登录
10 先化简,再求值:
(1) $5(3x^2y - xy^2) - 4(-\dfrac{1}{12}xy^2 + 3x^2y)$,其中 $x=-2,y=3$;
(2) $10a - [-2b + 3(4a - b)]$,其中 $a=-1,b=-3$.
(1) $5(3x^2y - xy^2) - 4(-\dfrac{1}{12}xy^2 + 3x^2y)$,其中 $x=-2,y=3$;
(2) $10a - [-2b + 3(4a - b)]$,其中 $a=-1,b=-3$.
答案
10. (1) 原式=$3x^2y-\frac{14}{3}xy^2$.当$x=-2,y=3$时,原式=120
(2) 原式=$-2a+5b$.当$a=-1,b=-3$时,原式=$-13$
(2) 原式=$-2a+5b$.当$a=-1,b=-3$时,原式=$-13$
解析
【分析】
解决整式化简求值类问题分三步思考：第一步去括号，要注意括号前的系数需乘遍括号内的每一项，若括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号；第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式；第三步代入已知的字母数值，按照有理数运算规则计算最终结果，代入负数时要注意符号运算的准确性。
【解析】
(1) 先去括号：
原式$=15x^2y - 5xy^2 + \frac{1}{3}xy^2 - 12x^2y$
再合并同类项：
$=(15x^2y - 12x^2y) + (-5xy^2 + \frac{1}{3}xy^2)$
$=3x^2y - \frac{14}{3}xy^2$
代入$x=-2,y=3$计算：
原式$=3×(-2)^2×3 - \frac{14}{3}×(-2)×3^2$
$=36 + 84 = 120$
(2) 先去小括号，再去中括号：
原式$=10a - [-2b + 12a - 3b]$
$=10a - 12a + 5b$
合并同类项得：
$=-2a + 5b$
代入$a=-1,b=-3$计算：
原式$=-2×(-1) + 5×(-3)$
$=2 - 15 = -13$
【答案】
(1) 化简结果为$3x^2y-\frac{14}{3}xy^2$，值为$\boxed{120}$；
(2) 化简结果为$-2a+5b$，值为$\boxed{-13}$
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题是整式加减运算的常规题型，核心考察去括号的符号规则和合并同类项的运算能力，计算时需注意不要漏乘括号内的项，代入负数运算时要注意符号，细心计算即可正确求解。
【难度系数】
0.8
解决整式化简求值类问题分三步思考：第一步去括号，要注意括号前的系数需乘遍括号内的每一项，若括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号；第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式；第三步代入已知的字母数值，按照有理数运算规则计算最终结果，代入负数时要注意符号运算的准确性。
【解析】
(1) 先去括号：
原式$=15x^2y - 5xy^2 + \frac{1}{3}xy^2 - 12x^2y$
再合并同类项：
$=(15x^2y - 12x^2y) + (-5xy^2 + \frac{1}{3}xy^2)$
$=3x^2y - \frac{14}{3}xy^2$
代入$x=-2,y=3$计算：
原式$=3×(-2)^2×3 - \frac{14}{3}×(-2)×3^2$
$=36 + 84 = 120$
(2) 先去小括号，再去中括号：
原式$=10a - [-2b + 12a - 3b]$
$=10a - 12a + 5b$
合并同类项得：
$=-2a + 5b$
代入$a=-1,b=-3$计算：
原式$=-2×(-1) + 5×(-3)$
$=2 - 15 = -13$
【答案】
(1) 化简结果为$3x^2y-\frac{14}{3}xy^2$，值为$\boxed{120}$；
(2) 化简结果为$-2a+5b$，值为$\boxed{-13}$
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题是整式加减运算的常规题型，核心考察去括号的符号规则和合并同类项的运算能力，计算时需注意不要漏乘括号内的项，代入负数运算时要注意符号，细心计算即可正确求解。
【难度系数】
0.8
11 整体思想 已知$a=4-b$，$ab=-2$，求代数式$(5a-4b-4ab)-3(a-2b-ab)$的值.
