1. 化简$\frac{a^{2}-3a}{a - 3}$的结果是()
A.$-3$
B.$3$
C.$-a$
D.$a$

D

$\frac{a^{2}-3a}{a - 3}=\frac{a(a - 3)}{a - 3}=a$，答案选D。

2. 分式$\frac{x - 2}{(x - 1)^{2}}$,$\frac{2x - 3}{(1 - x)^{3}}$,$\frac{5}{x - 1}$的最简公分母为()
A.$(x - 1)^{2}$
B.$(x - 1)^{3}$
C.$x - 1$
D.$(x - 1)^{2}(x - 1)^{3}$

B

确定最简公分母的方法：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母。
对于分式$\frac{x - 2}{(x - 1)^{2}}$，分母为$(x - 1)^{2}$；
对于分式$\frac{2x - 3}{(1 - x)^{3}}$，因为$(1 - x)^{3}=-(x - 1)^{3}$，所以分母可化为$(x - 1)^{3}$；
对于分式$\frac{5}{x - 1}$，分母为$(x - 1)^{1}$。
各分母中$(x - 1)$的最高次幂是$3$，所以最简公分母为$(x - 1)^{3}$。
B

3. 按要求答题：
(1)约分：$\frac{6ab^{2}}{3a^{2}b}$。
(2)通分：$\frac{1}{m^{2}-9}$,$\frac{1}{2m + 6}$。

解:
(1)$\frac{6ab^{2}}{3a^{2}b}=\frac{2b}{a}$.
(2)$\frac{1}{m^{2}-9}=\frac{1}{(m+3)(m-3)}=\frac{2}{2(m+3)(m-3)}$,
$\frac{1}{2m+6}=\frac{1}{2(m+3)}=\frac{m-3}{2(m+3)(m-3)}$.

题型 1 写出下列各分式的分子与分母的公因式并约分。
(1)$\frac{-35a^{2}d}{20ab^{3}c}$；公因式是，约分结果为
(2)$\frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}+2xy + y^{2}}$；公因式是，约分结果为
(3)$\frac{8 - 2m}{m^{2}-16}$；公因式是，约分结果为

$(1)$ 求$\frac{-35a^{2}d}{20ab^{3}c}$的公因式并约分
- **步骤一：求公因式
分别对分子$-35a^{2}d$和分母$20ab^{3}c$分解因数：
$-35a^{2}d=-5×7× a× a× d$；
$20ab^{3}c = 5×4× a× b^{3}× c$。
所以分子与分母的公因式是$5a$。
- **步骤二：约分
根据分式的基本性质$\frac{A}{B}=\frac{A÷ C}{B÷ C}(C\neq0)$，对$\frac{-35a^{2}d}{20ab^{3}c}$进行约分：
$\frac{-35a^{2}d}{20ab^{3}c}=\frac{-35a^{2}d÷5a}{20ab^{3}c÷5a}=-\frac{7ad}{4b^{3}c}$。
$(2)$ 求$\frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}+2xy + y^{2}}$的公因式并约分
- **步骤一：对分子分母因式分解
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，对分子$y^{2}-x^{2}$因式分解得$y^{2}-x^{2}=(y + x)(y - x)$；
根据完全平方公式$(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2$，对分母$x^{2}+2xy + y^{2}$因式分解得$x^{2}+2xy + y^{2}=(x + y)^{2}$。
所以分子与分母的公因式是$(x + y)$。
- **步骤二：约分
根据分式的基本性质进行约分：
$\frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}+2xy + y^{2}}=\frac{(y + x)(y - x)}{(x + y)^{2}}=\frac{y - x}{x + y}$。
$(3)$ 求$\frac{8 - 2m}{m^{2}-16}$的公因式并约分
- **步骤一：对分子分母因式分解
先对分子$8 - 2m$提取公因式$-2$，得$8 - 2m=-2(m - 4)$；
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，对分母$m^{2}-16$因式分解得$m^{2}-16=(m + 4)(m - 4)$。
所以分子与分母的公因式是$(m - 4)$。
- **步骤二：约分
根据分式的基本性质进行约分：
$\frac{8 - 2m}{m^{2}-16}=\frac{-2(m - 4)}{(m + 4)(m - 4)}=-\frac{2}{m + 4}$。
综上，$(1)$公因式是$5a$，约分结果为$-\frac{7ad}{4b^{3}c}$；$(2)$公因式是$(x + y)$，约分结果为$\frac{y - x}{x + y}$；$(3)$公因式是$(m - 4)$，约分结果为$-\frac{2}{m + 4}$。

