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11. 从地面上搬起重物时,常见做法是弯腰(图甲)或人下蹲弯曲膝盖(图乙)把它搬起来,哪种方法好呢?下面就建立模型说明这个问题。把脊柱简化为杠杆,如图丙所示,脊柱可绕骶骨(轴)O转动,腰背部复杂肌肉的等效拉力$F_{1}$作用在A点,其实际作用方向与脊柱夹角为$12^{\circ }$且保持不变,箱子的拉力$F_{2}$作用在肩关节B点,在B点挂一重物代替箱子。用测力计沿$F_{1}$方向拉,使模型静止,可测出腰背部复杂肌肉拉力的大小。接着,改变脊柱与水平面的夹角即改变杠杆与水平面的夹角$α$,多次实验得出结论。
(1) 在图丙中画出$F_{2}$力臂$L_{2}$。
(2) 当$α$角增大时,$L_{2}$
(3) 如果考虑到人上半身的重力,那么腰背部肌肉的实际拉力将比图丙中$F_{1}$要
(4) 对比甲、乙两种姿势所对应图丙中的两种状态,分析可得,
(1) 在图丙中画出$F_{2}$力臂$L_{2}$。
(2) 当$α$角增大时,$L_{2}$
变小
(填“变大”“变小”或“不变”,下同),$F_{1}$变小
。(3) 如果考虑到人上半身的重力,那么腰背部肌肉的实际拉力将比图丙中$F_{1}$要
大
(填“大”或“小”)。(4) 对比甲、乙两种姿势所对应图丙中的两种状态,分析可得,
乙
(填“甲”或“乙”)图中的姿势比较正确。答案
(1) 如图所示
(2) 变小 变小 (3) 大 (4) 乙提示:(2) 当 $α$ 角增大时,力臂 $L_2$ 变小,拉力 $F_1$的方向与脊柱夹角始终为 $12°$,且 $OA$ 不变,可知动力臂不变,则 $F_1$ 变小。(3) 由于上半身的重力会阻碍杠杆的转动,实际拉力将变大。(4) 图甲中的支点太高,在搬起物体时,阻力臂减小得慢,则腰背部复杂肌肉的等效拉力 $F_1$ 要长时间地使用较大的力,故甲姿势不正确,乙姿势比较正确。
解析
【分析】
我们可以结合杠杆相关知识逐步梳理思路：
1. 第一问画力臂，首先明确力臂的定义是支点到力的作用线的垂直距离，先确定支点O，再找到F2竖直向下的作用线，从O点向该作用线作垂线，得到的垂线段就是F2的力臂L2。
2. 第二问分析α增大的变化：F2是竖直向下的，由几何关系可得阻力臂L2=OB·cosα，α增大时cosα减小，因此L2变小；动力F1和脊柱的夹角始终为12°，OA长度不变，因此动力臂L1=OA·sin12°保持不变，阻力F2大小不变，根据杠杆平衡条件F1L1=F2L2，就能推出F1也变小。
3. 第三问如果考虑上半身的重力，这个重力也会成为阻碍杠杆转动的额外阻力，总阻力力矩变大，动力臂不变，因此需要的动力比原来的F1更大。
4. 第四问对比甲乙姿势：甲是弯腰状态，α很小，阻力臂大，需要的肌肉拉力大；乙是下蹲弯膝盖的状态，α更大，需要的拉力更小，更省力，因此乙姿势更合理。
【解析】
(1) 力臂绘制步骤：首先确定支点O，沿F2竖直向下的方向画出F2的作用线，从支点O向F2的作用线作垂线段，该垂线段就是F2的力臂L2。
(2) 当α角增大时，由几何关系可知支点O到F2作用线的垂直距离L2随α增大而减小，即L2变小；动力F1的力臂始终为OA长度乘以sin12°，保持不变，阻力F2不变，根据杠杆平衡条件，可得F1也随L2的减小而变小。
(3) 若考虑人上半身的重力，该重力会额外增加阻碍杠杆转动的力矩，总阻力力矩变大，动力臂不变，因此腰背部肌肉的实际拉力比图中F1要大。
(4) 甲的弯腰姿势对应α很小的状态，所需肌肉拉力大，容易损伤腰部；乙的下蹲姿势对应α更大的状态，所需肌肉拉力更小，因此乙姿势更正确。
【答案】
(1) 如图所示 (2) 变小 变小 (3) 大 (4) 乙
