7. 下列式子成立的是()

A.$ \frac{b}{a} + \frac{2}{b} = \frac{b + 2}{a + b} $
B.$ \frac{m + 3}{m} = 3 $
C.$ \left( \frac{y}{x^2} \right)^2 = \frac{y^2}{x^2} $
D.$ \frac{n^2}{mn} = \frac{n}{m} $

D

A. 对于 $\frac{b}{a} + \frac{2}{b}$，由于分母不同，不能直接相加，故 $\frac{b}{a} + \frac{2}{b} \neq \frac{b + 2}{a + b}$，A 选项错误。
B. 对于 $\frac{m + 3}{m}$，可以分解为 $\frac{m}{m} + \frac{3}{m} = 1 + \frac{3}{m}$，显然不等于 3，B 选项错误。
C. 对于 $\left( \frac{y}{x^2} \right)^2$，根据幂的运算法则，应为 $\frac{y^2}{(x^2)^2} = \frac{y^2}{x^4}$，与 $\frac{y^2}{x^2}$ 不相等，C 选项错误。
D. 对于 $\frac{n^2}{mn}$，可以约分为 $\frac{n}{m}$（假设 $m \neq 0, n\neq 0$），D 选项正确。

8. 若 $ x $ 为整数,且 $ \frac{4x + 8}{x^2 - 4} $ 的值也为整数,则所有符合条件的 $ x $ 的值的个数是()
A.6
B.5
C.4
D.3

B

首先对给定分式进行化简：
$\frac{4x + 8}{x^2 - 4} = \frac{4(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{4}{x - 2} \quad (x \neq -2 且 x \neq 2)$，
由于分式的值为整数，所以$x - 2$必须是4的因数，即$x - 2$的取值为$\pm 1$，$\pm 2$，$\pm 4$。
解这些方程得到$x$的可能整数值：
当$x - 2 = 1$时，$x = 3$；
当$x - 2 = -1$时，$x = 1$；
当$x - 2 = 2$时，$x = 4$；
当$x - 2 = -2$时，$x = 0$；
当$x - 2 = 4$时，$x = 6$；
当$x - 2 = -4$时，$x = -2$（由于分母不能为0，所以$x = -2$需要舍去）。
所以，符合条件的$x$的整数值有$0, 1, 3, 4, 6$，共5个。

9. 某船在静水中航行的速度是 $ x $ km/h,水流的速度是 $ y $ km/h,该船从甲地顺流去乙地 $ a $ h 到达,则该船从乙地返回甲地需要的时间为()
A.$ \frac{a(x + y)}{x - y} $ h
B.$ \frac{a(x - y)}{x + y} $ h
C.$ \frac{ax}{x + y} $ h
D.$ \frac{a(x + y)}{y - x} $ h

A

顺流时，船和水流的速度相加，所以顺流速度为 $x + y$ km/h。
根据题意，船从甲地到乙地顺流行驶需要 $a$ 小时，所以甲乙两地的距离为 $a(x + y)$ km。
逆流时，船和水流的速度相减，所以逆流速度为 $x - y$ km/h。
因此，船从乙地返回甲地所需的时间为距离除以速度，即 $\frac{a(x + y)}{x - y}$ h。

10. 若关于 $ x $ 的方程 $ \frac{2}{x - 2} + \frac{x + m}{2 - x} = 2 $ 的解为正数,则 $ m $ 的取值范围是()
A.$ m ＜ 6 $
B.$ m ＞ -6 $
C.$ m ＜ 6 $,且 $ m \neq 0 $
D.$ m ＜ 6 $,且 $ m \neq 4 $

C

方程两边同乘$x - 2$得：$2 - (x + m) = 2(x - 2)$，化简得$2 - x - m = 2x - 4$，移项合并得$3x = 6 - m$，解得$x = \frac{6 - m}{3} = 2 - \frac{m}{3}$。
∵解为正数，∴$2 - \frac{m}{3} ＞ 0$，解得$m ＜ 6$。
∵分母$x - 2 ≠ 0$，即$x ≠ 2$，∴$2 - \frac{m}{3} ≠ 2$，解得$m ≠ 0$。
综上，$m ＜ 6$且$m ≠ 0$。

11. 若分式 $ \frac{1}{a^2 + 2a + 1} $ 有意义,则 $ a $ 的取值范围是.

$a \neq -1$

要使分式$\frac{1}{a^2 + 2a + 1}$有意义，则分母$a^2 + 2a + 1 \neq 0$。因为$a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$，所以$(a + 1)^2 \neq 0$，解得$a \neq -1$。

12. 如果 $ m = n + 4 $,那么代数式 $ \left( \frac{m}{n} - \frac{n}{m} \right) \cdot \frac{2mn}{m + n} $ 的值是.

