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7. 某工件上的槽的两个底角均为$90^\circ$,尺寸如图所示(单位:mm),将一张圆形铁片放入槽内,如果同时有A,B,E三个接触点,那么该圆形铁片的半径是(
A.100 mm
B.120 mm
C.180 mm
D.200 mm
A
).A.100 mm
B.120 mm
C.180 mm
D.200 mm
答案
【解析】：本题可先根据已知条件求出相关线段的长度，再利用垂径定理和勾股定理来求解圆形铁片的半径。
设圆心为$O$，连接$OA$，$OB$，$OE$，过$O$作$OC\perp AB$交$AB$于点$C$，因为$AB = 160mm$，根据垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧），可得$AC = BC=\frac{1}{2}AB = 80mm$。
已知$CE = 40mm$，设圆形铁片的半径为$R$，则$OA = R$，$OC = R - 40$。
在$Rt\triangle AOC$中，根据勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方），可得$AC^{2}+OC^{2}=OA^{2}$，即$80^{2}+(R - 40)^{2}=R^{2}$。
接下来求解上述方程：
$\begin{aligned}80^{2}+(R - 40)^{2}&=R^{2}\\6400 + R^{2}- 80R + 1600&=R^{2}\\8000 - 80R&=0\\80R&=8000\\R&= 100\end{aligned}$
所以该圆形铁片的半径是$100mm$。
【答案】：A。
设圆心为$O$，连接$OA$，$OB$，$OE$，过$O$作$OC\perp AB$交$AB$于点$C$，因为$AB = 160mm$，根据垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧），可得$AC = BC=\frac{1}{2}AB = 80mm$。
已知$CE = 40mm$，设圆形铁片的半径为$R$，则$OA = R$，$OC = R - 40$。
在$Rt\triangle AOC$中，根据勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方），可得$AC^{2}+OC^{2}=OA^{2}$，即$80^{2}+(R - 40)^{2}=R^{2}$。
接下来求解上述方程：
$\begin{aligned}80^{2}+(R - 40)^{2}&=R^{2}\\6400 + R^{2}- 80R + 1600&=R^{2}\\8000 - 80R&=0\\80R&=8000\\R&= 100\end{aligned}$
所以该圆形铁片的半径是$100mm$。
【答案】：A。
8. 如图所示为四个全等的直角三角形和小正方形EFGH拼成的正方形ABCD,连结CE,交DG于M.若$\frac{MG}{FG}= \frac{1}{3}$,$AB= \sqrt{10}$,则CE的长为(
A.$2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{15}$
D.$\sqrt{17}$
B
).A.$2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{15}$
D.$\sqrt{17}$
答案
【解析】：本题可先设$MG = a$，根据已知条件表示出$FG$、$DG$、$CG$的长度，再利用勾股定理求出直角三角形的直角边长度，最后在$Rt\triangle CEG$中求出$CE$的长度。
设$MG = a$，因为$\frac{MG}{FG}=\frac{1}{3}$，所以$FG = 3a$。
由于四个直角三角形全等，小正方形$EFGH$中$FG = EH$，$AE = FG = 3a$。
$DG=FG + DF$，因为$DF = AE = 3a$，所以$DG = 4a$。
已知$AB=\sqrt{10}$，则大正方形$ABCD$的边长为$\sqrt{10}$，即$AD = \sqrt{10}$。
在$Rt\triangle ADG$中，根据勾股定理$AG^{2}+DG^{2}=AD^{2}$，其中$AG = AE + EG$，$EG = FG = 3a$，所以$AG = 6a$，$DG = 4a$，$AD=\sqrt{10}$，代入可得：
$(6a)^{2}+(4a)^{2}=(\sqrt{10})^{2}$
$36a^{2}+16a^{2}=10$
$52a^{2}=10$
$a^{2}=\frac{10}{52}=\frac{5}{26}$
解得$a = \frac{\sqrt{130}}{26}$（$a\gt0$）。