答案
11. 由$a=4-b$,得$a+b=4$.当$a+b=4,ab=-2$时,原式=$2a+2b-ab=2(a+b)-ab=2×4-(-2)=10$
解析
【分析】
拿到这道题无需单独计算a、b的具体值，优先采用更简便的整体代入思路：第一步先对所求代数式按整式加减规则化简，先去括号（注意括号前是负号时括号内各项要变号），再合并同类项得到最简形式；第二步从已知条件$a=4-b$移项得到$a+b$的整体值；最后把$a+b$和$ab$作为整体代入最简式计算即可。
【解析】
1. 化简代数式：
$\begin{aligned}&(5a-4b-4ab)-3(a-2b-ab)\\=&5a-4b-4ab-3a+6b+3ab\\=&(5a-3a)+(-4b+6b)+(-4ab+3ab)\\=&2a+2b-ab\\=&2(a+b)-ab\end{aligned}$
2. 转化已知条件：
由$a=4-b$，移项可得$a+b=4$。
3. 整体代入求值：
将$a+b=4$，$ab=-2$代入化简后的式子：
$2(a+b)-ab=2×4 - (-2)=8+2=10$
【答案】
10
【知识点】
整式的加减运算；整体代入求值；代数式化简
【点评】
本题考查整式加减运算与整体思想的应用，先化简再求值的流程能有效降低计算量，熟练掌握去括号、合并同类项法则是解题基础，灵活运用整体思想可避免单独求解未知数的繁琐，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
拿到这道题无需单独计算a、b的具体值，优先采用更简便的整体代入思路：第一步先对所求代数式按整式加减规则化简，先去括号（注意括号前是负号时括号内各项要变号），再合并同类项得到最简形式；第二步从已知条件$a=4-b$移项得到$a+b$的整体值；最后把$a+b$和$ab$作为整体代入最简式计算即可。
【解析】
1. 化简代数式：
$\begin{aligned}&(5a-4b-4ab)-3(a-2b-ab)\\=&5a-4b-4ab-3a+6b+3ab\\=&(5a-3a)+(-4b+6b)+(-4ab+3ab)\\=&2a+2b-ab\\=&2(a+b)-ab\end{aligned}$
2. 转化已知条件：
由$a=4-b$，移项可得$a+b=4$。
3. 整体代入求值：
将$a+b=4$，$ab=-2$代入化简后的式子：
$2(a+b)-ab=2×4 - (-2)=8+2=10$
【答案】
10
【知识点】
整式的加减运算；整体代入求值；代数式化简
【点评】
本题考查整式加减运算与整体思想的应用，先化简再求值的流程能有效降低计算量，熟练掌握去括号、合并同类项法则是解题基础，灵活运用整体思想可避免单独求解未知数的繁琐，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
12 已知多项式$(2x^2 + ax - y + 6) - (2bx^2 - 3x + 5y - 1)$的值与字母$x$的取值无关，求多项式$3(a^2 - 2ab - b^2) - (4a^2 + ab + b^2)$的值。
答案
12. 因为$(2x^2 +ax -y +6)-(2bx^2 -3x +5y -1)=(2-2b)x^2+(a+3)x-6y+7$,且该多项式的值与字母x的取值无关,所以$2-2b=0,a+3=0$,解得$a=-3,b=1$.化简关于a,b的多项式,得原式=$-a^2-7ab-4b^2$,所以该多项式的值为8
解析
【分析】
首先要明确“多项式的值与字母x的取值无关”的含义：即多项式中所有含x的项的系数都为0，这样x的取值变化不会影响最终结果。解题分两步进行：第一步先对给出的含x的多项式去括号、合并同类项，找到含x²、x的项的系数，令系数为0即可求出a、b的值；第二步对要求值的多项式去括号、合并同类项化简，再代入a、b的数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 先化简已知多项式，求解a、b的值：
$\begin{aligned}&(2x^2 + ax - y + 6) - (2bx^2 - 3x + 5y - 1)\\=&2x^2 + ax - y + 6 - 2bx^2 + 3x - 5y + 1\\=&(2-2b)x^2 + (a+3)x - 6y + 7\end{aligned}$
因为多项式的值与x取值无关，所以含x的项系数为0：
$2-2b=0$，解得$b=1$
$a+3=0$，解得$a=-3$
2. 再化简待求值的多项式，代入计算：
