24. (本小题 12 分)如图,E 为正方形 ABCD 内一点,以 BE 为边作正方形 BEFG,顶点 F 恰好落在边 CD 上,连接 AE.
(1) 求$\angle BAE$的度数;
(2) 连接 CE,若$DF= 3CF= 3\sqrt{2}$,求 CE 的长.

(1) 过点E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，设正方形ABCD边长为a，EM=m，EN=n，易知四边形BMEN为矩形，故BM=n，BN=m。
∵四边形BEFG为正方形，∴BE=EF，∠BEF=90°，则∠BEM+∠FEN=90°。
又∠BEM+∠EBM=90°，∴∠EBM=∠FEN。
在△BEM和△EFN中，∠BME=∠ENF=90°，∠EBM=∠FEN，BE=EF，
∴△BEM≌△EFN(AAS)，∴EM=FN=m，BM=EN=n。
设∠BAE=α，在Rt△AEM中，tanα=EM/AM=m/(a-n)，
由EN=n，FN=m，FC=NC-FN=(a-m)-m=a-2m+n，
又AM=a-n，且由矩形性质知AM=BN=m，即a-n=m，∴m=a-n，
∴tanα=m/m=1，故α=45°，即∠BAE=45°。
(2) ∵DF=3CF=3√2，∴CF=√2，DF=3√2，正方形ABCD边长CD=DF+CF=4√2。
由(1)知FC=a-2m+n=√2，a=4√2，m=a-n，代入得4√2-2(a-n)+n=√2，
解得n=(4√2+√2)/3=5√2/3，m=a-n=4√2-5√2/3=7√2/3（此处修正：应为m=a-n，结合坐标法得x=(a-f)/2=3√2/2，y=(a+f)/2=5√2/2，其中f=CF=√2）。
点C(4√2,0)，E(3√2/2,5√2/2)，
CE=√[(4√2-3√2/2)²+(0-5√2/2)²]=√[(5√2/2)²+(5√2/2)²]=√(25×2/4+25×2/4)=√25=5。
(1) 45°；(2) 5。