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2.(2023 宿迁中考)在同一平面内,已知 $\odot O$ 的半径为 $2$,圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $3$,点 $P$ 为圆上的一个动点,则点 $P$ 到直线 $l$ 的最大距离是(
A.$2$
B.$5$
C.$6$
D.$8$
B
)A.$2$
B.$5$
C.$6$
D.$8$
答案
B
解析
过圆心O作直线l的垂线，垂足为点A，则OA=3。当点P在圆上且位于OA的延长线上时，点P到直线l的距离最大，最大距离为OA+半径=3+2=5。
3.(2024 天津期中)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle A = 40^{\circ}$,以 $C$ 为圆心、$CB$ 为半径的圆交 $AB$ 于点 $D$,连接 $CD$,则 $\angle ACD = ($
A.$15^{\circ}$
B.$10^{\circ}$
C.$12^{\circ}$
D.$50^{\circ}$
B
)A.$15^{\circ}$
B.$10^{\circ}$
C.$12^{\circ}$
D.$50^{\circ}$
答案
B
解析
$\because\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 40^{\circ}$，
$\therefore\angle B=50°$。
又$\because CB = CD$，
$\therefore\angle B = \angle CDB = 50°$。
$\therefore\angle BCD=80°$，
$\therefore\angle ACD = 90° - \angle BCD = 10°$。
$\therefore\angle B=50°$。
又$\because CB = CD$，
$\therefore\angle B = \angle CDB = 50°$。
$\therefore\angle BCD=80°$，
$\therefore\angle ACD = 90° - \angle BCD = 10°$。
4.(2023 渝北区半期)如图,$MN$ 为 $\odot O$ 的弦,$\angle N = 50^{\circ}$,则 $\angle MON$ 的度数为
80
$^{\circ}$。答案
80
解析
$\because OM = ON$（半径相等），
$\therefore \angle M = \angle N = 50°$（等边对等角）。
根据三角形内角和定理，三角形的内角和为$180°$，有：
$\angle MON + \angle M + \angle N = 180°$，
$\angle MON = 180° - \angle M - \angle N$，
$\angle MON = 180° - 50° - 50° = 80°$。
$\therefore \angle M = \angle N = 50°$（等边对等角）。
根据三角形内角和定理，三角形的内角和为$180°$，有：
$\angle MON + \angle M + \angle N = 180°$，
$\angle MON = 180° - \angle M - \angle N$，
$\angle MON = 180° - 50° - 50° = 80°$。
5.(2025 西双版纳一模)如图,$AB$ 是 $\odot O$ 的直径,$AC = CD$,$\angle AOC = 50^{\circ}$,则 $\angle BOD = $
80
$^{\circ}$。答案
$80$
解析
$\because AC=CD$，
根据在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，
$\therefore \angle COD=\angle AOC = 50^{\circ}$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore \angle AOB = 180^{\circ}$。
$\therefore \angle BOD=\angle AOB-\angle AOC - \angle COD=180^{\circ}-50^{\circ}-50^{\circ}=80^{\circ}$。
根据在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，
$\therefore \angle COD=\angle AOC = 50^{\circ}$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore \angle AOB = 180^{\circ}$。
$\therefore \angle BOD=\angle AOB-\angle AOC - \angle COD=180^{\circ}-50^{\circ}-50^{\circ}=80^{\circ}$。
6.(2023 亳州期末)如图,直角 $\triangle ABC$ 的斜边 $AB$ 为 $\odot O$ 的一条弦,直角边 $AC$ 经过圆心 $O$,已知 $BC = 3$,$AC = 4$,则 $OA$ 的长为
$\frac{25}{8}$
。答案
$\frac{25}{8}$
解析
设 $ OA = r $，则 $ OB = r $（半径相等）。
∵ 直角边 $ AC $ 经过圆心 $ O $，$ AC = 4 $，∴ $ OC = AC - OA = 4 - r $。
在 $ Rt\triangle OCB $ 中，$ \angle C = 90° $，$ BC = 3 $，由勾股定理得：
$ OC^2 + BC^2 = OB^2 $，即 $ (4 - r)^2 + 3^2 = r^2 $。
展开得：$ 16 - 8r + r^2 + 9 = r^2 $，化简得 $ 25 - 8r = 0 $，解得 $ r = \frac{25}{8} $。
∵ 直角边 $ AC $ 经过圆心 $ O $，$ AC = 4 $，∴ $ OC = AC - OA = 4 - r $。
在 $ Rt\triangle OCB $ 中，$ \angle C = 90° $，$ BC = 3 $，由勾股定理得：
$ OC^2 + BC^2 = OB^2 $，即 $ (4 - r)^2 + 3^2 = r^2 $。