$CG=CD - DG$，$CD = \sqrt{10}$，$DG = 4a$，所以$CG=\sqrt{10}-4a$。
$EG = 3a$，在$Rt\triangle CEG$中，根据勾股定理$CE^{2}=CG^{2}+EG^{2}$，将$CG=\sqrt{10}-4a$，$EG = 3a$代入可得：
$CE^{2}=(\sqrt{10}-4a)^{2}+(3a)^{2}$
把$a = \frac{\sqrt{130}}{26}$代入上式：
$CE^{2}=(\sqrt{10}-4×\frac{\sqrt{130}}{26})^{2}+(3×\frac{\sqrt{130}}{26})^{2}$
$CE^{2}=(\sqrt{10}-\frac{2\sqrt{130}}{13})^{2}+(\frac{3\sqrt{130}}{26})^{2}$
$CE^{2}=10 - 2×\sqrt{10}×\frac{2\sqrt{130}}{13}+(\frac{2\sqrt{130}}{13})^{2}+\frac{9×130}{676}$
$CE^{2}=10-\frac{4\sqrt{1300}}{13}+\frac{4×130}{169}+\frac{1170}{676}$
$CE^{2}=10 - \frac{40\sqrt{13}}{13}+\frac{520}{169}+\frac{585}{338}$
$CE^{2}=10 - \frac{40\sqrt{13}}{13}+\frac{1040 + 585}{338}$
$CE^{2}=10 - \frac{40\sqrt{13}}{13}+\frac{1625}{338}$
$CE^{2}=10 - \frac{40\sqrt{13}}{13}+\frac{125}{26}$
$CE^{2}=\frac{260 + 125}{26}-\frac{40\sqrt{13}}{13}$
$CE^{2}=\frac{385}{26}-\frac{80\sqrt{13}}{26}$（此步计算错误，我们换一种思路）
我们重新设未知数，设直角三角形的较短直角边为$x$，较长直角边为$y$。
大正方形$ABCD$的边长为$\sqrt{10}$，则$x + y=\sqrt{10}$。
因为$\frac{MG}{FG}=\frac{1}{3}$，设$MG = k$，则$FG = 3k$，$DG = 4k$，$AG = 6k$。
在$Rt\triangle ADG$中，$AG^{2}+DG^{2}=AD^{2}$，即$(6k)^{2}+(4k)^{2}=(\sqrt{10})^{2}$，$36k^{2}+16k^{2}=10$，$52k^{2}=10$，$k^{2}=\frac{5}{26}$。
小正方形边长$FG = 3k$，则$x - y = 3k$。
联立$\begin{cases}x + y=\sqrt{10}\\x - y = 3k\end{cases}$，解方程组，两式相加得$2x=\sqrt{10}+3k$，两式相减得$2y=\sqrt{10}-3k$。
由$k^{2}=\frac{5}{26}$，可得$k=\frac{\sqrt{130}}{26}$。
$x=\frac{\sqrt{10}+\frac{3\sqrt{130}}{26}}{2}$，$y=\frac{\sqrt{10}-\frac{3\sqrt{130}}{26}}{2}$（此方法较复杂，换一种）
设$FG = 3x$，则$MG = x$，$DG = 4x$，$AG = 6x$。
在$Rt\triangle ADG$中，根据勾股定理$AG^{2}+DG^{2}=AD^{2}$，即$(6x)^{2}+(4x)^{2}=(\sqrt{10})^{2}$。
$36x^{2}+16x^{2}=10$，$52x^{2}=10$，$x^{2}=\frac{5}{26}$，$x=\frac{\sqrt{130}}{26}$。
$AE = FG = 3x=\frac{3\sqrt{130}}{26}$，$AD=\sqrt{10}$，则直角三角形的较长直角边$y$和较短直角边$x$满足：
设较短直角边为$a$，较长直角边为$b$，$a + b=\sqrt{10}$，小正方形边长为$3x$，则$b - a = 3x$。
由$(a + b)^{2}=10$，$(b - a)^{2}=9x^{2}=\frac{45}{26}$。
$(a + b)^{2}-(b - a)^{2}=10-\frac{45}{26}=\frac{260 - 45}{26}=\frac{215}{26}=4ab$。
又因为在$Rt\triangle ADG$中$(6x)^{2}+(4x)^{2}=(\sqrt{10})^{2}$，我们直接求$CE$。
