个交点作直线，该直线是AC的垂直平分线，经过圆心O，与⊙O交于B、D两点；
3. 顺次连接A、B、C、D，所得四边形就是⊙O的内接正方形，作图时保留所有画弧痕迹即可。
【答案】
分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧，两弧分别交于直线AC的两侧，过两个交点作直线，该直线与⊙O交于B、D两点，顺次连接A、B、C、D，所得四边形ABCD即为所求的⊙O的内接正方形，保留所有画弧的作图痕迹。
【知识点】
作线段垂直平分线；正多边形与圆；正方形的性质
【点评】
本题属于基础尺规作图题，结合了正方形性质和正多边形与圆的相关知识，解题核心是抓住圆内接正方形对角线互相垂直且均为圆直径的特征，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作法即可顺利完成。
【难度系数】
0.7
