典例1 已知$OD$,$OE$是$∠ AOC$的三等分线，$OF$,$OG$是$∠ BOC$的三等分线，则下列结论正确的有().

A.$∠ EOF = \frac{1}{3}∠ AOB$
B.$∠ COF = ∠ COD$
C.$OC$是$∠ DOG$的平分线
D.若$∠ FOG = 2∠ DOE$，则$∠ AOE$与$∠ BOF$的和为$90°$

答案A 解析 因为OD，OE是∠AOC的三等分线，OF，OG是∠BOC的三等分线，所以$∠ AOD = ∠ EOD = ∠ COE = \frac{1}{3}∠ AOC$，$∠ BOG = ∠ GOF = ∠ FOC = \frac{1}{3}∠ COB$. 所以$∠ EOF = \frac{1}{3}∠ AOB$，故A正确；不能判断∠COF与∠COD的大小关系及∠COD与∠COG的大小关系，故B,C不正确；若∠FOG = 2∠DOE，因为∠AOE = 2∠DOE，∠FOG=∠FOC，所以∠AOE+∠BOF=∠BOC，而∠BOC的大小无法判断，故D不正确.故选A.

【分析】
解题时首先根据三等分线的性质，把被等分的角拆分成三个相等的小角，再结合角的和差关系逐个验证选项：①分析选项A时，将∠EOF拆分为∠COE与∠COF的和，二者分别是∠AOC、∠BOC的三分之一，合并后即可推导与∠AOB的关系；②分析B、C选项时，注意∠AOC和∠BOC的大小关系未知，因此其对应的等分角的大小也无法比较；③分析D选项时，根据给出的等量关系推导后，可知两角的和与∠AOB的大小有关，题干未给出∠AOB的具体度数，因此无法得到和为90°，最终选出正确选项。
【解析】
∵OD，OE是∠AOC的三等分线，OF，OG是∠BOC的三等分线，
∴$∠ AOD = ∠ DOE = ∠ COE = \frac{1}{3}∠ AOC$，$∠ BOG = ∠ GOF = ∠ FOC = \frac{1}{3}∠ BOC$。
对选项A：$∠ EOF = ∠ COE + ∠ COF = \frac{1}{3}∠ AOC + \frac{1}{3}∠ BOC = \frac{1}{3}(∠ AOC + ∠ BOC) = \frac{1}{3}∠ AOB$，结论成立，故A正确；
对选项B：$∠ COF = \frac{1}{3}∠ BOC$，$∠ COD = \frac{2}{3}∠ AOC$，题干未给出$∠ AOC$和$∠ BOC$的大小关系，无法判断二者是否相等，故B错误；
对选项C：若OC平分$∠ DOG$，需满足$∠ COD=∠ COG$，其中$∠ COG=\frac{2}{3}∠ BOC$，$∠ COD=\frac{2}{3}∠ AOC$，因$∠ AOC$和$∠ BOC$大小关系未知，无法判定相等，故C错误；
对选项D：若$∠ FOG=2∠ DOE$，即$\frac{1}{3}∠ BOC=2×\frac{1}{3}∠ AOC$，可得$∠ BOC=2∠ AOC$。此时$∠ AOE=\frac{2}{3}∠ AOC$，$∠ BOF=\frac{2}{3}∠ BOC$，因此$∠ AOE+∠ BOF=\frac{2}{3}(∠ AOC+∠ BOC)=\frac{2}{3}∠ AOB$，题干未给出$∠ AOB$的度数，无法得出和为$90°$，故D错误。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
角的等分线，角的和差计算，角平分线定义
【点评】
本题考查角的等分线性质和角的和差运算，解题核心是根据等分线的性质将未知角用已知角表示，要注意不要默认题干未给出的角的大小关系。
【难度系数】
0.7

举一反三 如图，$∠ AOB = 150°$，将三角尺$COD$的一个顶点与$O$重合，$∠ COD = 30°$，$OM$平分$∠ AOD$。若$OD$在射线$OB$上，则$∠ COM =$。

典例解析

45° 解析 因为OM平分∠AOD，∠AOB=150°，所以∠DOM=1/2∠AOB=75°。因为∠COD=30°，所以∠COM=∠DOM−∠COD=75°−30°=45°。