$\begin{aligned}&3(a^2 - 2ab - b^2) - (4a^2 + ab + b^2)\\=&3a^2 - 6ab - 3b^2 - 4a^2 - ab - b^2\\=&-a^2 -7ab -4b^2\end{aligned}$
将$a=-3$，$b=1$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-(-3)^2 -7×(-3)×1 -4×1^2\\&=-9 +21 -4\\&=8\end{aligned}$
【答案】
8
【知识点】
整式的加减运算，代数式求值，多项式的系数
【点评】
本题是整式加减的典型题型，解题核心是理解“多项式的值与某字母无关”等价于该字母所有次项的系数为0，运算过程中要熟练掌握去括号、合并同类项的法则，注意符号变化避免计算错误。
【难度系数】
0.7
首先要明确“多项式的值与字母x的取值无关”的含义：即多项式中所有含x的项的系数都为0，这样x的取值变化不会影响最终结果。解题分两步进行：第一步先对给出的含x的多项式去括号、合并同类项，找到含x²、x的项的系数，令系数为0即可求出a、b的值；第二步对要求值的多项式去括号、合并同类项化简，再代入a、b的数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 先化简已知多项式，求解a、b的值：
$\begin{aligned}&(2x^2 + ax - y + 6) - (2bx^2 - 3x + 5y - 1)\\=&2x^2 + ax - y + 6 - 2bx^2 + 3x - 5y + 1\\=&(2-2b)x^2 + (a+3)x - 6y + 7\end{aligned}$
因为多项式的值与x取值无关，所以含x的项系数为0：
$2-2b=0$，解得$b=1$
$a+3=0$，解得$a=-3$
2. 再化简待求值的多项式，代入计算：
$\begin{aligned}&3(a^2 - 2ab - b^2) - (4a^2 + ab + b^2)\\=&3a^2 - 6ab - 3b^2 - 4a^2 - ab - b^2\\=&-a^2 -7ab -4b^2\end{aligned}$
将$a=-3$，$b=1$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-(-3)^2 -7×(-3)×1 -4×1^2\\&=-9 +21 -4\\&=8\end{aligned}$
【答案】
8
【知识点】
整式的加减运算，代数式求值，多项式的系数
【点评】
本题是整式加减的典型题型，解题核心是理解“多项式的值与某字母无关”等价于该字母所有次项的系数为0，运算过程中要熟练掌握去括号、合并同类项的法则，注意符号变化避免计算错误。
【难度系数】
0.7
13 教材 P95“探究”变式 已知$\overline{ab}$表示一个两位数，$1≤ a≤ 9$，$0≤ b≤ 9$，$a$，$b$均为整数. 小天与小乐玩数字换位游戏，小天设置了游戏规则：① 任意写一个两位数；② 交换它的十位上的数字和个位上的数字，得到一个新数；③ 用原数减去新数，得出结果.
（1）小乐首先使用了特殊值法，他先写了一个数 13，根据游戏规则，得出的结果是________，然后他又写了一个数 82，根据游戏规则，得出的结果是________；
（2）小乐发现，两个数相减的结果始终能被 9 整除，请你说明这个结论是正确的；
（3）若原数与新数的差等于 63，请你求出所有符合条件的原数$\overline{ab}$；
（4）已知一个三位数的百位上的数字为$m$，个位上的数字为$n$，这个三位数为正整数，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于 297，请直接写出$m-n$的值为________.
（1）小乐首先使用了特殊值法，他先写了一个数 13，根据游戏规则，得出的结果是________，然后他又写了一个数 82，根据游戏规则，得出的结果是________；
（2）小乐发现，两个数相减的结果始终能被 9 整除，请你说明这个结论是正确的；
（3）若原数与新数的差等于 63，请你求出所有符合条件的原数$\overline{ab}$；
（4）已知一个三位数的百位上的数字为$m$，个位上的数字为$n$，这个三位数为正整数，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于 297，请直接写出$m-n$的值为________.
