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1. 如图,D,E 分别是△ABC 的边 AB,AC 上的点,∠ADE= ∠ACB.若 AD= 2,AB= 6,AC= 4,则 AE 的长是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C
解析
由题意，$\angle ADE = \angle ACB$，$\angle A$是公共角，
根据相似三角形的判定定理，如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似，
所以$\triangle ADE \sim \triangle ACB$。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，即：
$\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$，
代入已知条件 $AD = 2$，$AB = 6$，$AC = 4$，得：
$\frac{2}{4} = \frac{AE}{6}$，
解这个方程，得到：
$AE = 3$。
根据相似三角形的判定定理，如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似，
所以$\triangle ADE \sim \triangle ACB$。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，即：
$\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$，
代入已知条件 $AD = 2$，$AB = 6$，$AC = 4$，得：
$\frac{2}{4} = \frac{AE}{6}$，
解这个方程，得到：
$AE = 3$。
2. 如图,∠1= ∠2,DE//AC,则图中的相似三角形有 (
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
B
)A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
答案
B
解析
∵DE//AC，∴∠BED=∠BAC，∠BDE=∠BCA，∴△BDE∽△BCA（AA）；
∵DE//AC，∴∠EDA=∠CAD（内错角），又∠1=∠2，设∠1=∠BAD，∠2=∠ACD，则∠BAD=∠ACD，在△ABD和△CBA中，∠B=∠B，∠BAD=∠BCA，∴△ABD∽△CBA（AA）；
∵△ABD∽△CBA，∴∠ADB=∠BAC，又∠BED=∠BAC（由DE//AC得），∴∠ADB=∠BED，在△BED和△BDA中，∠B=∠B，∠BED=∠BDA，∴△BED∽△BDA（AA）。
综上，共有3对相似三角形。
∵DE//AC，∴∠EDA=∠CAD（内错角），又∠1=∠2，设∠1=∠BAD，∠2=∠ACD，则∠BAD=∠ACD，在△ABD和△CBA中，∠B=∠B，∠BAD=∠BCA，∴△ABD∽△CBA（AA）；
∵△ABD∽△CBA，∴∠ADB=∠BAC，又∠BED=∠BAC（由DE//AC得），∴∠ADB=∠BED，在△BED和△BDA中，∠B=∠B，∠BED=∠BDA，∴△BED∽△BDA（AA）。
综上，共有3对相似三角形。
3. 如图,点 C 在∠AOB 的内部,∠OCA= ∠OCB,∠OCA 与∠AOB 互补.若AC= 1.5,BC= 2,则 OC 的长为
√3
.答案
√3
解析
设∠OCA=∠OCB=α，∵∠OCA与∠AOB互补，∴∠AOB=180°-α。
在△OCA中，∠OAC+∠AOC=180°-α；在△OCB中，∠COB+∠OBC=180°-α。
∵∠AOB=∠AOC+∠COB=180°-α，∴∠OAC=∠COB，∠AOC=∠OBC。
∴△OCA∽△BCO（AA）。
∴AC/OC=OC/BC，即OC²=AC·BC=1.5×2=3，∴OC=√3。
在△OCA中，∠OAC+∠AOC=180°-α；在△OCB中，∠COB+∠OBC=180°-α。
∵∠AOB=∠AOC+∠COB=180°-α，∴∠OAC=∠COB，∠AOC=∠OBC。
∴△OCA∽△BCO（AA）。
∴AC/OC=OC/BC，即OC²=AC·BC=1.5×2=3，∴OC=√3。
