1. 化简$\frac{a - 1}{a}÷\frac{a - 1}{a^2}$的结果是（）
A.$\frac{1}{a}$
B.$a$
C.$a - 1$
D.$\frac{1}{a - 1}$

B

$\frac{a - 1}{a}÷\frac{a - 1}{a^2}$
$=\frac{a - 1}{a}×\frac{a^2}{a - 1}$
$=a$
B

2. 化简$\frac{2}{x^2 - 1}÷\frac{1}{x - 1}$的结果是（）
A.$\frac{2}{x - 1}$
B.$\frac{2}{x^3 - 1}$
C.$\frac{2}{x + 1}$
D.$2(x + 1)$

C

$\begin{aligned}\frac{2}{x^2 - 1}÷\frac{1}{x - 1}&=\frac{2}{(x + 1)(x - 1)}×(x - 1)\\&=\frac{2}{x + 1}\end{aligned}$
C

3. 计算：
(1) $\frac{4x}{3y}×\frac{y}{2x^3}$；
(2) $\frac{x^2}{x^2 - 1}÷\frac{x}{x - 1}$.

(1)原式=$\frac{2}{3x^{2}}$；
(2)原式=$\frac{x}{x+1}$.

题型1 化简：
(1) $\frac{a}{a + 2}\cdot\frac{a^2 - 4}{-a^2}=$；
(2) $\frac{x + 1}{x}÷\frac{x^2 - 1}{x^2}=$.

1. （1）
首先，对$a^{2}-4$进行因式分解：
根据平方差公式$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$，这里$m = a$，$n = 2$，则$a^{2}-4=(a + 2)(a - 2)$。
原式$\frac{a}{a + 2}\cdot\frac{a^{2}-4}{-a^{2}}=\frac{a}{a + 2}\cdot\frac{(a + 2)(a - 2)}{-a^{2}}$。
然后，进行约分：
分子分母同时约去$a(a + 2)$，得到$\frac{a-2}{-a}=\frac{2 - a}{a}$。
2. （2）
首先，将除法转化为乘法：
根据除法运算法则$\frac{m}{n}÷\frac{p}{q}=\frac{m}{n}\cdot\frac{q}{p}(n\neq0,p\neq0,q\neq0)$，则$\frac{x + 1}{x}÷\frac{x^{2}-1}{x^{2}}=\frac{x + 1}{x}\cdot\frac{x^{2}}{x^{2}-1}$。
然后，对$x^{2}-1$进行因式分解：
根据平方差公式$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$。
所以$\frac{x + 1}{x}\cdot\frac{x^{2}}{x^{2}-1}=\frac{x + 1}{x}\cdot\frac{x^{2}}{(x + 1)(x - 1)}$。
最后，进行约分：
分子分母同时约去$x(x + 1)$，得到$\frac{x}{x - 1}$。
故答案依次为：（1）$\frac{2 - a}{a}$；（2）$\frac{x}{x - 1}$。

题型2 先化简，再选一合适的数代入求值：$\frac{x}{x^2 - 1}÷\frac{x^2}{x^2 + x}$.

1. 首先化简原式：
根据除法运算法则$a÷ b=a×\frac{1}{b}$，将$\frac{x}{x^{2}-1}÷\frac{x^{2}}{x^{2}+x}$变形为$\frac{x}{x^{2}-1}×\frac{x^{2}+x}{x^{2}}$。
对$x^{2}-1$利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，可得$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$；对$x^{2}+x$提取公因式$x$，可得$x^{2}+x=x(x + 1)$。
则原式$=\frac{x}{(x + 1)(x - 1)}×\frac{x(x + 1)}{x^{2}}$。
约分：分子分母中的$x$约掉一个，分子分母中的$(x + 1)$约掉，得到$\frac{1}{x - 1}$。
2. 然后确定$x$的取值范围：
因为原式分母不能为$0$，在$\frac{x}{x^{2}-1}÷\frac{x^{2}}{x^{2}+x}$中，$x^{2}-1\neq0$，即$(x + 1)(x - 1)\neq0$，所以$x\neq\pm1$；且$x^{2}\neq0$，即$x\neq0$。
3. 最后代入求值：
取$x = 2$（$x$只要满足$x\neq\pm1$且$x\neq0$即可）。
当$x = 2$时，代入$\frac{1}{x - 1}$，则$\frac{1}{2-1}=1$。
综上，化简结果为$\frac{1}{x - 1}$（$x\neq\pm1$且$x\neq0$），当$x = 2$时，值为$1$。

题型3 若式子$\frac{x + 1}{x - 1}÷\frac{x - 2}{x + 2}$有意义，则$x$的取值范围是______.

1. 首先，根据分式有意义的条件：
对于分式$\frac{A}{B}$，$B\neq0$。
对于$\frac{x + 1}{x - 1}÷\frac{x - 2}{x + 2}$，先将除法转化为乘法，即$\frac{x + 1}{x - 1}÷\frac{x - 2}{x + 2}=\frac{x + 1}{x - 1}×\frac{x + 2}{x - 2}$（根据$a÷ b=a×\frac{1}{b}(b\neq0)$）。
2. 然后，分别考虑分母不为$0$的情况：
对于$\frac{x + 1}{x - 1}$，分母$x - 1\neq0$，即$x\neq1$；
对于$\frac{x + 2}{x - 2}$，分母$x - 2\neq0$，即$x\neq2$；
同时，在原式$\frac{x + 1}{x - 1}÷\frac{x - 2}{x + 2}$中，除式$\frac{x - 2}{x + 2}\neq0$，因为$\frac{x - 2}{x + 2}\neq0$等价于$x-2\neq0$且$x + 2\neq0$（若$\frac{A}{B}=0$，则$A = 0$且$B\neq0$，这里是$\frac{A}{B}\neq0$，则$A\neq0$且$B\neq0$），$x+2\neq0$即$x\neq - 2$。
所以$x$的取值范围是$x\neq\pm2$且$x\neq1$。

题型4 课堂上，老师给大家出了这样一道题：当$x = 3$，$5 - 2\sqrt{2}$，$7 + \sqrt{5}$时，求式子$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}÷\frac{2x - 2}{x + 1}$的值. 小明一看，说：“太复杂了，怎么算呢?”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程.

解：
$\begin{aligned}&\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}÷\frac{2x - 2}{x + 1}\\=&\frac{(x - 1)^2}{(x + 1)(x - 1)}÷\frac{2(x - 1)}{x + 1}\\=&\frac{x - 1}{x + 1}×\frac{x + 1}{2(x - 1)}\\=&\frac{1}{2}\end{aligned}$
因为化简后的式子$\frac{1}{2}$中不含有$x$，所以当$x = 3$，$5 - 2\sqrt{2}$，$7 + \sqrt{5}$时，原式的值均为$\frac{1}{2}$。