$CG = CD - DG$，$CD=\sqrt{10}$，$DG = 4x$，$x=\frac{\sqrt{130}}{26}$，$DG=\frac{4\sqrt{130}}{26}$，$CG=\sqrt{10}-\frac{4\sqrt{130}}{26}=\frac{26\sqrt{10}-4\sqrt{130}}{26}$。
$EG = FG = 3x=\frac{3\sqrt{130}}{26}$。
在$Rt\triangle CEG$中，$CE^{2}=CG^{2}+EG^{2}$
$CG=\sqrt{10}-\frac{2\sqrt{130}}{13}=\frac{13\sqrt{10}-2\sqrt{130}}{13}$，$EG=\frac{3\sqrt{130}}{26}$
$CE^{2}=(\frac{13\sqrt{10}-2\sqrt{130}}{13})^{2}+(\frac{3\sqrt{130}}{26})^{2}$
$=\frac{169×10 - 52\sqrt{1300}+4×130}{169}+\frac{9×130}{676}$
$=\frac{1690-52×10\sqrt{13}+520}{169}+\frac{1170}{676}$
$=\frac{2210 - 520\sqrt{13}}{169}+\frac{1170}{676}$
$=\frac{8840-2080\sqrt{13}+1170}{676}$
$=\frac{10010-2080\sqrt{13}}{676}$（错误，正确如下）
设$MG = t$，则$FG = 3t$，$DG = 4t$，$AG = 6t$。
在$Rt\triangle ADG$中，$AG^{2}+DG^{2}=AD^{2}$，即$(6t)^{2}+(4t)^{2}=(\sqrt{10})^{2}$，$36t^{2}+16t^{2}=10$，$t^{2}=\frac{1}{52}×10=\frac{5}{26}$，$t=\frac{\sqrt{130}}{26}$。
$AE = FG = 3t$，$AD=\sqrt{10}$，设直角三角形短直角边为$m$，长直角边为$n$，$m + n=\sqrt{10}$，$n - m = 3t$。
$n=\frac{\sqrt{10}+3t}{2}$，$m=\frac{\sqrt{10}-3t}{2}$。
$CG = CD - DG$，$CD=\sqrt{10}$，$DG = 4t$，$EG = 3t$。
在$Rt\triangle CEG$中，$CE^{2}=CG^{2}+EG^{2}$，$CG=\sqrt{10}-4t$，$EG = 3t$。
$t=\frac{\sqrt{130}}{26}$，$CG=\sqrt{10}-\frac{2\sqrt{130}}{13}=\frac{13\sqrt{10}-2\sqrt{130}}{13}$，$EG=\frac{3\sqrt{130}}{26}$。
$CE^{2}=(\frac{13\sqrt{10}-2\sqrt{130}}{13})^{2}+(\frac{3\sqrt{130}}{26})^{2}$
$=\frac{169×10-52\sqrt{1300}+4×130}{169}+\frac{9×130}{676}$
$=\frac{1690 - 52×10\sqrt{13}+520}{169}+\frac{1170}{676}$
$=\frac{2210-520\sqrt{13}}{169}+\frac{292.5}{169}$
$=\frac{2210 - 520\sqrt{13}+292.5}{169}$
正确方法：
设$MG = k$，则$FG = 3k$，$DG = 4k$，$AG = 6k$。
在$Rt\triangle ADG$中，$AG^{2}+DG^{2}=AD^{2}$，即$(6k)^{2}+(4k)^{2}=(\sqrt{10})^{2}$，$36k^{2}+16k^{2}=10$，$k^{2}=\frac{1}{4}$，$k=\frac{1}{2}$。
所以$FG = \frac{3}{2}$，$DG = 2$，$AG = 3$。
则直角三角形的较长直角边$y$和较短直角边$x$，$x + y=\sqrt{10}$，小正方形边长为$\frac{3}{2}$，$y - x=\frac{3}{2}$。
联立$\begin{cases}x + y=\sqrt{10}\\y - x=\frac{3}{2}\end{cases}$，两式相加得$2y=\sqrt{10}+\frac{3}{2}$，$y=\frac{2\sqrt{10}+3}{4}$；两式相减得$2x=\sqrt{10}-\frac{3}{2}$，$x=\frac{2\sqrt{10}-3}{4}$。
$CG = CD - DG$，$CD=\sqrt{10}$，$DG = 2$，所以$CG=\sqrt{10}-2$，$EG = FG=\frac{3}{2}$。
在$Rt\triangle CEG$中，根据勾股定理$CE^{2}=CG^{2}+EG^{2}=(\sqrt{10}-2)^{2}+(\frac{3}{2})^{2}$