【知识点】
杠杆力臂画法，杠杆平衡条件
【点评】
本题将人体脊柱简化为杠杆模型，结合生活中搬重物的真实场景命题，既考察了力臂绘制、杠杆平衡条件应用的基础知识点，也引导学生用物理知识理解正确的劳作姿势，贴合生活实际，能帮助学生建立物理建模解决实际问题的思维。
【难度系数】
0.6
我们可以结合杠杆相关知识逐步梳理思路：
1. 第一问画力臂，首先明确力臂的定义是支点到力的作用线的垂直距离，先确定支点O，再找到F2竖直向下的作用线，从O点向该作用线作垂线，得到的垂线段就是F2的力臂L2。
2. 第二问分析α增大的变化：F2是竖直向下的，由几何关系可得阻力臂L2=OB·cosα，α增大时cosα减小，因此L2变小；动力F1和脊柱的夹角始终为12°，OA长度不变，因此动力臂L1=OA·sin12°保持不变，阻力F2大小不变，根据杠杆平衡条件F1L1=F2L2，就能推出F1也变小。
3. 第三问如果考虑上半身的重力，这个重力也会成为阻碍杠杆转动的额外阻力，总阻力力矩变大，动力臂不变，因此需要的动力比原来的F1更大。
4. 第四问对比甲乙姿势：甲是弯腰状态，α很小，阻力臂大，需要的肌肉拉力大；乙是下蹲弯膝盖的状态，α更大，需要的拉力更小，更省力，因此乙姿势更合理。
【解析】
(1) 力臂绘制步骤：首先确定支点O，沿F2竖直向下的方向画出F2的作用线，从支点O向F2的作用线作垂线段，该垂线段就是F2的力臂L2。
(2) 当α角增大时，由几何关系可知支点O到F2作用线的垂直距离L2随α增大而减小，即L2变小；动力F1的力臂始终为OA长度乘以sin12°，保持不变，阻力F2不变，根据杠杆平衡条件，可得F1也随L2的减小而变小。
(3) 若考虑人上半身的重力，该重力会额外增加阻碍杠杆转动的力矩，总阻力力矩变大，动力臂不变，因此腰背部肌肉的实际拉力比图中F1要大。
(4) 甲的弯腰姿势对应α很小的状态，所需肌肉拉力大，容易损伤腰部；乙的下蹲姿势对应α更大的状态，所需肌肉拉力更小，因此乙姿势更正确。
【答案】
(1) 如图所示
(2) 变小 变小 (3) 大 (4) 乙【知识点】
杠杆力臂画法，杠杆平衡条件
【点评】
本题将人体脊柱简化为杠杆模型，结合生活中搬重物的真实场景命题，既考察了力臂绘制、杠杆平衡条件应用的基础知识点，也引导学生用物理知识理解正确的劳作姿势，贴合生活实际，能帮助学生建立物理建模解决实际问题的思维。
【难度系数】
0.6
12. (2025·连云港海州期中)为了解决道路拥堵问题，许多城市建设了高架桥，高架桥由独柱墩或双柱墩支撑。为了研究独柱桥墩超载发生侧翻的问题，小明做了一套如图所示的模拟独柱桥墩测试试验台，试验台水平宽为0.5 m，边缘安装有压力传感器C、D（C、D体积忽略不计），现将长为1.5 m的一轻质杆（强度足够大，重量忽略不计）平放在C、D上，其两端到C、D的距离相等，两端分别挂有重为4 N的空容器A、B，实验时向A中装入一定质量的细沙，要使杆始终水平静止不动，可向B中注入一定质量的水。
(1) 操作中，向B中注入30 N的水时，观察到传感器C示数恰好为零，求此时A容器中加入的沙重？
(2) 小明在A容器中装入20 N的细沙，要保持杆始终水平静止不动，求B中注入水的重量范围？
(1) 操作中，向B中注入30 N的水时，观察到传感器C示数恰好为零，求此时A容器中加入的沙重？
(2) 小明在A容器中装入20 N的细沙，要保持杆始终水平静止不动，求B中注入水的重量范围？
答案
(1) 13 N (2) 8~44 N
