同分母分式相加减：$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$；
异分母分式相加减：
$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} \pm $$ = \frac{ad \pm bc}{bd}$.
思考 分式与整式相加减怎么通分？
填空 $\frac{m^{2}}{m + 1} - m + 1 = \frac{m^{2}}{m + 1} - \frac{( )}{1} = \frac{m^{2}}{m + 1} - \frac{( )}{m + 1}$.

$\frac{bc}{bd}$；$m - 1$；$m^{2} - 1$

异分母分式相加减：$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} \pm \frac{bc}{bd} = \frac{ad \pm bc}{bd}$；
$\frac{m^{2}}{m + 1} - m + 1 = \frac{m^{2}}{m + 1} - \frac{(m - 1)}{1} = \frac{m^{2}}{m + 1} - \frac{(m^{2} - 1)}{m + 1}$

例1 计算：
(1)$\frac{m^{2}}{n - m} + \frac{n^{2}}{m - n}$；(2)$\frac{3m}{2m - y} + \frac{m + y}{y - 2m}$；
(3)$\frac{3x}{(x - 1)^{2}} - \frac{3}{(1 - x)^{2}}$；(4)$\frac{4}{a^{2} - 16} + \frac{a}{16 - a^{2}}$.

（1）计算$\frac{a + 2b}{a^{2} - b^{2}}+\frac{2a + b}{a^{2} - b^{2}}$
解：
根据同分母分式加法法则$\frac{A}{C}+\frac{B}{C}=\frac{A + B}{C}$（$C\neq0$），这里$C = a^{2}-b^{2}$，$A=a + 2b$，$B = 2a + b$。
$\begin{aligned}\frac{a + 2b}{a^{2} - b^{2}}+\frac{2a + b}{a^{2} - b^{2}}&=\frac{(a + 2b)+(2a + b)}{a^{2}-b^{2}}\\&=\frac{a + 2b+2a + b}{(a + b)(a - b)}\\&=\frac{3a + 3b}{(a + b)(a - b)}\\&=\frac{3(a + b)}{(a + b)(a - b)}\\&=\frac{3}{a - b}\end{aligned}$
（2）计算$\frac{a + 2b}{a - b}-\frac{a}{a - b}-\frac{b}{b - a}$
解：
先将$\frac{b}{b - a}$变形为$-\frac{b}{a - b}$，则原式$=\frac{a + 2b}{a - b}-\frac{a}{a - b}+\frac{b}{a - b}$。
再根据同分母分式加减法法则$\frac{A}{C}\pm\frac{B}{C}\pm\frac{D}{C}=\frac{A\pm B\pm D}{C}$（$C\neq0$），这里$C = a - b$，$A=a + 2b$，$B = a$，$D = b$。
$\begin{aligned}\frac{a + 2b}{a - b}-\frac{a}{a - b}+\frac{b}{a - b}&=\frac{(a + 2b)-a + b}{a - b}\\&=\frac{a + 2b-a + b}{a - b}\\&=\frac{3b}{a - b}\end{aligned}$
综上，答案依次为：（1）$\boldsymbol{\frac{3}{a - b}}$；（2）$\boldsymbol{\frac{3b}{a - b}}$。

(1) $\frac{a + 2b}{a^{2} - b^{2}} + \frac{2a + b}{a^{2} - b^{2}}$
$=\frac{(a + 2b) + (2a + b)}{a^{2} - b^{2}}$
$=\frac{3a + 3b}{(a + b)(a - b)}$
$=\frac{3(a + b)}{(a + b)(a - b)}$
$=\frac{3}{a - b}$
(2) $\frac{a + 2b}{a - b} - \frac{a}{a - b} - \frac{b}{b - a}$
$=\frac{a + 2b}{a - b} - \frac{a}{a - b} + \frac{b}{a - b}$
$=\frac{(a + 2b) - a + b}{a - b}$
$=\frac{3b}{a - b}$

变式训练 计算：
(1)$\frac{a + 2b}{a^{2} - b^{2}} + \frac{2a + b}{a^{2} - b^{2}}$；(2)$\frac{a + 2b}{a - b} - \frac{a}{a - b} - \frac{b}{b - a}$.

1. （1）
解：
对于$\frac{a + 2b}{a^{2}-b^{2}}+\frac{2a + b}{a^{2}-b^{2}}$，根据同分母分式加法法则$\frac{A}{C}+\frac{B}{C}=\frac{A + B}{C}(C\neq0)$，这里$A=a + 2b$，$B=2a + b$，$C=a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$。
则$\frac{a + 2b}{a^{2}-b^{2}}+\frac{2a + b}{a^{2}-b^{2}}=\frac{(a + 2b)+(2a + b)}{a^{2}-b^{2}}$。
对分子进行化简：$(a + 2b)+(2a + b)=a+2b + 2a + b=3a + 3b=3(a + b)$。
所以$\frac{3(a + b)}{a^{2}-b^{2}}=\frac{3(a + b)}{(a + b)(a - b)}$（$a\neq\pm b$）。
约分可得$\frac{3}{a - b}$。
2. （2）
解：
对于$\frac{a + 2b}{a - b}-\frac{a}{a - b}-\frac{b}{b - a}$，先将$-\frac{b}{b - a}$变形为$\frac{b}{a - b}$（因为$-\frac{b}{b - a}=-\frac{b}{-(a - b)}=\frac{b}{a - b}$）。
则原式$=\frac{a + 2b}{a - b}-\frac{a}{a - b}+\frac{b}{a - b}$。
根据同分母分式加减法法则$\frac{A}{C}\pm\frac{B}{C}\pm\frac{D}{C}=\frac{A\pm B\pm D}{C}(C\neq0)$，这里$A=a + 2b$，$B = a$，$D = b$，$C=a - b$。
分子$(a + 2b)-a + b=a + 2b - a + b=3b$。
所以$\frac{a + 2b}{a - b}-\frac{a}{a - b}-\frac{b}{b - a}=\frac{3b}{a - b}$（$a\neq b$）。
综上，（1）的结果是$\frac{3}{a - b}(a\neq\pm b)$；（2）的结果是$\frac{3b}{a - b}(a\neq b)$。