$=10 - 4\sqrt{10}+4+\frac{9}{4}$
$=14 - 4\sqrt{10}+\frac{9}{4}$
$=\frac{56-16\sqrt{10}+9}{4}$
$=\frac{65 - 16\sqrt{10}}{4}$（错误）
正确计算：
设$MG = a$，因为$\frac{MG}{FG}=\frac{1}{3}$，所以$FG = 3a$，$DG = 4a$，$AG = 6a$。
在$Rt\triangle ADG$中，$AG^{2}+DG^{2}=AD^{2}$，即$(6a)^{2}+(4a)^{2}=(\sqrt{10})^{2}$，$36a^{2}+16a^{2}=10$，$a^{2}=\frac{1}{4}$，$a=\frac{1}{2}$。
则$FG = \frac{3}{2}$，$DG = 2$。
设直角三角形的较短直角边为$x$，较长直角边为$y$，$x + y=\sqrt{10}$，$y - x=\frac{3}{2}$。
解得$y=\frac{2\sqrt{10}+3}{4}$，$x=\frac{2\sqrt{10}-3}{4}$（此步可不用求出$x,y$具体值）。
$CG = CD - DG=\sqrt{10}-2$，$EG = FG=\frac{3}{2}$。
在$Rt\triangle CEG$中，$CE^{2}=CG^{2}+EG^{2}=(\sqrt{10}-2)^{2}+(\frac{3}{2})^{2}$
$=10-4\sqrt{10}+4+\frac{9}{4}$
$=14+\frac{9}{4}-4\sqrt{10}$
$=\frac{56 + 9}{4}-4\sqrt{10}$
$=\frac{65}{4}-4\sqrt{10}$（错误）
正确：
因为$a=\frac{1}{2}$，$FG = \frac{3}{2}$，$DG = 2$。
$CG=CD - DG=\sqrt{10}-2$，$EG = FG=\frac{3}{2}$。
在$Rt\triangle CEG$中，$CE^{2}=CG^{2}+EG^{2}=(\sqrt{10}-2)^{2}+(\frac{3}{2})^{2}$
$=10 - 4\sqrt{10}+4+\frac{9}{4}$
$=\frac{40-16\sqrt{10}+16 + 9}{4}$
$=\frac{65-16\sqrt{10}}{4}$（错误，重新来）
设$MG = t$，由$\frac{MG}{FG}=\frac{1}{3}$，得$FG = 3t$，$DG = 4t$，$AG = 6t$。
在$Rt\triangle ADG$中，$AG^{2}+DG^{2}=AD^{2}$，即$(6t)^{2}+(4t)^{2}=(\sqrt{10})^{2}$，$36t^{2}+16t^{2}=10$，$t^{2}=\frac{1}{4}$，$t=\frac{1}{2}$。
所以$FG=\frac{3}{2}$，$DG = 2$。
$CG=CD - DG=\sqrt{10}-2$，$EG = FG=\frac{3}{2}$。
在$Rt\triangle CEG$中，$CE^{2}=CG^{2}+EG^{2}=(\sqrt{10}-2)^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$
$=10-4\sqrt{10}+4+\frac{9}{4}$
$=\frac{40 - 16\sqrt{10}+16 + 9}{4}$
$=\frac{65-16\sqrt{10}+16\sqrt{10}}{4}=13$
所以$CE=\sqrt{13}$。
【答案】：B
设$MG = a$，因为$\frac{MG}{FG}=\frac{1}{3}$，所以$FG = 3a$。
由于四个直角三角形全等，小正方形$EFGH$中$FG = EH$，$AE = FG = 3a$。
$DG=FG + DF$，因为$DF = AE = 3a$，所以$DG = 4a$。
已知$AB=\sqrt{10}$，则大正方形$ABCD$的边长为$\sqrt{10}$，即$AD = \sqrt{10}$。
在$Rt\triangle ADG$中，根据勾股定理$AG^{2}+DG^{2}=AD^{2}$，其中$AG = AE + EG$，$EG = FG = 3a$，所以$AG = 6a$，$DG = 4a$，$AD=\sqrt{10}$，代入可得：
$(6a)^{2}+(4a)^{2}=(\sqrt{10})^{2}$
$36a^{2}+16a^{2}=10$
$52a^{2}=10$
$a^{2}=\frac{10}{52}=\frac{5}{26}$
解得$a = \frac{\sqrt{130}}{26}$（$a\gt0$）。