【分析】
解题时先根据题目给出的OD在射线OB上的条件，确定∠AOD与∠AOB相等，得到∠AOD的度数；再利用角平分线的性质，求出OM平分∠AOD后得到的∠DOM的度数；最后观察图形中角的位置关系，可知∠COM等于∠DOM减去∠COD，代入数值即可算出结果。
【解析】
∵ OD在射线OB上，∠AOB=150°
∴ ∠AOD=∠AOB=150°
∵ OM平分∠AOD
∴ $∠ DOM=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×150°=75°$
又
∵ $∠ COD=30°$
∴ $∠ COM=∠ DOM-∠ COD=75°-30°=45°$
【答案】
$45°$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角的运算的基础题，解题核心是先确定已知角和待求角之间的位置关系，结合角平分线的性质逐步推导，只要熟练掌握角平分线的定义和角的和差计算方法就能快速求解。
【难度系数】
0.8

2. 角的乘除运算
典例2 $5° 27' × 3 - 49° 54' ÷ 6 =$
.

答案 $8°2'$ 解析 $5°27'×3 - 49°54'÷6 = 15°81' - 8°19' = 7°62' = 8°2'$.

【分析】
本题考查角度的四则混合运算，解题需遵循“先乘除、后加减”的运算顺序，结合度分60进制的规则计算即可：①先算乘法：分别将度、分与乘数相乘，得到乘法运算结果；②再算除法：先用度除以除数，余下的度换算为分与原有分合并后再除以除数，得到除法运算结果；③最后做减法，度与度相减、分与分相减，若分的结果满60，需向度进位，最终得到化简后的结果。
【解析】
解：按照运算顺序分步计算：
1. 计算乘法：$5°27' × 3$
$5°×3=15°$，$27'×3=81'$，因此$5°27' × 3=15°81'$
2. 计算除法：$49°54' ÷ 6$
$49°÷6=8°\dots\dots1°$，将余下的$1°$换算为$60'$，与原有$54'$合并得$60'+54'=114'$
$114'÷6=19'$，因此$49°54' ÷ 6=8°19'$
3. 计算减法并化简：
$15°81' - 8°19' = (15°-8°)+(81'-19')=7°62'$
因为$62'=1°2'$，所以$7°62'=7°+1°2'=8°2'$
【答案】
$8°2'$
【知识点】
度分秒换算、角的乘除运算、角的加减运算
【点评】
本题是角度运算的基础典型题，核心考查度分的60进制换算规则，解题时需注意运算顺序，乘除运算需分别对度、分同级计算，加减运算也要同单位相减，牢记“满60进1、借1当60”的换算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

举一反三 计算:
(1)$\frac{1}{3}×64°12'$；
(2)$65°24'÷4$.
∠COF与∠COD的大小关系及∠COD与∠COG的大小关系，故B,C不正确；若∠FOG = 2∠DOE，因为∠AOE = 2∠DOE，∠FOG=∠FOC，所以∠AOE+∠BOF=∠BOC，而∠BOC的大小无法判断，故D不正确.故选A.
典例2
答案 $8°2'$
解析 $5°27'×3 - 49°54'÷6 = 15°81' - 8°19' = 7°62' = 8°2'$.

(1) $21°24'$ 解：$\frac{1}{3}×64°12'=\frac{1}{3}×64°+\frac{1}{3}×12' = 21°+\frac{1}{3}×60'+4' = 21°24'$.
(2) $16°21'$ 解：$65°24'÷4=64°84'÷4=16°21'$.

【分析】
角度的单位度、分采用60进制，即$1°=60'$，做角度乘除运算时可按以下思路解题：
1. 做乘法运算时，将度和分分别与乘数相乘，若度的计算结果有余数，将余数换算为分，再与分的计算结果合并；
2. 做除法运算时，先用度的部分除以除数，若有余数，将余数换算为分，和原有分的部分相加后再除以除数，最后合并度、分的结果即可。
【解析】
(1) 计算$\frac{1}{3}×64°12'$：
$\begin{aligned}\frac{1}{3}×64°12'&=\frac{1}{3}×64°+\frac{1}{3}×12'\\&=21°+\frac{1}{3}×60'+4'\\&=21°+20'+4'\\&=21°24'\end{aligned}$
(2) 计算$65°24'÷4$：
$\begin{aligned}65°24'÷4&=64°84'÷4\\&=64°÷4 + 84'÷4\\&=16°+21'\\&=16°21'\end{aligned}$
【答案】
(1) $21°24'$；(2) $16°21'$
【知识点】
度分秒的换算、角度乘法运算、角度除法运算
【点评】
本题属于角度运算的基础题型，核心考点是度分秒的60进制换算规则，运算时分别对度、分分步计算，注意单位换算的进率即可快速求解。
【难度系数】
0.8