提示:(1) 传感器 $C$ 示数恰好为零时,支点在 $D$点,$A$ 端的力臂为 $1\ \mathrm{m}$,$B$ 端的力臂为 $0.5\ \mathrm{m}$,杠杆质量忽略不计,有 $(4\ \mathrm{N}+G_{\mathrm{沙}})×1\ \mathrm{m}=(4\ \mathrm{N}+30\ \mathrm{N})×0.5\ \mathrm{m}$,解得 $G_{\mathrm{沙}}=13\ \mathrm{N}$。(2) $A$ 容器中装入 $20\ \mathrm{N}$ 的细沙,要保持水平平衡,若以 $C$ 为支点,$A$ 端的力臂为$0.5\ \mathrm{m}$,$B$ 端的力臂为 $1\ \mathrm{m}$,有 $(4\ \mathrm{N}+20\ \mathrm{N})×0.5\ \mathrm{m}=(4\ \mathrm{N}+G_{\mathrm{水小}})×1\ \mathrm{m}$,解得 $G_{\mathrm{水小}}=8\ \mathrm{N}$;若以 $D$ 为支点,$A$ 端的力臂为 $1\ \mathrm{m}$,$B$ 端的力臂为 $0.5\ \mathrm{m}$,有 $(4\ \mathrm{N}+20\ \mathrm{N})×1\ \mathrm{m}=(4\ \mathrm{N}+G_{\mathrm{水大}})×0.5\ \mathrm{m}$,解得 $G_{\mathrm{水大}}=44\ \mathrm{N}$,故 $B$ 中注入水的重量范围为 $8∼44\ \mathrm{N}$。
提示:(1) 传感器 $C$ 示数恰好为零时,支点在 $D$点,$A$ 端的力臂为 $1\ \mathrm{m}$,$B$ 端的力臂为 $0.5\ \mathrm{m}$,杠杆质量忽略不计,有 $(4\ \mathrm{N}+G_{\mathrm{沙}})×1\ \mathrm{m}=(4\ \mathrm{N}+30\ \mathrm{N})×0.5\ \mathrm{m}$,解得 $G_{\mathrm{沙}}=13\ \mathrm{N}$。(2) $A$ 容器中装入 $20\ \mathrm{N}$ 的细沙,要保持水平平衡,若以 $C$ 为支点,$A$ 端的力臂为$0.5\ \mathrm{m}$,$B$ 端的力臂为 $1\ \mathrm{m}$,有 $(4\ \mathrm{N}+20\ \mathrm{N})×0.5\ \mathrm{m}=(4\ \mathrm{N}+G_{\mathrm{水小}})×1\ \mathrm{m}$,解得 $G_{\mathrm{水小}}=8\ \mathrm{N}$;若以 $D$ 为支点,$A$ 端的力臂为 $1\ \mathrm{m}$,$B$ 端的力臂为 $0.5\ \mathrm{m}$,有 $(4\ \mathrm{N}+20\ \mathrm{N})×1\ \mathrm{m}=(4\ \mathrm{N}+G_{\mathrm{水大}})×0.5\ \mathrm{m}$,解得 $G_{\mathrm{水大}}=44\ \mathrm{N}$,故 $B$ 中注入水的重量范围为 $8∼44\ \mathrm{N}$。
解析
【分析】
这道题是杠杆平衡条件的实际应用，解题思路如下：首先先根据题干给出的杆总长、试验台宽度，先算出各段力臂的基础长度：杆总长1.5m，CD间距0.5m，两端到C、D距离相等，因此A到C、B到D的距离都为0.5m。
第一问中传感器C示数为零，说明C对杆的支持力为0，此时杆的支点就是D点，分别确定A、B两侧的总重力和对应的力臂，代入杠杆平衡公式就能算出沙的重力。
第二问要杆始终水平静止，存在两个临界状态：第一个临界是D点支持力为零，支点为C，此时杆即将向A侧翻倒，算出此时B侧水的最小重力；第二个临界是C点支持力为零，支点为D，此时杆即将向B侧翻倒，算出此时B侧水的最大重力，最终得到水重的取值范围。