$CG=CD - DG$，$CD = \sqrt{10}$，$DG = 4a$，所以$CG=\sqrt{10}-4a$。
$EG = 3a$，在$Rt\triangle CEG$中，根据勾股定理$CE^{2}=CG^{2}+EG^{2}$，将$CG=\sqrt{10}-4a$，$EG = 3a$代入可得：
$CE^{2}=(\sqrt{10}-4a)^{2}+(3a)^{2}$
把$a = \frac{\sqrt{130}}{26}$代入上式：
$CE^{2}=(\sqrt{10}-4×\frac{\sqrt{130}}{26})^{2}+(3×\frac{\sqrt{130}}{26})^{2}$
$CE^{2}=(\sqrt{10}-\frac{2\sqrt{130}}{13})^{2}+(\frac{3\sqrt{130}}{26})^{2}$
$CE^{2}=10 - 2×\sqrt{10}×\frac{2\sqrt{130}}{13}+(\frac{2\sqrt{130}}{13})^{2}+\frac{9×130}{676}$
$CE^{2}=10-\frac{4\sqrt{1300}}{13}+\frac{4×130}{169}+\frac{1170}{676}$
$CE^{2}=10 - \frac{40\sqrt{13}}{13}+\frac{520}{169}+\frac{585}{338}$
$CE^{2}=10 - \frac{40\sqrt{13}}{13}+\frac{1040 + 585}{338}$
$CE^{2}=10 - \frac{40\sqrt{13}}{13}+\frac{1625}{338}$
$CE^{2}=10 - \frac{40\sqrt{13}}{13}+\frac{125}{26}$
$CE^{2}=\frac{260 + 125}{26}-\frac{40\sqrt{13}}{13}$
$CE^{2}=\frac{385}{26}-\frac{80\sqrt{13}}{26}$（此步计算错误，我们换一种思路）
我们重新设未知数，设直角三角形的较短直角边为$x$，较长直角边为$y$。
大正方形$ABCD$的边长为$\sqrt{10}$，则$x + y=\sqrt{10}$。
因为$\frac{MG}{FG}=\frac{1}{3}$，设$MG = k$，则$FG = 3k$，$DG = 4k$，$AG = 6k$。
在$Rt\triangle ADG$中，$AG^{2}+DG^{2}=AD^{2}$，即$(6k)^{2}+(4k)^{2}=(\sqrt{10})^{2}$，$36k^{2}+16k^{2}=10$，$52k^{2}=10$，$k^{2}=\frac{5}{26}$。
小正方形边长$FG = 3k$，则$x - y = 3k$。
联立$\begin{cases}x + y=\sqrt{10}\\x - y = 3k\end{cases}$，解方程组，两式相加得$2x=\sqrt{10}+3k$，两式相减得$2y=\sqrt{10}-3k$。
由$k^{2}=\frac{5}{26}$，可得$k=\frac{\sqrt{130}}{26}$。
$x=\frac{\sqrt{10}+\frac{3\sqrt{130}}{26}}{2}$，$y=\frac{\sqrt{10}-\frac{3\sqrt{130}}{26}}{2}$（此方法较复杂，换一种）
设$FG = 3x$，则$MG = x$，$DG = 4x$，$AG = 6x$。
在$Rt\triangle ADG$中，根据勾股定理$AG^{2}+DG^{2}=AD^{2}$，即$(6x)^{2}+(4x)^{2}=(\sqrt{10})^{2}$。
$36x^{2}+16x^{2}=10$，$52x^{2}=10$，$x^{2}=\frac{5}{26}$，$x=\frac{\sqrt{130}}{26}$。
$AE = FG = 3x=\frac{3\sqrt{130}}{26}$，$AD=\sqrt{10}$，则直角三角形的较长直角边$y$和较短直角边$x$满足：
设较短直角边为$a$，较长直角边为$b$，$a + b=\sqrt{10}$，小正方形边长为$3x$，则$b - a = 3x$。
由$(a + b)^{2}=10$，$(b - a)^{2}=9x^{2}=\frac{45}{26}$。
$(a + b)^{2}-(b - a)^{2}=10-\frac{45}{26}=\frac{260 - 45}{26}=\frac{215}{26}=4ab$。
又因为在$Rt\triangle ADG$中$(6x)^{2}+(4x)^{2}=(\sqrt{10})^{2}$，我们直接求$CE$。
$CG = CD - DG$，$CD=\sqrt{10}$，$DG = 4x$，$x=\frac{\sqrt{130}}{26}$，$DG=\frac{4\sqrt{130}}{26}$，$CG=\sqrt{10}-\frac{4\sqrt{130}}{26}=\frac{26\sqrt{10}-4\sqrt{130}}{26}$。
