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3. 如图，将长方形纸片的一个角向内翻折，使角的顶点 $ A $ 落在 $ A' $ 处， $ BC $ 为折痕， $ ∠ A'BD = ∠ DBE $，则 $ ∠ CBD $ 的度数是
90°
。答案
3. 90°
解析
解：由折叠性质得，$∠ ABC = ∠ A'BC$。
设$∠ A'BD = ∠ DBE = x$，则$∠ A'BC = ∠ ABC = \frac{180° - 2x}{2} = 90° - x$。
$∠ CBD = ∠ A'BC + ∠ A'BD = (90° - x) + x = 90°$。
90°
设$∠ A'BD = ∠ DBE = x$，则$∠ A'BC = ∠ ABC = \frac{180° - 2x}{2} = 90° - x$。
$∠ CBD = ∠ A'BC + ∠ A'BD = (90° - x) + x = 90°$。
90°
4. 图(1)是一种画平行线的简易工具尺（简称“平行尺”），它的两边 $ AB $ 与 $ CD $ 是平行的。按图(2)的方式，用平行尺画直线 $ a $， $ b $， $ c $，将下列推理补充完整。
因为
因为
a
$ // $ b
， b
$ // $ c
，所以 a
$ // $ c
。（平行于同一条直线的两条直线平行
）答案
4. a b b c a c 平行于同一条直线的两条直线平行
解析
【分析】
这是结合实际工具的平行线推理填空题，我们可以顺着操作逻辑思考：首先已知平行尺的两边本身是平行的，只要用平行尺的两条边分别对齐画出两条直线，得到的两条直线就互相平行。第一步观察直线a和b，是靠平行尺的一组平行边画出的，因此a平行于b；第二步观察直线b和c，同样是靠平行尺的一组平行边画出的，因此b平行于c；接下来就可以利用平行线的传递性质，推出a和c也互相平行，按顺序把对应内容填入空格即可。
【解析】
解：根据平行尺两边互相平行的特性，用平行尺绘制直线a、b时，可得$a// b$；用平行尺绘制直线b、c时，可得$b// c$；再根据平行公理的推论，即可推出$a// c$。
因此依次填入对应内容即可完成推理补充。
【答案】
a；b；b；c；a；c；平行于同一条直线的两条直线平行
【知识点】
平行公理推论，平行线判定
【点评】
本题结合生活里的简易平行尺工具考察平行线的相关性质，把实际动手操作和抽象的几何定理结合起来，既考查学生对平行公理推论的掌握程度，也能帮助学生直观理解该定理的实际用途，降低几何知识点的理解门槛。
【难度系数】
0.9
这是结合实际工具的平行线推理填空题，我们可以顺着操作逻辑思考：首先已知平行尺的两边本身是平行的，只要用平行尺的两条边分别对齐画出两条直线，得到的两条直线就互相平行。第一步观察直线a和b，是靠平行尺的一组平行边画出的，因此a平行于b；第二步观察直线b和c，同样是靠平行尺的一组平行边画出的，因此b平行于c；接下来就可以利用平行线的传递性质，推出a和c也互相平行，按顺序把对应内容填入空格即可。
【解析】
解：根据平行尺两边互相平行的特性，用平行尺绘制直线a、b时，可得$a// b$；用平行尺绘制直线b、c时，可得$b// c$；再根据平行公理的推论，即可推出$a// c$。
因此依次填入对应内容即可完成推理补充。
【答案】
a；b；b；c；a；c；平行于同一条直线的两条直线平行
【知识点】
平行公理推论，平行线判定
【点评】
本题结合生活里的简易平行尺工具考察平行线的相关性质，把实际动手操作和抽象的几何定理结合起来，既考查学生对平行公理推论的掌握程度，也能帮助学生直观理解该定理的实际用途，降低几何知识点的理解门槛。
【难度系数】
0.9
5. 学习了平行线以后，小明想出了用纸折平行线的方法。他将一张如图①所示的长方形纸片，按如图②所示的方法折叠。
(1) 在图②的折叠过程中，若 $ ∠ 1 = 130° $，则 $ ∠ 2 $ 的度数是
(2) 如图③，在长方形 $ ABCD $ 中， $ QP $， $ MN $ 为图②折叠过程中产生的折痕。 $ QP $ 与 $ MN $ 平行吗？请说明理由。
(3) 若按图②折叠后，继续按图④折叠，得到新的折痕，此时展开长方形纸片(如图⑤)，新的折痕 $ QN' $， $ MP' $ 有何位置关系？请说明理由。
(1) 在图②的折叠过程中，若 $ ∠ 1 = 130° $，则 $ ∠ 2 $ 的度数是
25°
。(2) 如图③，在长方形 $ ABCD $ 中， $ QP $， $ MN $ 为图②折叠过程中产生的折痕。 $ QP $ 与 $ MN $ 平行吗？请说明理由。