【解析】
首先先推导基础长度：已知轻质杆总长1.5m，试验台宽度即C、D间距为0.5m，杆两端到C、D距离相等，因此A到C的距离$L_{AC}$、B到D的距离$L_{BD}$满足：
$L_{AC}=L_{BD}=\frac{1.5\ \mathrm{m}-0.5\ \mathrm{m}}{2}=0.5\ \mathrm{m}$
(1) 当传感器C示数恰好为零时，C对杆的支持力为0，此时杠杆支点为D点：
A端总作用力：$F_A=G_A+G_{\mathrm{沙}}=4\ \mathrm{N}+G_{\mathrm{沙}}$，A对应的力臂$L_A=L_{AC}+L_{CD}=0.5\ \mathrm{m}+0.5\ \mathrm{m}=1\ \mathrm{m}$
B端总作用力：$F_B=G_A+G_{\mathrm{水1}}=4\ \mathrm{N}+30\ \mathrm{N}=34\ \mathrm{N}$，B对应的力臂$L_B=L_{BD}=0.5\ \mathrm{m}$
根据杠杆平衡条件$F_1L_1=F_2L_2$，代入得：
$(4\ \mathrm{N}+G_{\mathrm{沙}})×1\ \mathrm{m}=34\ \mathrm{N}×0.5\ \mathrm{m}$
解得$G_{\mathrm{沙}}=13\ \mathrm{N}$。
(2) A容器装入20N细沙后，A端总作用力$F_A'=4\ \mathrm{N}+20\ \mathrm{N}=24\ \mathrm{N}$，分两个临界状态计算：
① 临界状态1：传感器D示数为0，支点为C，杆即将绕C点向A侧倾覆：
A的力臂$L_A'=L_{AC}=0.5\ \mathrm{m}$，B的力臂$L_B'=L_{CD}+L_{BD}=0.5\ \mathrm{m}+0.5\ \mathrm{m}=1\ \mathrm{m}$
代入杠杆平衡条件：
$24\ \mathrm{N}×0.5\ \mathrm{m}=(4\ \mathrm{N}+G_{\mathrm{水小}})×1\ \mathrm{m}$
解得$G_{\mathrm{水小}}=8\ \mathrm{N}$，这是B中水的最小重力。
② 临界状态2：传感器C示数为0，支点为D，杆即将绕D点向B侧倾覆：
A的力臂$L_A''=L_{AC}+L_{CD}=1\ \mathrm{m}$，B的力臂$L_B''=L_{BD}=0.5\ \mathrm{m}$
代入杠杆平衡条件：
$24\ \mathrm{N}×1\ \mathrm{m}=(4\ \mathrm{N}+G_{\mathrm{水大}})×0.5\ \mathrm{m}$
解得$G_{\mathrm{水大}}=44\ \mathrm{N}$，这是B中水的最大重力。
因此要保持杆始终水平静止，B中注入水的重量范围为8~44N。
【答案】
(1) $\boldsymbol{13\ \mathrm{N}}$ (2) $\boldsymbol{8∼44\ \mathrm{N}}$
【知识点】
杠杆平衡条件，临界支点判断
【点评】
本题是杠杆平衡条件的典型应用类问题，难点在于识别两个倾覆临界状态下的支点转换，很多学生容易搞错不同支点对应的力臂长度，只要明确某侧传感器示数为零时，该侧支撑力消失，支点落在另一侧传感器上，分别列平衡方程即可顺利求解取值范围。
【难度系数】
0.6
这道题是杠杆平衡条件的实际应用，解题思路如下：首先先根据题干给出的杆总长、试验台宽度，先算出各段力臂的基础长度：杆总长1.5m，CD间距0.5m，两端到C、D距离相等，因此A到C、B到D的距离都为0.5m。
第一问中传感器C示数为零，说明C对杆的支持力为0，此时杆的支点就是D点，分别确定A、B两侧的总重力和对应的力臂，代入杠杆平衡公式就能算出沙的重力。
