例 2 如图,已知 $ \triangle ABC $。
(1)用尺规作图方法作 $ AC $ 的垂直平分线 $ MN $,交 $ AB $ 于点 $ E $,交 $ AC $ 于点 $ D $,连接 $ CE $；(保留作图痕迹,不写作法)
(2)若 $ AD = 7 $,$ \triangle BCE $ 周长为 25,求 $ \triangle ABC $ 的周长。

名师导引 应用尺规作图时,要认真分析题意,结合几何图形,将问题转化为基本作图。

(2) 39

(1) 作图痕迹如图所示（保留作图痕迹）。
(2) ∵ MN 是 AC 的垂直平分线，
∴ CE = AE，AD = CD = 7，
∴ AC = AD + CD = 14。
∵ △BCE 周长为 25，
∴ BC + CE + BE = 25，
又∵ CE = AE，
∴ BC + AE + BE = BC + AB = 25，
∴ △ABC 周长 = AB + BC + AC = 25 + 14 = 39。

变式训练 如图,已知 $ \triangle ABC $,$ P $ 为边 $ BC $ 上一点($ BP ＜ AB $),请用尺规作图的方法在边 $ AB $ 上求作一点 $ Q $,使 $ PQ + BQ = AB $。(保留作图痕迹,不写作法)

（作图痕迹如下：连接AP；分别以A、P为圆心，大于$\frac{1}{2}AP$长为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线交AB于点Q），点Q即为所求。

1. 在巴黎奥运会射击混合团体 10 米气步枪比赛中,中国选手夺得本届奥运会的首枚金牌。如图是巴黎奥运会射击项目图标,这个图案的对称轴的条数为()

A.6
B.4
C.2
D.1

D（错误，正确答案为）B

该图案由一个圆环和一个内接正方形（隐含在图标设计中，通过中心的小正方形和周围的辐射线可判断对称性）组成，圆环本身有无数条对称轴（任何经过圆心的直线），但由于内部正方形的限制，对称轴需要同时满足圆环和正方形的对称性，因此，只有经过圆心且同时平分正方形对边的直线或对角线才是整个图案的对称轴，这样的直线有4条（两条对角线，以及两条平分正方形对边中点的垂直线）。

2. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,分别以点 $ A $,$ C $ 为圆心,大于 $ \frac{1}{2}AC $ 长为半径画弧,两弧相交于点 $ D $,$ E $,作直线 $ DE $ 与 $ BC $ 交于点 $ F $,连接 $ AF $。若 $ AB = 6 $,$ BC = 7 $,则 $ \triangle ABF $ 的周长为()

A.13
B.14
C.15
D.16

A

根据题意，直线$DE$是线段$AC$的垂直平分线，
因为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
所以，$AF = CF$，
因此，$\triangle ABF$的周长为：
$AB + BF + AF = AB + BF + CF = AB + BC$，
已知$AB = 6$，$BC = 7$，
所以$\triangle ABF$的周长为：$6 + 7 = 13$。

3. 如图,$ P $ 是 $ \angle ACB $ 外一点,$ D $,$ E $ 分别是 $ \angle ACB $ 两边上的点,点 $ P $ 关于 $ CA $ 的对称点 $ P_1 $ 恰好落在线段 $ ED $ 上,点 $ P $ 关于 $ CB $ 的对称点 $ P_2 $ 落在 $ ED $ 的延长线上。若 $ PE = 24 $,$ PD = 32 $,$ ED = 37 $,则线段 $ P_1P_2 $ 的长为。

45

∵点P关于CA的对称点为P₁，∴CA垂直平分PP₁，E在CA上，故PE=P₁E=24（垂直平分线性质）。
∵P₁在线段ED上，ED=37，∴P₁D=ED-P₁E=37-24=13。
∵点P关于CB的对称点为P₂，∴CB垂直平分PP₂，D在CB上，故PD=P₂D=32（垂直平分线性质）。
∵P₂在ED的延长线上，∴P₁P₂=P₁D+P₂D=13+32=45。

4. (1)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,用尺规作 $ \angle ABC $ 的平分线 $ BD $ 与 $ AC $ 的垂直平分线 $ l $ 交于点 $ D $；(只保留作图痕迹)
(2)在(1)所作的图形中,连接 $ DA $,$ DC $,若 $ DC = AB $,探究 $ DA $ 与 $ BC $ 的位置关系,并说明理由。
请补全下面的解题过程：
解：$ DA // BC $。理由如下：

$ \because BD $ 平分 $ \angle ABC $,
$ \therefore $。
$ \because l $ 是 $ AC $ 的垂直平分线,
$ \therefore $。
$ \because DC = AB $,
$ \therefore $。
$ \therefore \angle ADB = \angle ABD $。
$ \therefore $。
$ \therefore AD // BC $。

（1）略（根据描述作图：先用尺规作$\angle ABC$的角平分线$BD$，再作$AC$的垂直平分线$l$，两者交点为$D$）
（2）解：$DA// BC$，理由如下：
$\because BD$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle ABD = \angle CBD$。
$\because l$是$AC$的垂直平分线，
$\therefore DA = DC$。
$\because DC = AB$，
$\therefore DA = AB$。
$\therefore\angle ADB = \angle ABD$。
$\therefore\angle ADB = \angle CBD$。
$\therefore AD// BC$。
故答案为$\angle ABD = \angle CBD$；$DA = DC$；$DA = AB$；$\angle ADB = \angle CBD$。