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1. 如图1,已知△ABC中,AB = AC = 10,BD是AC边上的高,DC = 2,则BD的长为(
A.4
B.6
C.8
D.$\sqrt{40}$
B
)A.4
B.6
C.8
D.$\sqrt{40}$
答案
B
解析
∵AC=10，DC=2，
∴AD=AC-DC=10-2=8。
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，AB=10，AD=8，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$。
B
2. 如图2,在△ABC中,∠ACB = 90°,以△ABC的各边为边在△ABC外部作三个正方形,$S_1$,$S_2$,$S_3$分别表示这三个正方形的面积,若$S_1 = 81$,$S_3 = 225$,则$S_2 = $(
A.12
B.100
C.124
D.144
D
)A.12
B.100
C.124
D.144
答案
D
解析
在△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
∵$S_1$，$S_2$，$S_3$是以各边为边的正方形面积，
∴$S_1 = BC^2 = 81$，$S_3 = AB^2 = 225$，$S_2 = AC^2$。
则$S_2 = AC^2 = AB^2 - BC^2 = S_3 - S_1 = 225 - 81 = 144$。
D
∵$S_1$，$S_2$，$S_3$是以各边为边的正方形面积，
∴$S_1 = BC^2 = 81$，$S_3 = AB^2 = 225$，$S_2 = AC^2$。
则$S_2 = AC^2 = AB^2 - BC^2 = S_3 - S_1 = 225 - 81 = 144$。
D
3. 如图3所示,已知在三角形纸片ABC中,BC = 6,AB = 10,∠BCA = 90°,在AC上取一点E,以BE为折痕进行折叠,使AB的一部分与BC重合,A与BC延长线上的点D重合,则DE的长度为(
A.6
B.3
C.5
D.$\sqrt{3}$
C
)A.6
B.3
C.5
D.$\sqrt{3}$
答案
C
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BCA=90°$，$BC=6$，$AB=10$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
折叠后$A$与$D$重合，故$DE=AE$，$BD=AB=10$，则$CD=BD-BC=10-6=4$。
设$DE=AE=x$，则$CE=AC-AE=8-x$。
在$Rt\triangle CDE$中，$\angle DCE=90°$，由勾股定理得$DE^2=CE^2+CD^2$，即$x^2=(8-x)^2+4^2$。
展开得$x^2=64-16x+x^2+16$，化简得$16x=80$，解得$x=5$。
故$DE=5$。
C
折叠后$A$与$D$重合，故$DE=AE$，$BD=AB=10$，则$CD=BD-BC=10-6=4$。
设$DE=AE=x$，则$CE=AC-AE=8-x$。
在$Rt\triangle CDE$中，$\angle DCE=90°$，由勾股定理得$DE^2=CE^2+CD^2$，即$x^2=(8-x)^2+4^2$。
展开得$x^2=64-16x+x^2+16$，化简得$16x=80$，解得$x=5$。
故$DE=5$。
C
4. 如图4,边长为$\sqrt{2}$的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,将正方形ABCD沿直线DF折叠,点C落在对角线BD上的点E处,折痕DF交AC于点M,则OM = (
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{3}-1$
D.$\sqrt{2}-1$
D
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{3}-1$
D.$\sqrt{2}-1$
答案
D
解析
∵正方形ABCD边长为$\sqrt{2}$，
∴AC=BD=$\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$，
O为AC、BD交点，故AO=OC=BO=OD=1，∠ODA=∠OCD=45°，∠DOC=90°。
由折叠性质，DE=DC=$\sqrt{2}$，∠DEM=∠DCM=45°，
∴OE=DE-OD=$\sqrt{2}-1$。
设OM=x，则CM=OC-OM=1-x。
在△OEM和△DCM中，∠OEM=∠DCM=45°，∠OME=∠DMC，
∴△OEM∽△DCM，
$\frac{OM}{CM}=\frac{OE}{DC}$，即$\frac{x}{1-x}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$，
解得$x=\sqrt{2}-1$，即OM=$\sqrt{2}-1$。
D
1. 如图5,数轴上点A所表示的数为
$-\sqrt{5}$
,点B所表示的数为$\sqrt{5}$
.答案
$-\sqrt{5},\sqrt{5}$
2. 在△ABC中,∠ACB = 90°,BC = 5,AC = 12,CD⊥AB,垂足为D,则CD =
$\frac{60}{13}$
.答案
$\frac{60}{13}$
解析
在△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，
由勾股定理得，AB²=AC²+BC²=12²+5²=144+25=169，
则AB=13，
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BC=$\frac{1}{2}$AB·CD，
∴CD=$\frac{AC·BC}{AB}$=$\frac{12×5}{13}$=$\frac{60}{13}$
$\frac{60}{13}$
由勾股定理得，AB²=AC²+BC²=12²+5²=144+25=169，
则AB=13，
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BC=$\frac{1}{2}$AB·CD，
∴CD=$\frac{AC·BC}{AB}$=$\frac{12×5}{13}$=$\frac{60}{13}$
$\frac{60}{13}$
3. 在图6 - 1中,将由5个边长为1的小正方形拼成的图形按虚线剪开,重新拼成如图6 - 2所示的正方形,那么所拼成的正方形的边长为
$\sqrt{5}$
.答案
$\sqrt{5}$
