20. 如图所示,以AB为直径的$\odot O经过\triangle ABC$的顶点C,AE,BE分别平分$\angle BAC和\angle ABC$,AE的延长线交$\odot O$于点D,连结BD.
(1) 请判断$\triangle BDE$的形状,并说明理由.
(2) 若$AB= 10$,$BE= 2\sqrt{10}$,求BC的长.

(1) 解：△BDE是等腰直角三角形。
理由：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°。
∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAE=∠CAD=∠CBD，∠ABE=∠CBE。
∵∠BED=∠BAE+∠ABE，∠DBE=∠CBD+∠CBE，
∴∠BED=∠DBE，∴BD=ED。
∵∠ADB=90°，∴△BDE是等腰直角三角形。
(2) 解：由(1)知△BDE是等腰直角三角形，BE=2√10，
∴BD=BE·sin45°=2√10×√2/2=2√5。
∵AB=10，∠ADB=90°，∴AD=√(AB²-BD²)=√(100-20)=4√5。
设∠BAD=α，∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2α，
∴cosα=AD/AB=4√5/10=2√5/5，sinα=BD/AB=2√5/10=√5/5，
∴cos2α=2cos²α-1=2×(4/5)-1=3/5，sin2α=2sinαcosα=2×(√5/5)×(2√5/5)=4/5。
∵∠ACB=90°，∴BC=AB·cos∠ABC=AB·cos(90°-2α)=AB·sin2α=10×4/5=8。
∴BC的长为8。

21. 如图甲所示,$\odot O$为锐角三角形ABC的外接圆,点D在$\widehat{BC}$上,AD交BC于点E,点F在AE上,且满足$\angle AFB-\angle BFD= \angle ACB$,$FG// AC$交BC于点G,$BE= FG$,连结BD,DG.设$\angle ACB= \alpha$.
(1) 用含$\alpha的代数式表示\angle BFD$.
(2) 求证:$\triangle BDE\cong\triangle FDG$.
(3) 如图乙所示,AD为$\odot O$的直径,当$\widehat{AB}$的长为2时,求$\widehat{AC}$的长.

(1) 解：∵∠AFB - ∠BFD = α，∠AFB + ∠BFD = 180°，∴∠BFD = (180° - α)/2 = 90° - α/2。
(2) 证明：∵FG//AC，∴∠FGB = ∠ACB = α。∵∠BFD = 90° - α/2，∴∠FGD = 180° - ∠FGB - ∠GFD = 90° - α/2 = ∠BFD。∵∠BDE = ∠ACB = α，∠GDF = ∠BDE = α，BE = FG，∴△BDE≌△FDG(AAS)。
(3) 解：∵AD为直径，∴∠ABD = 90°。由(2)得DE = DG，∠BDE = ∠GDF = α，∴∠BDG = 2α。∵∠BAC = ∠BDC = 2α，∠ABC = α，∴∠ACB = α，∴AB = AC，∴弧AB = 弧AC = 2。