8

$\begin{aligned}&\left( \frac{m}{n} - \frac{n}{m} \right) \cdot \frac{2mn}{m + n}\\=&\left( \frac{m^2 - n^2}{mn} \right) \cdot \frac{2mn}{m + n}\\=&\frac{(m + n)(m - n)}{mn} \cdot \frac{2mn}{m + n}\\=&2(m - n)\end{aligned}$
因为 $ m = n + 4 $，所以 $ m - n = 4 $，则原式 $ = 2×4 = 8 $

13. 若关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{x}{x - 3} + \frac{3a}{3 - x} = 2a $ 无解,则 $ a $ 的值为.

1或$\frac{1}{2}$

原方程变形为$\frac{x}{x - 3} - \frac{3a}{x - 3} = 2a$，合并得$\frac{x - 3a}{x - 3} = 2a$。去分母得$x - 3a = 2a(x - 3)$，整理得$x(1 - 2a) = -3a$。
情况1：整式方程无解，即$1 - 2a = 0$且$-3a \neq 0$，解得$a = \frac{1}{2}$。
情况2：整式方程的解为增根$x = 3$，代入整式方程得$3 - 3a = 0$，解得$a = 1$。
综上，$a = 1$或$\frac{1}{2}$。

14. 已知分式 $ \frac{x^2 - a^2 - x + 1}{x + 1} $ 化简后的结果是一个整式,则常数 $ a = $.

$\pm\sqrt{3}$

因为分式$\frac{x^2 - a^2 - x + 1}{x + 1}$化简后为整式，所以分母$x + 1$是分子$x^2 - x + (1 - a^2)$的因式。根据因式定理，当$x = -1$时，分子值为0。代入$x = -1$得：$(-1)^2 - a^2 - (-1) + 1 = 0$，即$1 - a^2 + 1 + 1 = 0$，解得$a^2 = 3$，故$a = \pm\sqrt{3}$。

15. 观察分析下列方程：① $ x + \frac{2}{x} = 3 $；② $ x + \frac{6}{x} = 5 $；③ $ x + \frac{12}{x} = 7 $. 请利用其中所蕴含的规律写出这一组方程中的第 $ n $ 个方程：.

$x+\frac{n(n + 1)}{x}=2n + 1$

观察给出的方程：
① $x+\frac{2}{x}=3$，其中$2 = 1×2$，$3 = 2×1 + 1$；
② $x+\frac{6}{x}=5$，其中$6 = 2×3$，$5 = 2×2+ 1$；
③ $x+\frac{12}{x}=7$，其中$12 = 3×4$，$7 = 2×3 + 1$。
通过分析可得出规律：第$n$个方程中，方程左边第二项的分子为$n(n + 1)$，方程右边的值为$2n+1$。
所以这一组方程中的第$n$个方程为$x+\frac{n(n + 1)}{x}=2n + 1$。

16. 对于两个不相等的实数 $ a $,$ b $,我们规定符号 $ Max\{a, b\} $ 表示 $ a $,$ b $ 中的较大值,如 $ Max\{2, 4\} = 4 $. 按照这个规定,方程 $ Max\{x, -x\} = \frac{x^2 + 2}{x + 4} $ 的解为.

$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2 = -1$（按题目要求此处若为填空等形式则按规则填写，若为选择则对应选项）

需分情况讨论$x$与$-x$的大小关系，再结合给定方程求解。
当$x\gt -x$，即$x\gt 0$时，$Max\{x, -x\}=x$，则原方程变为$x = \frac{x^2 + 2}{x + 4}$。
方程两边同乘$x + 4$得：$x(x + 4)=x^2 + 2$，
去括号得：$x^2 + 4x = x^2 + 2$，
移项、合并同类项得：$4x = 2$，
解得：$x=\frac{1}{2}$，
经检验，$x = \frac{1}{2}$时，$x + 4\neq 0$，所以$x = \frac{1}{2}$是原方程的解。
当$x\lt -x$，即$x\lt 0$时，$Max\{x, -x\}=-x$，则原方程变为$-x = \frac{x^2 + 2}{x + 4}$。
方程两边同乘$x + 4$得：$-x(x + 4)=x^2 + 2$，
去括号得：$-x^2 - 4x = x^2 + 2$，
移项、合并同类项得：$2x^2 + 4x + 2 = 0$，
化简得：$x^2 + 2x + 1 = 0$，
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得$(x + 1)^2 = 0$，
解得：$x = -1$，
经检验，$x = -1$时，$x + 4\neq 0$，所以$x = -1$是原方程的解。
综上，方程的解为$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2 = -1$。