变式训练
(2023 祁东期末) 某校要围一个矩形花圃,花圃的一边利用原有足够长的墙,另三边用总长为 36 米的篱笆恰好围成,如图。设矩形的一边 $ AB $ 长为 $ x $ 米,且 $ AB ＜ BC $,矩形 $ ABCD $ 的面积为 $ S $ 平方米。
(1) 求 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数关系式,及 $ x $ 的取值范围；
(2) 求 $ S $ 的最大值,及此时 $ AB $ 边的长。

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(1)$S = - 2x^{2}+36x$，$0＜x＜12$；
(2)$S$最大值为$162$，此时$AB$边长为$9$。

(1)设$AB$长为$x$米，因为$AB＜BC$，且三边总长为$36$米，那么$BC = 36 - 2x$米。
根据矩形面积公式$S = AB× BC$，可得$S=x(36 - 2x)=-2x^{2}+36x$。
又因为$AB＞0$，$BC＞0$且$AB ＜ BC$，即$\begin{cases}x＞0\\36 - 2x＞0\\x＜36 - 2x\end{cases}$
解$36 - 2x＞0$得$x ＜ 18$；解$x＜36 - 2x$得$x＜12$。
所以$x$的取值范围是$0＜x＜12$。
(2)对于二次函数$S=-2x^{2}+36x$，其中$a=-2$，$b = 36$，$c = 0$。
根据二次函数性质，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{36}{2×(-2)} = 9$时，$S$有最大值。
把$x = 9$代入$S=-2x^{2}+36x$，得$S=-2×9^{2}+36×9=-162 + 324=162$。

例 2 (2024 荆州模拟) 某电商平台在元旦期间打折促销,经市场调查发现,某商品的周销售量 $ y $(件)是关于售价 $ x $(元/件)的一次函数,下表列出了该商品的售价 $ x $,周销售量 $ y $,周销售利润 $ W $(元)的三组数据。
| $ x $ | 40 | 70 | 90 |
| $ y $ | 240 | 120 | 40 |
| $ W $ | 4800 | 6000 | 2800 |

(1) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2) 若该商品进价为 $ a $ 元/件,则售价 $ x $ 为多少时,周销售利润 $ W $ 最大？并求出此时的最大利润；
(3) 后来,该商品进价提高了 $ m $ 元/件($ m ＞ 0 $),公司为回馈消费者,规定该商品售价不得超过 55 元/件,且该商品在今后的销售中,周销售量与售价仍满足 (1) 中的函数关系,若周销售最大利润是 5400 元,求 $ m $ 的值。

(1) $ y = -4x + 400 $；(2) 售价 60 元时，最大利润 6400 元；(3) $ m = 5 $。

(1) 设 $ y = kx + b $，将 $ (40, 240) $ 和 $ (70, 120) $ 代入得：
$\begin{cases} 40k + b = 240 \\ 70k + b = 120 \end{cases}$
解得 $ k = -4 $，$ b = 400 $，故 $ y = -4x + 400 $。
(2) 由 $ W = (x - a)y $，当 $ x = 40 $，$ y = 240 $，$ W = 4800 $，得 $ 4800 = (40 - a) × 240 $，解得 $ a = 20 $。
则 $ W = (x - 20)(-4x + 400) = -4x^2 + 480x - 8000 $，对称轴 $ x = -\frac{480}{2 × (-4)} = 60 $。
当 $ x = 60 $ 时，$ W_{max} = -4 × 60^2 + 480 × 60 - 8000 = 6400 $。
(3) 进价为 $ 20 + m $，则 $ W = (x - 20 - m)(-4x + 400) $，对称轴 $ x = 60 + 0.5m $。
因 $ x \leq 55 $ 且对称轴 $ x = 60 + 0.5m ＞ 60 ＞ 55 $，故 $ x = 55 $ 时 $ W $ 最大。
代入 $ x = 55 $，$ W = 5400 $：$ (55 - 20 - m)(-4 × 55 + 400) = 5400 $
即 $ (35 - m) × 180 = 5400 $，解得 $ m = 5 $。

变式训练
(2024 楚雄二模) 某企业设计了一款旅游纪念工艺品,每件的成本价是 60 元,为了合理定价,现投放市场进行试销。据市场调查发现,当销售单价是 100 元/件时,每天的销售量是 80 件,若销售单价每降低 1 元,每天就可多售出 4 件,但要求销售单价不得低于成本。
(1) 写出每天的销售利润 $ y $(元)与销售单价 $ x $(元/件)之间的函数关系式；
(2) 求当销售单价为多少元/件时,每天的销售利润最大,最大利润是多少？

(1)$y=-4x^2 + 720x - 28800$（$60\leq x\leq120$）；(2)销售单价为90元/件时，最大利润是3600元。

(1) 每件利润为$(x - 60)$元，销售量为$80 + 4(100 - x) = 480 - 4x$件。则$y=(x - 60)(480 - 4x)$，展开化简得$y=-4x^2 + 720x - 28800$（$60\leq x\leq120$）。
(2) 二次函数$y=-4x^2 + 720x - 28800$中，$a=-4\lt0$，对称轴为$x=-\frac{720}{2×(-4)}=90$。当$x=90$时，$y_{最大}=-4×90^2 + 720×90 - 28800=3600$。