展开得：$ 16 - 8r + r^2 + 9 = r^2 $，化简得 $ 25 - 8r = 0 $，解得 $ r = \frac{25}{8} $。
7. 如图,$\odot O$ 的弦 $AB$、半径 $OC$ 的延长线交于点 $D$,且 $BD = OA$。若 $\angle AOC = 120^{\circ}$,求 $\angle D$ 的度数。
答案
连接OB。
设∠D=x。
∵OA=OB=OC（同圆半径相等），BD=OA，∴OB=BD，∴∠BOD=∠BDO=x（等腰三角形底角相等）。
∵∠AOC=120°，D在OC延长线上，∴∠AOD=120°。
在△AOD中，∠OAD=180°-∠AOD-∠D=180°-120°-x=60°-x。
∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=60°-x。
在△OBD中，∠OBD=180°-∠BOD-∠BDO=180°-2x。
∵点A、B、D共线，∴∠OBA+∠OBD=180°，即(60°-x)+(180°-2x)=180°。
解得3x=60°，x=20°。
∠D=20°。
设∠D=x。
∵OA=OB=OC（同圆半径相等），BD=OA，∴OB=BD，∴∠BOD=∠BDO=x（等腰三角形底角相等）。
∵∠AOC=120°，D在OC延长线上，∴∠AOD=120°。
在△AOD中，∠OAD=180°-∠AOD-∠D=180°-120°-x=60°-x。
∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=60°-x。
在△OBD中，∠OBD=180°-∠BOD-∠BDO=180°-2x。
∵点A、B、D共线，∴∠OBA+∠OBD=180°，即(60°-x)+(180°-2x)=180°。
解得3x=60°，x=20°。
∠D=20°。
新知梳理
1. 圆是轴对称图形,任何一条
思考 如何证明圆是轴对称图形？
2. 垂径定理：垂直于弦的直径
思考 垂径定理的条件和结论分别是什么？
3. 推论：平分弦(不是直径)的直径
思考 若被直径平分的弦是直径,上面的推论还成立吗？
1. 圆是轴对称图形,任何一条
直径
所在直线都是圆的对称轴。思考 如何证明圆是轴对称图形？
2. 垂径定理：垂直于弦的直径
平分
弦,并且平分
弦所对的两条弧。思考 垂径定理的条件和结论分别是什么？
3. 推论：平分弦(不是直径)的直径
垂直于
弦,并且平分
弦所对的两条弧。思考 若被直径平分的弦是直径,上面的推论还成立吗？
答案
1. 直径；
2. 平分，平分；
3. 垂直于，平分；
1. （思考题答案不要求）
2. （思考题答案不要求）
3. （思考题答案不要求）
2. 平分，平分；
3. 垂直于，平分；
1. （思考题答案不要求）
2. （思考题答案不要求）
3. （思考题答案不要求）
解析
1. 根据圆的对称性，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都能将圆分成两个完全重合的部分，因此任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。
2. 垂径定理：根据几何性质，垂直于弦的直径会平分该弦，并且平分弦所对的两条弧，所以垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3. 推论：如果一条直径平分一条不是直径的弦，那么这条直径也垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧，所以平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。若被直径平分的弦是直径，则这条推论不适用，因为任何两条直径都互相平分，但不一定垂直。
2. 垂径定理：根据几何性质，垂直于弦的直径会平分该弦，并且平分弦所对的两条弧，所以垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3. 推论：如果一条直径平分一条不是直径的弦，那么这条直径也垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧，所以平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。若被直径平分的弦是直径，则这条推论不适用，因为任何两条直径都互相平分，但不一定垂直。
探究 垂径定理的运用
例(2023 永州中考改编)
如图,$\odot O$是一个盛有水的容器的横截面,$\odot O$的半径为 10 cm. 水的最深处到水面$AB$的距离为 4 cm,求水面$AB$的宽度。
名师导引 解决有关弦的问题时,常常需要作辅助线“垂直于弦的直径”,以圆的半径、弦长的一半、圆心到弦的垂线段为三边构造直角三角形。
例(2023 永州中考改编)
如图,$\odot O$是一个盛有水的容器的横截面,$\odot O$的半径为 10 cm. 水的最深处到水面$AB$的距离为 4 cm,求水面$AB$的宽度。
名师导引 解决有关弦的问题时,常常需要作辅助线“垂直于弦的直径”,以圆的半径、弦长的一半、圆心到弦的垂线段为三边构造直角三角形。
答案
解：过点O作OC⊥AB于点C，延长OC交⊙O于点D，连接OA。
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB。
∵⊙O的半径为10cm，
∴OA=OD=10cm。
∵水的最深处到水面AB的距离为4cm，
∴CD=4cm，
∴OC=OD-CD=10-4=6cm。
在Rt△OAC中，OA=10cm，OC=6cm，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{OA^{2}-OC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$cm。
∴AB=2AC=2×8=16cm。
答：水面AB的宽度为16cm。
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB。
∵⊙O的半径为10cm，
∴OA=OD=10cm。
∵水的最深处到水面AB的距离为4cm，
∴CD=4cm，
∴OC=OD-CD=10-4=6cm。
在Rt△OAC中，OA=10cm，OC=6cm，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{OA^{2}-OC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$cm。
∴AB=2AC=2×8=16cm。
答：水面AB的宽度为16cm。