例2 计算：
(1)$\frac{1}{3a^{2}b} + \frac{2}{5ab^{2}}$；(2)$\frac{1}{x - 3y} + \frac{1}{x + 3y}$；
(3)$\frac{1}{x^{2} + xy} - \frac{y}{2x + 2y}$；(4)$\frac{(a - b)^{2}}{a + b} - a + b$.
名师导引 通分时一般要先对分母分解因式,从而找出最简公分母.
变式训练 计算：
(1)$\frac{2m - n}{n - m} + \frac{m}{m - n} + \frac{n}{2n - 2m}$；
(2)$\frac{3}{x} - \frac{6}{1 - x} - \frac{x + 5}{x^{2} - x}$.

(1)$\frac{n - 2m}{2(m - n)}$；(2)$\frac{8}{x}$

(1) $\frac{2m - n}{n - m} + \frac{m}{m - n} + \frac{n}{2n - 2m}$
$=\frac{2m - n}{-(m - n)} + \frac{m}{m - n} + \frac{n}{2(n - m)}$
$=-\frac{2m - n}{m - n} + \frac{m}{m - n} - \frac{n}{2(m - n)}$
$=-\frac{2(2m - n)}{2(m - n)} + \frac{2m}{2(m - n)} - \frac{n}{2(m - n)}$
$=\frac{-4m + 2n + 2m - n}{2(m - n)}$
$=\frac{-2m + n}{2(m - n)}$
$=\frac{n - 2m}{2(m - n)}$
(2) $\frac{3}{x} - \frac{6}{1 - x} - \frac{x + 5}{x^2 - x}$
$=\frac{3}{x} + \frac{6}{x - 1} - \frac{x + 5}{x(x - 1)}$
$=\frac{3(x - 1)}{x(x - 1)} + \frac{6x}{x(x - 1)} - \frac{x + 5}{x(x - 1)}$
$=\frac{3x - 3 + 6x - x - 5}{x(x - 1)}$
$=\frac{8x - 8}{x(x - 1)}$
$=\frac{8(x - 1)}{x(x - 1)}$
$=\frac{8}{x}$

1. 计算$\frac{a}{(a - 1)^{2}} - \frac{1}{(a - 1)^{2}}$的结果是()
A.$a - 1$
B.$\frac{a - 1}{(a - 1)^{2}}$
C.$\frac{1}{a + 1}$
D.$\frac{1}{a - 1}$

D

原式为同分母分式相减，根据同分母分式的加减法法则，分母不变，分子相减，
即：$\frac{a}{(a - 1)^{2}} - \frac{1}{(a - 1)^{2}} = \frac{a - 1}{(a - 1)^{2}}$，
对结果进行约分，分子分母都含有$a-1$的因子，约去后得到：$\frac{1}{a - 1}$。

2. 计算$\frac{4x}{x - y} + \frac{4y}{y - x}$的结果是()
A.$-4$
B.$4$
C.$1$
D.$4x + 4y$

B

首先注意到第二个分数的分母$y - x$可以转化为$-(x - y)$，因此原式可以写为：
$\frac{4x}{x - y} - \frac{4y}{x - y}$
接着，将两个分数合并为一个分数，得到：
$\frac{4x - 4y}{x - y}$
然后，将分子进行因式分解，得到：
$\frac{4(x - y)}{x - y}$
最后，由于分子和分母相同（除了零的情况，即$x \neq y$），可以简化为4。

3. 已知$m$,$n$,$x$,$y$都是正实数,且$\frac{m}{n} ＜ \frac{x}{y}$,若$B = \frac{n}{m + n}$,$C = \frac{y}{x + y}$,则$B与C$的大小关系是()
A.$B ＞ C$
B.$B \geq C$
C.$B ＜ C$
D.$B \leq C$

A

因为$m,n,x,y$是正实数，且$\frac{m}{n} ＜ \frac{x}{y}$，所以$my ＜ nx$。
计算$B - C$：
$\begin{aligned}B - C&=\frac{n}{m + n} - \frac{y}{x + y}\\&=\frac{n(x + y) - y(m + n)}{(m + n)(x + y)}\\&=\frac{nx + ny - my - ny}{(m + n)(x + y)}\\&=\frac{nx - my}{(m + n)(x + y)}\end{aligned}$
因为$nx - my ＞ 0$（由$my ＜ nx$得），且$(m + n)(x + y) ＞ 0$，所以$B - C ＞ 0$，即$B ＞ C$。