(3) 若按图②折叠后，继续按图④折叠，得到新的折痕，此时展开长方形纸片(如图⑤)，新的折痕 $ QN' $， $ MP' $ 有何位置关系？请说明理由。
答案
5. 解：(1) 25° (2) QP//MN。理由。
(3) QN'//MP'，理由。
(3) QN'//MP'，理由。
解析
【分析】
这道题以长方形折纸操作为载体，结合平行线性质、折叠的轴对称特性展开解题：
1. 第(1)问：先利用长方形对边平行的性质，由已知∠1的度数求出它的同旁内角的度数，再根据折叠前后对应角相等的特点，得到∠2是该角的一半，直接计算即可得到结果。
2. 第(2)问：要证明两条折痕平行，先通过折叠性质推导出两条折痕都和长方形的同一条边垂直，再利用平行线的判定规则即可证明二者平行。
3. 第(3)问：沿用前两问的思路，通过折叠性质推导新折痕和长方形边的夹角关系，即可判断两条新折痕的位置关系。
【解析】
(1) 已知长方形的上下对边互相平行，∠1=130°，根据两直线平行同旁内角互补，可得∠1对应的同旁内角度数为$180°-130°=50°$。由折叠的性质可知，折痕平分这个50°的角，因此$∠2=\frac{1}{2}×50°=25°$。
(2) $QP// MN$，理由如下：
由折叠的轴对称性质可得：折痕QP平分平角$∠ APB$，即$∠ QPA=∠ QPB=\frac{1}{2}×180°=90°$，同理折痕MN平分平角$∠ CNB$，可得$∠ MNB=90°$，即$QP⊥ AB$，$MN⊥ AB$。根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$QP// MN$。
(3) $QN'// MP'$，理由如下：
由多次折叠的性质可知，新折痕$QN'$和$MP'$与长方形同一条边的夹角均为90°，即两条新折痕都垂直于长方形的同一条边，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$QN'// MP'$。
【答案】
(1) $25°$；(2) $QP// MN$，理由见解析；(3) $QN'// MP'$，理由见解析
【知识点】
平行线性质；折叠的性质；平行线判定
【点评】
本题是几何操作类的基础拓展题，把折纸的轴对称特性和平行线相关知识点结合起来，核心解题突破口是抓住折叠前后对应角相等的规律，结合长方形对边平行的固有属性，灵活运用平行线判定定理即可完成推导，能有效锻炼学生的几何逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
这道题以长方形折纸操作为载体，结合平行线性质、折叠的轴对称特性展开解题：
1. 第(1)问：先利用长方形对边平行的性质，由已知∠1的度数求出它的同旁内角的度数，再根据折叠前后对应角相等的特点，得到∠2是该角的一半，直接计算即可得到结果。
2. 第(2)问：要证明两条折痕平行，先通过折叠性质推导出两条折痕都和长方形的同一条边垂直，再利用平行线的判定规则即可证明二者平行。
3. 第(3)问：沿用前两问的思路，通过折叠性质推导新折痕和长方形边的夹角关系，即可判断两条新折痕的位置关系。
【解析】
(1) 已知长方形的上下对边互相平行，∠1=130°，根据两直线平行同旁内角互补，可得∠1对应的同旁内角度数为$180°-130°=50°$。由折叠的性质可知，折痕平分这个50°的角，因此$∠2=\frac{1}{2}×50°=25°$。
(2) $QP// MN$，理由如下：
由折叠的轴对称性质可得：折痕QP平分平角$∠ APB$，即$∠ QPA=∠ QPB=\frac{1}{2}×180°=90°$，同理折痕MN平分平角$∠ CNB$，可得$∠ MNB=90°$，即$QP⊥ AB$，$MN⊥ AB$。根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$QP// MN$。
(3) $QN'// MP'$，理由如下：
由多次折叠的性质可知，新折痕$QN'$和$MP'$与长方形同一条边的夹角均为90°，即两条新折痕都垂直于长方形的同一条边，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$QN'// MP'$。
【答案】
(1) $25°$；(2) $QP// MN$，理由见解析；(3) $QN'// MP'$，理由见解析
【知识点】
平行线性质；折叠的性质；平行线判定
【点评】
本题是几何操作类的基础拓展题，把折纸的轴对称特性和平行线相关知识点结合起来，核心解题突破口是抓住折叠前后对应角相等的规律，结合长方形对边平行的固有属性，灵活运用平行线判定定理即可完成推导，能有效锻炼学生的几何逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
