登录
12 (2025 徐州沛县月考)已知关于 $x$ 的方程 $4x + 2m + 1 = 2x + 5$ 的解是非负数。
(1) 求 $m$ 的取值范围；
(2) 当 $m$ 取最大整数时，求关于 $x$ 的不等式 $x + 1≥\dfrac{mx + 8}{5}$ 的最小整数解。
(1) 求 $m$ 的取值范围；
(2) 当 $m$ 取最大整数时，求关于 $x$ 的不等式 $x + 1≥\dfrac{mx + 8}{5}$ 的最小整数解。
答案
12. 解：(1) 根据题意，得方程 $ 4x + 2m + 1 = 2x + 5 $ 的解是 $ x = 2 - m $，
则 $ 2 - m ≥ 0 $，解得 $ m ≤ 2 $。
(2) 解 $ x + 1 ≥ \frac{mx + 8}{5} $，得 $ (5 - m)x ≥ 3 $。
因为 $ m $ 的最大整数是 2，所以 $ 3x ≥ 3 $，解得 $ x ≥ 1 $，
所以关于 $ x $ 的不等式 $ x + 1 ≥ \frac{mx + 8}{5} $ 的最小整数解是 1。
则 $ 2 - m ≥ 0 $，解得 $ m ≤ 2 $。
(2) 解 $ x + 1 ≥ \frac{mx + 8}{5} $，得 $ (5 - m)x ≥ 3 $。
因为 $ m $ 的最大整数是 2，所以 $ 3x ≥ 3 $，解得 $ x ≥ 1 $，
所以关于 $ x $ 的不等式 $ x + 1 ≥ \frac{mx + 8}{5} $ 的最小整数解是 1。
13 (2025 徐州沛县月考)已知方程组 $\begin{cases}x + y = - 7 - m,\\x - y = 1 + 3m\end{cases}$ 的解满足 $x$ 为非正数，$y$ 为负数。
(1) 用含 $m$ 的式子分别表示出 $x$，$y$；
(2) 求 $m$ 的取值范围；
(3) 化简：$\vert m - 3\vert-\vert m + 2\vert$。
(1) 用含 $m$ 的式子分别表示出 $x$，$y$；
(2) 求 $m$ 的取值范围；
(3) 化简：$\vert m - 3\vert-\vert m + 2\vert$。
答案
13. 解：(1) $ \begin{cases} x + y = -7 - m ①, \\ x - y = 1 + 3m ②, \end{cases} $
由 ① + ②，得 $ 2x = 2m - 6 $，解得 $ x = m - 3 $。
将 $ x = m - 3 $ 代入 ①，得 $ m - 3 + y = -7 - m $，
解得 $ y = -2m - 4 $，
所以原方程组的解为 $ \begin{cases} x = m - 3, \\ y = -2m - 4. \end{cases} $
(2) 因为 $ x $ 为非正数，$ y $ 为负数，
所以 $ \begin{cases} m - 3 ≤ 0 ①, \\ -2m - 4 ＜ 0 ②, \end{cases} $
解不等式 ①，得 $ m ≤ 3 $，
解不等式 ②，得 $ m ＞ -2 $，
所以原不等式组的解集为 $ -2 ＜ m ≤ 3 $。
故 $ m $ 的取值范围是 $ -2 ＜ m ≤ 3 $。
(3) 因为 $ -2 ＜ m ≤ 3 $，
所以 $ |m - 3| - |m + 2| = -(m - 3) - (m + 2) = 1 - 2m $。
由 ① + ②，得 $ 2x = 2m - 6 $，解得 $ x = m - 3 $。
将 $ x = m - 3 $ 代入 ①，得 $ m - 3 + y = -7 - m $，
解得 $ y = -2m - 4 $，
所以原方程组的解为 $ \begin{cases} x = m - 3, \\ y = -2m - 4. \end{cases} $
(2) 因为 $ x $ 为非正数，$ y $ 为负数，
所以 $ \begin{cases} m - 3 ≤ 0 ①, \\ -2m - 4 ＜ 0 ②, \end{cases} $
解不等式 ①，得 $ m ≤ 3 $，
解不等式 ②，得 $ m ＞ -2 $，
所以原不等式组的解集为 $ -2 ＜ m ≤ 3 $。
故 $ m $ 的取值范围是 $ -2 ＜ m ≤ 3 $。
(3) 因为 $ -2 ＜ m ≤ 3 $，
所以 $ |m - 3| - |m + 2| = -(m - 3) - (m + 2) = 1 - 2m $。