第二问要杆始终水平静止，存在两个临界状态：第一个临界是D点支持力为零，支点为C，此时杆即将向A侧翻倒，算出此时B侧水的最小重力；第二个临界是C点支持力为零，支点为D，此时杆即将向B侧翻倒，算出此时B侧水的最大重力，最终得到水重的取值范围。
【解析】
首先先推导基础长度：已知轻质杆总长1.5m，试验台宽度即C、D间距为0.5m，杆两端到C、D距离相等，因此A到C的距离$L_{AC}$、B到D的距离$L_{BD}$满足：
$L_{AC}=L_{BD}=\frac{1.5\ \mathrm{m}-0.5\ \mathrm{m}}{2}=0.5\ \mathrm{m}$
(1) 当传感器C示数恰好为零时，C对杆的支持力为0，此时杠杆支点为D点：
A端总作用力：$F_A=G_A+G_{\mathrm{沙}}=4\ \mathrm{N}+G_{\mathrm{沙}}$，A对应的力臂$L_A=L_{AC}+L_{CD}=0.5\ \mathrm{m}+0.5\ \mathrm{m}=1\ \mathrm{m}$
B端总作用力：$F_B=G_A+G_{\mathrm{水1}}=4\ \mathrm{N}+30\ \mathrm{N}=34\ \mathrm{N}$，B对应的力臂$L_B=L_{BD}=0.5\ \mathrm{m}$
根据杠杆平衡条件$F_1L_1=F_2L_2$，代入得：
$(4\ \mathrm{N}+G_{\mathrm{沙}})×1\ \mathrm{m}=34\ \mathrm{N}×0.5\ \mathrm{m}$
解得$G_{\mathrm{沙}}=13\ \mathrm{N}$。
(2) A容器装入20N细沙后，A端总作用力$F_A'=4\ \mathrm{N}+20\ \mathrm{N}=24\ \mathrm{N}$，分两个临界状态计算：
① 临界状态1：传感器D示数为0，支点为C，杆即将绕C点向A侧倾覆：
A的力臂$L_A'=L_{AC}=0.5\ \mathrm{m}$，B的力臂$L_B'=L_{CD}+L_{BD}=0.5\ \mathrm{m}+0.5\ \mathrm{m}=1\ \mathrm{m}$
代入杠杆平衡条件：
$24\ \mathrm{N}×0.5\ \mathrm{m}=(4\ \mathrm{N}+G_{\mathrm{水小}})×1\ \mathrm{m}$
解得$G_{\mathrm{水小}}=8\ \mathrm{N}$，这是B中水的最小重力。
② 临界状态2：传感器C示数为0，支点为D，杆即将绕D点向B侧倾覆：
A的力臂$L_A''=L_{AC}+L_{CD}=1\ \mathrm{m}$，B的力臂$L_B''=L_{BD}=0.5\ \mathrm{m}$
代入杠杆平衡条件：
$24\ \mathrm{N}×1\ \mathrm{m}=(4\ \mathrm{N}+G_{\mathrm{水大}})×0.5\ \mathrm{m}$
解得$G_{\mathrm{水大}}=44\ \mathrm{N}$，这是B中水的最大重力。
因此要保持杆始终水平静止，B中注入水的重量范围为8~44N。
【答案】
(1) $\boldsymbol{13\ \mathrm{N}}$ (2) $\boldsymbol{8∼44\ \mathrm{N}}$
【知识点】
杠杆平衡条件，临界支点判断
【点评】
本题是杠杆平衡条件的典型应用类问题，难点在于识别两个倾覆临界状态下的支点转换，很多学生容易搞错不同支点对应的力臂长度，只要明确某侧传感器示数为零时，该侧支撑力消失，支点落在另一侧传感器上，分别列平衡方程即可顺利求解取值范围。
【难度系数】
0.6