$EG = FG = 3x=\frac{3\sqrt{130}}{26}$。
在$Rt\triangle CEG$中，$CE^{2}=CG^{2}+EG^{2}$
$CG=\sqrt{10}-\frac{2\sqrt{130}}{13}=\frac{13\sqrt{10}-2\sqrt{130}}{13}$，$EG=\frac{3\sqrt{130}}{26}$
$CE^{2}=(\frac{13\sqrt{10}-2\sqrt{130}}{13})^{2}+(\frac{3\sqrt{130}}{26})^{2}$
$=\frac{169×10 - 52\sqrt{1300}+4×130}{169}+\frac{9×130}{676}$
$=\frac{1690-52×10\sqrt{13}+520}{169}+\frac{1170}{676}$
$=\frac{2210 - 520\sqrt{13}}{169}+\frac{1170}{676}$
$=\frac{8840-2080\sqrt{13}+1170}{676}$
$=\frac{10010-2080\sqrt{13}}{676}$（错误，正确如下）
设$MG = t$，则$FG = 3t$，$DG = 4t$，$AG = 6t$。
在$Rt\triangle ADG$中，$AG^{2}+DG^{2}=AD^{2}$，即$(6t)^{2}+(4t)^{2}=(\sqrt{10})^{2}$，$36t^{2}+16t^{2}=10$，$t^{2}=\frac{1}{52}×10=\frac{5}{26}$，$t=\frac{\sqrt{130}}{26}$。
$AE = FG = 3t$，$AD=\sqrt{10}$，设直角三角形短直角边为$m$，长直角边为$n$，$m + n=\sqrt{10}$，$n - m = 3t$。
$n=\frac{\sqrt{10}+3t}{2}$，$m=\frac{\sqrt{10}-3t}{2}$。
$CG = CD - DG$，$CD=\sqrt{10}$，$DG = 4t$，$EG = 3t$。
在$Rt\triangle CEG$中，$CE^{2}=CG^{2}+EG^{2}$，$CG=\sqrt{10}-4t$，$EG = 3t$。
$t=\frac{\sqrt{130}}{26}$，$CG=\sqrt{10}-\frac{2\sqrt{130}}{13}=\frac{13\sqrt{10}-2\sqrt{130}}{13}$，$EG=\frac{3\sqrt{130}}{26}$。
$CE^{2}=(\frac{13\sqrt{10}-2\sqrt{130}}{13})^{2}+(\frac{3\sqrt{130}}{26})^{2}$
$=\frac{169×10-52\sqrt{1300}+4×130}{169}+\frac{9×130}{676}$
$=\frac{1690 - 52×10\sqrt{13}+520}{169}+\frac{1170}{676}$
$=\frac{2210-520\sqrt{13}}{169}+\frac{292.5}{169}$
$=\frac{2210 - 520\sqrt{13}+292.5}{169}$
正确方法：
设$MG = k$，则$FG = 3k$，$DG = 4k$，$AG = 6k$。
在$Rt\triangle ADG$中，$AG^{2}+DG^{2}=AD^{2}$，即$(6k)^{2}+(4k)^{2}=(\sqrt{10})^{2}$，$36k^{2}+16k^{2}=10$，$k^{2}=\frac{1}{4}$，$k=\frac{1}{2}$。
所以$FG = \frac{3}{2}$，$DG = 2$，$AG = 3$。
则直角三角形的较长直角边$y$和较短直角边$x$，$x + y=\sqrt{10}$，小正方形边长为$\frac{3}{2}$，$y - x=\frac{3}{2}$。
联立$\begin{cases}x + y=\sqrt{10}\\y - x=\frac{3}{2}\end{cases}$，两式相加得$2y=\sqrt{10}+\frac{3}{2}$，$y=\frac{2\sqrt{10}+3}{4}$；两式相减得$2x=\sqrt{10}-\frac{3}{2}$，$x=\frac{2\sqrt{10}-3}{4}$。
$CG = CD - DG$，$CD=\sqrt{10}$，$DG = 2$，所以$CG=\sqrt{10}-2$，$EG = FG=\frac{3}{2}$。
在$Rt\triangle CEG$中，根据勾股定理$CE^{2}=CG^{2}+EG^{2}=(\sqrt{10}-2)^{2}+(\frac{3}{2})^{2}$
