【典例1】函数$y=\sin x$与$y=\tan x$的图象在区间$[0,2π]$上交点的个数为.
解题指导 先分析$x\in(0,\frac{π}{2})$时两个函数的图象是否有交点，然后作出$y=\sin x$与$y=\tan x$的图象，根据图象直接判断即可.
解析 因为当$x\in(0,\frac{π}{2})$时，$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}＞\frac{\sin x}{1}=\sin x$，
所以当$x\in(0,\frac{π}{2})$时，$y=\sin x$与$y=\tan x$的图象没有公共点.
函数$y=\sin x$与$y=\tan x$在区间$[0,2π]$内的图象如图所示.

观察图象，并结合对称性可知，$x\in(\frac{3π}{2},2π)$时，$y=\sin x$与$y=\tan x$的图象没有公共点，
综上，函数$y=\sin x$与$y=\tan x$的图象在区间$[0,2π]$上有3个交点.
答案 3

解：
联立方程$\begin{cases}y=\sin x\\y=\tan x\end{cases}$，得$\sin x = \tan x$，即$\sin x = \frac{\sin x}{\cos x}$，移项变形得$\sin x(1-\frac{1}{\cos x})=0$。
1. 当$x\in(0,\frac{π}{2})$时，$0＜\cos x＜1$，因此$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}＞\sin x$，两函数图象无公共点；
2. 当$x=0$时，$\sin 0=0$，$\tan 0=0$，两函数图象交于点$(0,0)$；
3. 当$x\in(\frac{π}{2},\frac{3π}{2})$时，$x=π$满足$\sinπ=0$，$\tanπ=0$，两函数图象交于点$(π,0)$；
4. 当$x\in(\frac{3π}{2},2π)$时，$-1＜\cos x＜0$，因此$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}＜\sin x＜0$，两函数图象无公共点；
5. 当$x=2π$时，$\sin2π=0$，$\tan2π=0$，两函数图象交于点$(2π,0)$。
综上，函数$y=\sin x$与$y=\tan x$的图象在区间$[0,2π]$上交点的个数为$\boldsymbol{3}$。

【变式1】下列图形分别是$a:y=|\tan x|$，$b:y=\tan x$，$c:y=\tan(-x)$，$d:y=\tan|x|$在$x\in(-\dfrac{3π}{2},\dfrac{3π}{2})$内的大致图象，那么由$a$到$d$对应的函数图象应是（）


A.①②③④
B.①③④②
C.③②④①
D.①②④③

D 由函数图象的特征，得①为函数$y=|\tan x|$的图象，②为函数$y=\tan x$的图象，③为函数$y=\tan|x|$的图象，④为函数$y=\tan(-x)$的图象。故由$a$到$d$对应的函数图象应是①②④③。

【典例2】(1)函数 $y=\sqrt{\tan(2x+\frac{π}{3})}$ 的定义域为________；
(2)函数 $f(x)=\tan(3x-\frac{π}{3})$ 在 $[0,\frac{5π}{18})$ 上的值域为________。
解题指导 (1)由题意,得 $\tan(2x+\frac{π}{3})≥0$,结合正切函数的性质,解不等式得出结论.
(2)根据题意求得 $3x-\frac{π}{3}\in[-\frac{π}{3},\frac{π}{2})$,结合正切函数的性质,即可求解.
解析 (1)由题意,得 $\tan(2x+\frac{π}{3})≥0$,所以 $kπ≤2x+\frac{π}{3}＜kπ+\frac{π}{2},k\in\mathbf{Z}$,
所以 $-\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}≤ x＜\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2},k\in\mathbf{Z}$,
所以函数 $y=\sqrt{\tan(2x+\frac{π}{3})}$ 的定义域为$\{x\left|-\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}≤ x＜\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2},k\in\mathbf{Z} \}$.
(2)由 $x\in[0,\frac{5π}{18})$,得 $3x-\frac{π}{3}\in[-\frac{π}{3},\frac{π}{2})$.
根据正切函数的性质,得 $\tan(3x-\frac{π}{3})\in[-\sqrt{3},+∞)$,
即函数 $f(x)=\tan(3x-\frac{π}{3})$ 在 $[0,\frac{5π}{18})$ 上的值域为$[-\sqrt{3},+∞)$.
答案 (1)$\{x\left|-\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}≤ x＜\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2},k\in\mathbf{Z} \}$
(2)$[-\sqrt{3},+∞)$

解：(1) 要使函数有意义，需满足
$\tan(2x+\frac{π}{3})\ge0$
由正切函数的性质得：
$kπ\le 2x+\frac{π}{3}＜kπ+\frac{π}{2},\ k\in\mathbf{Z}$
移项化简得：
$kπ-\frac{π}{3}\le 2x ＜kπ+\frac{π}{6},\ k\in\mathbf{Z}$
$-\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}\le x ＜\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2},\ k\in\mathbf{Z}$
因此函数的定义域为$\{x∣ -\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}\le x ＜\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2},\ k\in\mathbf{Z}\}$。
(2) 由$x\in[0,\frac{5π}{18})$，得：
$3x\in[0,\frac{5π}{6})$
$3x-\frac{π}{3}\in[-\frac{π}{3},\frac{π}{2})$
正切函数$y=\tan t$在区间$[-\frac{π}{3},\frac{π}{2})$上单调递增，因此：
$\tan(-\frac{π}{3})\le \tan(3x-\frac{π}{3}) ＜ +∞$
即$\tan(3x-\frac{π}{3})\in[-\sqrt{3},+∞)$，因此函数$f(x)$的值域为$[-\sqrt{3},+∞)$。