3. 如图,点 $O$ 是直线 $AB$ 上一点,$\angle AOE= \angle FOD = 90^{\circ}$,$OB$ 平分 $\angle DOC$,图中 $\angle AOD$ 的补角有()

A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个

C

∵点O在直线AB上，∴∠AOB=180°，即∠AOD+∠DOB=180°，故∠DOB是∠AOD的补角.
∵OB平分∠DOC，∴∠DOB=∠BOC，∴∠AOD+∠BOC=180°，故∠BOC是∠AOD的补角.
∵∠AOE=∠FOD=90°，∴∠AOF+∠FOE=90°，∠FOE+∠EOD=90°，∴∠AOF=∠EOD（同角的余角相等）.设∠AOF=∠EOD=β，则∠FOE=90°-β，∠AOD=∠AOE+∠EOD=90°+β，∴∠AOD+∠FOE=（90°+β）+（90°-β）=180°，故∠FOE是∠AOD的补角.
综上，∠AOD的补角有∠DOB、∠BOC、∠FOE，共3个.

4. 有下列结论：①互余且相等的两个角都是 $45^{\circ}$；②同角的余角相等；③若 $\angle 1+\angle 2+\angle 3 = 180^{\circ}$,则 $\angle 1$,$\angle 2$,$\angle 3$ 互为补角；④钝角没有补角；⑤锐角的补角比其余角大 $90^{\circ}$。其中正确的个数为()
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

B

①设两角为∠α、∠β，互余则∠α+∠β=90°，相等则∠α=∠β，故∠α=∠β=45°，正确；②同角的余角相等，正确；③补角是两个角的关系，三个角不能互为补角，错误；④钝角与锐角的和可为180°，如100°的补角是80°，错误；⑤设锐角为∠α，补角为180°-∠α，余角为90°-∠α，补角-余角=(180°-∠α)-(90°-∠α)=90°，正确。正确的有①②⑤，共3个。

5. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,使 $A$ 到 $A'$,$C$ 到 $C'$,且点 $B$,$C'$,$A'$ 恰好在同一条直线上。$BD$,$BE$ 均为折痕。若 $\angle ABE = 30^{\circ}$,则 $\angle DBC$ 的度数为。

$60^{\circ}$（题目为填空题，这里按照要求答案填入格式应为对应数值，由于是填空题不存在选项，这里按要求应填$60^{\circ}$对应的无选项形式，本题可理解为填数字相关，答案填$60$ ）

由于$BD$，$BE$为折痕，且点$B,C^{\prime},A^{\prime}$在同一条直线上，
根据折叠的性质，可得$\angle A^{\prime}BE = \angle ABE = 30^{\circ}$，$\angle CBD = \angle DBC^{\prime}$。
因为$\angle A^{\prime}BE + \angle ABE + \angle CBD + \angle DBC^{\prime}= 180^{\circ}$（平角的定义），
将$\angle A^{\prime}BE = \angle ABE = 30^{\circ}$，$\angle CBD = \angle DBC^{\prime}$代入上式可得：
$30^{\circ}+30^{\circ}+2\angle DBC = 180^{\circ}$，
$2\angle DBC = 180^{\circ}- 60^{\circ}$，
$2\angle DBC = 120^{\circ}$，
$\angle DBC = 60^{\circ}$。

6. 如果 $\angle AOB = 80^{\circ}$,以 $OA$ 为边画 $\angle AOC = 42^{\circ}$,则 $\angle BOC$ 的度数为。

$38^{\circ}$或$122^{\circ}$（按照题目要求若为填空题直接填写“$38^{\circ}$或$122^{\circ}$”）

本题可根据角的不同位置关系分情况讨论来求解$\angle BOC$的度数。
已知$\angle AOB = 80^{\circ}$，以$OA$为边画$\angle AOC = 42^{\circ}$，此时需要分$\angle AOC$在$\angle AOB$内部和$\angle AOC$在$\angle AOB$外部两种情况进行计算。
情况一：当$\angle AOC$在$\angle AOB$内部时
此时$\angle BOC$的度数等于$\angle AOB$的度数减去$\angle AOC$的度数，即$\angle BOC=\angle AOB - \angle AOC = 80^{\circ} - 42^{\circ} = 38^{\circ}$。
情况二：当$\angle AOC$在$\angle AOB$外部时
此时$\angle BOC$的度数等于$\angle AOB$的度数加上$\angle AOC$的度数，即$\angle BOC=\angle AOB + \angle AOC = 80^{\circ} + 42^{\circ} = 122^{\circ}$。
综上，$\angle BOC$的度数为$38^{\circ}$或$122^{\circ}$。