题型 2 分式$\frac{a}{a^{2}-2ab + b^{2}}$,$\frac{b}{a^{2}-b^{2}}$,$\frac{b^{2}}{a^{2}+2ab + b^{2}}$的最简公分母是( )
A.$(a + b)^{2}(a - b)$
B.$(a - b)^{2}(a + b)$
C.$(a + b)^{2}(a - b)^{2}$
D.$(a + b)^{2}(a - b)^{2}(a^{2}-b^{2})$

解：先对各分母因式分解：
$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$；
$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$；
$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$。
取各分母系数的最小公倍数（这里系数都是$1$），相同字母取最高次幂，得到最简公分母为$(a + b)^{2}(a - b)^{2}$。
答案选C。

题型 3 通分：(1)$\frac{y}{2x^{2}}$,$\frac{5}{6xy^{2}z}$,$\frac{4c}{3xy}$；
(2)$\frac{1}{x^{2}+x}$,$\frac{1}{x^{2}-x}$；(3)$\frac{1}{x^{2}+x}$,$\frac{-1}{x^{2}+2x + 1}$。

1. （1）
首先，确定最简公分母：
对于$\frac{y}{2x^{2}}$，$\frac{5}{6xy^{2}z}$，$\frac{4c}{3xy}$，分母分别为$2x^{2}$，$6xy^{2}z = 2×3× x× y^{2}× z$，$3xy$。
取各分母系数的最小公倍数$6$，$x$的最高次幂$x^{2}$，$y$的最高次幂$y^{2}$，$z$的最高次幂$z$，则最简公分母为$6x^{2}y^{2}z$。
然后，进行通分：
$\frac{y}{2x^{2}}=\frac{y\cdot3y^{2}z}{2x^{2}\cdot3y^{2}z}=\frac{3y^{3}z}{6x^{2}y^{2}z}$；
$\frac{5}{6xy^{2}z}=\frac{5\cdot x}{6xy^{2}z\cdot x}=\frac{5x}{6x^{2}y^{2}z}$；
$\frac{4c}{3xy}=\frac{4c\cdot2xy z}{3xy\cdot2xy z}=\frac{8cxy z}{6x^{2}y^{2}z}$。
2. （2）
先对分母因式分解：
$x^{2}+x=x(x + 1)$，$x^{2}-x=x(x - 1)$。
则最简公分母为$x(x + 1)(x - 1)$。
再通分：
$\frac{1}{x^{2}+x}=\frac{1}{x(x + 1)}=\frac{x - 1}{x(x + 1)(x - 1)}$；
$\frac{1}{x^{2}-x}=\frac{1}{x(x - 1)}=\frac{x + 1}{x(x + 1)(x - 1)}$。
3. （3）
先对分母因式分解：
$x^{2}+x=x(x + 1)$，$x^{2}+2x + 1=(x + 1)^{2}$。
则最简公分母为$x(x + 1)^{2}$。
然后通分：
$\frac{1}{x^{2}+x}=\frac{1}{x(x + 1)}=\frac{x + 1}{x(x + 1)^{2}}$；
$\frac{-1}{x^{2}+2x + 1}=\frac{-1}{(x + 1)^{2}}=\frac{-x}{x(x + 1)^{2}}$。
综上，（1）通分结果为$\frac{3y^{3}z}{6x^{2}y^{2}z}$，$\frac{5x}{6x^{2}y^{2}z}$，$\frac{8cxy z}{6x^{2}y^{2}z}$；（2）通分结果为$\frac{x - 1}{x(x + 1)(x - 1)}$，$\frac{x + 1}{x(x + 1)(x - 1)}$；（3）通分结果为$\frac{x + 1}{x(x + 1)^{2}}$，$\frac{-x}{x(x + 1)^{2}}$。

题型 4 小明说分式$\frac{x - 1}{(x - 1)(x - 3)}与分式\frac{1}{x - 3}$完全相同,你认为他说得正确吗？请说明理由。

解：小明说得不正确。
对于分式$\frac{x - 1}{(x - 1)(x - 3)}$，其分母$(x - 1)(x - 3)\neq0$，即$x\neq1$且$x\neq3$。
对于分式$\frac{1}{x - 3}$，其分母$x - 3\neq0$，即$x\neq3$。
两个分式的定义域不同，所以它们不完全相同。