14 (新考法)(2025 淮安清江浦月考)我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”。
(1) 下列不等式中，与 $x＜2$ 互为“和谐不等式”的是
① $x≥ 1$；② $x≥\dfrac{3}{2}$；③ $x＞3$。
(2) 若关于 $x$ 的不等式 $x + m＞0$ 是 $3x - 1＜2x + 5$ 的“和谐不等式”，求 $m$ 的取值范围；
(3) 若 $n≠-\dfrac{1}{2}$，关于 $x$ 的不等式 $x + 3＞n$ 与不等式 $2nx - 1≤ 2n - x$ 互为“和谐不等式”，求 $n$ 的取值范围。
(1) 下列不等式中，与 $x＜2$ 互为“和谐不等式”的是
①
(填序号)；① $x≥ 1$；② $x≥\dfrac{3}{2}$；③ $x＞3$。
(2) 若关于 $x$ 的不等式 $x + m＞0$ 是 $3x - 1＜2x + 5$ 的“和谐不等式”，求 $m$ 的取值范围；
(3) 若 $n≠-\dfrac{1}{2}$，关于 $x$ 的不等式 $x + 3＞n$ 与不等式 $2nx - 1≤ 2n - x$ 互为“和谐不等式”，求 $n$ 的取值范围。
答案
14. 解：(1) ①
(2) 解不等式 $ x + m ＞ 0 $，得 $ x ＞ -m $，
解不等式 $ 3x - 1 ＜ 2x + 5 $，得 $ x ＜ 6 $。
因为关于 $ x $ 的不等式 $ x + m ＞ 0 $ 是 $ 3x - 1 ＜ 2x + 5 $ 的“和谐不等式”，
所以 $ -m ＜ 5 $，所以 $ m ＞ -5 $。
(3) 解不等式 $ x + 3 ＞ n $，得 $ x ＞ n - 3 $，
解不等式 $ 2nx - 1 ≤ 2n - x $，
整理，得 $ (2n + 1)x ≤ 2n + 1 $。
当 $ 2n + 1 ＞ 0 $，即 $ n ＞ -\frac{1}{2} $ 时，$ x ≤ 1 $。
因为关于 $ x $ 的不等式 $ x + 3 ＞ n $ 与不等式 $ 2nx - 1 ≤ 2n - x $ 互为“和谐不等式”，
所以 $ n - 3 ＜ 1 $，解得 $ n ＜ 4 $，
所以 $ -\frac{1}{2} ＜ n ＜ 4 $；
当 $ 2n + 1 ＜ 0 $，即 $ n ＜ -\frac{1}{2} $ 时，$ x ≥ 1 $。
因为 $ x ＞ n - 3 $，所以两个一元一次不等式有公共整数解，此时关于 $ x $ 的不等式 $ x + 3 ＞ n $ 与不等式 $ 2nx - 1 ≤ 2n - x $ 互为“和谐不等式”。
综上所述，$ n $ 的取值范围为 $ n ＜ -\frac{1}{2} $ 或 $ -\frac{1}{2} ＜ n ＜ 4 $。
(2) 解不等式 $ x + m ＞ 0 $，得 $ x ＞ -m $，
解不等式 $ 3x - 1 ＜ 2x + 5 $，得 $ x ＜ 6 $。
因为关于 $ x $ 的不等式 $ x + m ＞ 0 $ 是 $ 3x - 1 ＜ 2x + 5 $ 的“和谐不等式”，
所以 $ -m ＜ 5 $，所以 $ m ＞ -5 $。
(3) 解不等式 $ x + 3 ＞ n $，得 $ x ＞ n - 3 $，
解不等式 $ 2nx - 1 ≤ 2n - x $，
整理，得 $ (2n + 1)x ≤ 2n + 1 $。
当 $ 2n + 1 ＞ 0 $，即 $ n ＞ -\frac{1}{2} $ 时，$ x ≤ 1 $。
因为关于 $ x $ 的不等式 $ x + 3 ＞ n $ 与不等式 $ 2nx - 1 ≤ 2n - x $ 互为“和谐不等式”，
所以 $ n - 3 ＜ 1 $，解得 $ n ＜ 4 $，
所以 $ -\frac{1}{2} ＜ n ＜ 4 $；
当 $ 2n + 1 ＜ 0 $，即 $ n ＜ -\frac{1}{2} $ 时，$ x ≥ 1 $。
因为 $ x ＞ n - 3 $，所以两个一元一次不等式有公共整数解，此时关于 $ x $ 的不等式 $ x + 3 ＞ n $ 与不等式 $ 2nx - 1 ≤ 2n - x $ 互为“和谐不等式”。
综上所述，$ n $ 的取值范围为 $ n ＜ -\frac{1}{2} $ 或 $ -\frac{1}{2} ＜ n ＜ 4 $。