7. 如图,$OB$ 是 $\angle AOC$ 的平分线,$OD$ 是 $\angle COE$ 的平分线。
(1)若 $\angle AOB = 40^{\circ}$,$\angle DOE = 30^{\circ}$,求 $\angle BOD$ 的度数；
(2)若 $\angle AOD$ 与 $\angle BOD$ 互补,且 $\angle DOE = 33^{\circ}$,求 $\angle AOC$ 的度数。

(1)因为$OB$是$\angle AOC$的平分线，$\angle AOB = 40^{\circ}$，所以$\angle BOC=\angle AOB = 40^{\circ}$。
因为$OD$是$\angle COE$的平分线，$\angle DOE = 30^{\circ}$，所以$\angle COD=\angle DOE = 30^{\circ}$。
所以$\angle BOD=\angle BOC+\angle COD = 40^{\circ}+30^{\circ}=70^{\circ}$。
(2)设$\angle AOC = 2x$，因为$OB$是$\angle AOC$的平分线，则$\angle AOB=\angle BOC = x$。
因为$OD$是$\angle COE$的平分线，$\angle DOE = 33^{\circ}$，所以$\angle COD=\angle DOE = 33^{\circ}$。
所以$\angle BOD=\angle BOC+\angle COD=x + 33^{\circ}$，$\angle AOD=\angle AOB+\angle BOC+\angle COD=x+x + 33^{\circ}=2x+33^{\circ}$。
因为$\angle AOD$与$\angle BOD$互补，所以$\angle AOD+\angle BOD = 180^{\circ}$，即$(2x + 33^{\circ})+(x + 33^{\circ})=180^{\circ}$。
$3x+66^{\circ}=180^{\circ}$，$3x=114^{\circ}$，解得$x = 38^{\circ}$。
所以$\angle AOC = 2x = 76^{\circ}$。
综上，答案为：(1)$70^{\circ}$；(2)$76^{\circ}$。

8. 已知射线 $OC$ 在 $\angle AOB$ 的内部。
(1)如图 1,若已知 $\angle AOC = 2\angle BOC$,$\angle AOB$ 的补角比 $\angle BOC$ 的余角大 $30^{\circ}$。
①求 $\angle AOB$ 的度数；
②过点 $O$ 作射线 $OD$,使得 $\angle AOC = 3\angle AOD$,求出 $\angle COD$ 的度数。
(2)如图 2,若在 $\angle AOB$ 的内部作 $\angle DOC$,$OE$,$OF$ 分别为 $\angle AOD$ 和 $\angle COB$ 的平分线。则 $\angle AOB$、$\angle DOC$、$\angle EOF$ 有什么数量关系？请说明理由。

(1)①90°；②40°或80°；(2)∠AOB+∠DOC=2∠EOF。

(1)①设∠BOC=x，则∠AOC=2x，∠AOB=3x。
∠AOB的补角为180°-3x，∠BOC的余角为90°-x。
由题意得：(180°-3x)-(90°-x)=30°，
解得x=30°，∠AOB=3x=90°。
②由①知∠AOC=60°，∠AOC=3∠AOD，∴∠AOD=20°。
当OD在∠AOC内部时，∠COD=∠AOC-∠AOD=60°-20°=40°；
当OD在∠AOC外部时，∠COD=∠AOC+∠AOD=60°+20°=80°。
故∠COD=40°或80°。
(2)∠AOB+∠DOC=2∠EOF。
理由：设∠AOD=2α，∠COB=2β，∠DOC=γ，
则OE平分∠AOD得∠EOD=α，OF平分∠COB得∠COF=β。
∠AOB=2α+γ+2β，∠EOF=α+γ+β。
∴2∠EOF=2α+2γ+2β=∠AOB+γ，即∠AOB+∠DOC=2∠EOF。

例1 围成下列几何体的各个面中,含有曲的面的是.

②③

①是正方体，所有面都是平面；②是球，整个面是曲面；③是圆锥，侧面是曲面，底面是平面；④是棱柱，所有面都是平面。含有曲面的是②③。