答案
13. (1) $-18$ $54$ (2) 由题意,得原数为$10a+b$,新数为$10b+a$,所以$10a+b-(10b+a)=9a-9b=9(a-b)$.所以两个数相减的结果始终能被9整除 (3) 由(2)知,两数的差为$9(a-b)$.因为原数与新数的差等于63,所以$9(a-b)=63$,即$a-b=7$.因为$1≤a≤9,0≤b≤9$,a,b均为整数,所以$a=7,b=0$或$a=8,b=1$或$a=9,b=2$.所以所有符合条件的原数为70或81或92 (4) 3 【解析】设十位上的数字是a.根据题意,可得原数=$100m+10a+n$,新数=$100n+10a+m$.所以两数之差为$100m+10a+n-(100n+10a+m)=99m-99n$.因为$99m-99n=297$,所以$m-n=3$
解析
【分析】
（1）按照游戏规则，先写出交换十位、个位后的新数，再用原数减去新数直接计算即可；
（2）要证明差能被9整除，首先用含a、b的代数式分别表示原两位数和交换后的新两位数，再作差化简，若结果为9乘整数的形式，即可证明结论成立；
（3）利用（2）推导得到的差的表达式，令其等于63，求出a与b的数量关系，再结合a、b的取值范围，列举所有符合条件的a、b，即可得到对应原数；
（4）类比两位数的表示方法，用含m、n和十位数字的代数式分别表示原三位数和交换后的新三位数，作差化简后令其等于297，即可求出m-n的值。
【解析】
（1）当原数为13时，交换后得到新数31，计算得$13-31=-18$；当原数为82时，交换后得到新数28，计算得$82-28=54$。
（2）由题意可知，原两位数为$10a+b$，交换十位和个位后的新数为$10b+a$，两数作差：
$10a+b-(10b+a)=10a+b-10b-a=9a-9b=9(a-b)$
因为a、b均为整数，所以$a-b$是整数，因此两数的差是9的倍数，始终能被9整除。
（3）根据（2）的结论，两数的差为$9(a-b)$，已知差等于63，可得：
$9(a-b)=63$，解得$a-b=7$
结合$1≤a≤9$，$0≤b≤9$，且a、b均为整数，可得：
当$b=0$时，$a=7$；当$b=1$时，$a=8$；当$b=2$时，$a=9$
对应的原数分别为70、81、92。
（4）设三位数的十位数字为a，原数为$100m+10a+n$，交换百位和个位后的新数为$100n+10a+m$，两数作差：
$100m+10a+n-(100n+10a+m)=99m-99n=99(m-n)$
已知差为297，因此$99(m-n)=297$，解得$m-n=3$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-18}$；$\boldsymbol{54}$
（2）见上述证明过程
（3）$\boldsymbol{70}$、$\boldsymbol{81}$、$\boldsymbol{92}$
（4）$\boldsymbol{3}$
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；一元一次方程的应用
【点评】
本题以数字换位游戏为载体，从特殊值探究到一般规律推导，再延伸到三位数的规律应用，既考查了多位数的代数式表示方法，也锻炼了逻辑推理和分类讨论的能力，是整式加减实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
（1）按照游戏规则，先写出交换十位、个位后的新数，再用原数减去新数直接计算即可；
（2）要证明差能被9整除，首先用含a、b的代数式分别表示原两位数和交换后的新两位数，再作差化简，若结果为9乘整数的形式，即可证明结论成立；
（3）利用（2）推导得到的差的表达式，令其等于63，求出a与b的数量关系，再结合a、b的取值范围，列举所有符合条件的a、b，即可得到对应原数；
（4）类比两位数的表示方法，用含m、n和十位数字的代数式分别表示原三位数和交换后的新三位数，作差化简后令其等于297，即可求出m-n的值。
【解析】
（1）当原数为13时，交换后得到新数31，计算得$13-31=-18$；当原数为82时，交换后得到新数28，计算得$82-28=54$。
（2）由题意可知，原两位数为$10a+b$，交换十位和个位后的新数为$10b+a$，两数作差：
$10a+b-(10b+a)=10a+b-10b-a=9a-9b=9(a-b)$
因为a、b均为整数，所以$a-b$是整数，因此两数的差是9的倍数，始终能被9整除。
（3）根据（2）的结论，两数的差为$9(a-b)$，已知差等于63，可得：
$9(a-b)=63$，解得$a-b=7$
结合$1≤a≤9$，$0≤b≤9$，且a、b均为整数，可得：
当$b=0$时，$a=7$；当$b=1$时，$a=8$；当$b=2$时，$a=9$
对应的原数分别为70、81、92。
（4）设三位数的十位数字为a，原数为$100m+10a+n$，交换百位和个位后的新数为$100n+10a+m$，两数作差：
$100m+10a+n-(100n+10a+m)=99m-99n=99(m-n)$
已知差为297，因此$99(m-n)=297$，解得$m-n=3$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-18}$；$\boldsymbol{54}$
（2）见上述证明过程
（3）$\boldsymbol{70}$、$\boldsymbol{81}$、$\boldsymbol{92}$
（4）$\boldsymbol{3}$
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；一元一次方程的应用
【点评】
本题以数字换位游戏为载体，从特殊值探究到一般规律推导，再延伸到三位数的规律应用，既考查了多位数的代数式表示方法，也锻炼了逻辑推理和分类讨论的能力，是整式加减实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