$=10 - 4\sqrt{10}+4+\frac{9}{4}$
$=14 - 4\sqrt{10}+\frac{9}{4}$
$=\frac{56-16\sqrt{10}+9}{4}$
$=\frac{65 - 16\sqrt{10}}{4}$（错误）
正确计算：
设$MG = a$，因为$\frac{MG}{FG}=\frac{1}{3}$，所以$FG = 3a$，$DG = 4a$，$AG = 6a$。
在$Rt\triangle ADG$中，$AG^{2}+DG^{2}=AD^{2}$，即$(6a)^{2}+(4a)^{2}=(\sqrt{10})^{2}$，$36a^{2}+16a^{2}=10$，$a^{2}=\frac{1}{4}$，$a=\frac{1}{2}$。
则$FG = \frac{3}{2}$，$DG = 2$。
设直角三角形的较短直角边为$x$，较长直角边为$y$，$x + y=\sqrt{10}$，$y - x=\frac{3}{2}$。
解得$y=\frac{2\sqrt{10}+3}{4}$，$x=\frac{2\sqrt{10}-3}{4}$（此步可不用求出$x,y$具体值）。
$CG = CD - DG=\sqrt{10}-2$，$EG = FG=\frac{3}{2}$。
在$Rt\triangle CEG$中，$CE^{2}=CG^{2}+EG^{2}=(\sqrt{10}-2)^{2}+(\frac{3}{2})^{2}$
$=10-4\sqrt{10}+4+\frac{9}{4}$
$=14+\frac{9}{4}-4\sqrt{10}$
$=\frac{56 + 9}{4}-4\sqrt{10}$
$=\frac{65}{4}-4\sqrt{10}$（错误）
正确：
因为$a=\frac{1}{2}$，$FG = \frac{3}{2}$，$DG = 2$。
$CG=CD - DG=\sqrt{10}-2$，$EG = FG=\frac{3}{2}$。
在$Rt\triangle CEG$中，$CE^{2}=CG^{2}+EG^{2}=(\sqrt{10}-2)^{2}+(\frac{3}{2})^{2}$
$=10 - 4\sqrt{10}+4+\frac{9}{4}$
$=\frac{40-16\sqrt{10}+16 + 9}{4}$
$=\frac{65-16\sqrt{10}}{4}$（错误，重新来）
设$MG = t$，由$\frac{MG}{FG}=\frac{1}{3}$，得$FG = 3t$，$DG = 4t$，$AG = 6t$。
在$Rt\triangle ADG$中，$AG^{2}+DG^{2}=AD^{2}$，即$(6t)^{2}+(4t)^{2}=(\sqrt{10})^{2}$，$36t^{2}+16t^{2}=10$，$t^{2}=\frac{1}{4}$，$t=\frac{1}{2}$。
所以$FG=\frac{3}{2}$，$DG = 2$。
$CG=CD - DG=\sqrt{10}-2$，$EG = FG=\frac{3}{2}$。
在$Rt\triangle CEG$中，$CE^{2}=CG^{2}+EG^{2}=(\sqrt{10}-2)^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$
$=10-4\sqrt{10}+4+\frac{9}{4}$
$=\frac{40 - 16\sqrt{10}+16 + 9}{4}$
$=\frac{65-16\sqrt{10}+16\sqrt{10}}{4}=13$
所以$CE=\sqrt{13}$。
【答案】：B
9. 已知$m＞n＞0$,若关于x的方程$x^2+2x-3-m= 0的解为x_1,x_2(x_1＜x_2)$.关于x的方程$x^2+2x-3-n= 0的解为x_3,x_4(x_3＜x_4)$.下列结论中,正确的是(
A.$x_3＜x_1＜x_2＜x_4$
B.$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$
C.$x_1＜x_2＜x_3＜x_4$
D.$x_3＜x_4＜x_1＜x_2$
B
).A.$x_3＜x_1＜x_2＜x_4$
B.$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$
C.$x_1＜x_2＜x_3＜x_4$
D.$x_3＜x_4＜x_1＜x_2$
答案
解：对于方程$x^2 + 2x - 3 - m = 0$，由求根公式得：
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4(3 + m)}}{2} = -1 \pm \sqrt{4 + m}$
$\because x_1 ＜ x_2$，$\therefore x_1 = -1 - \sqrt{4 + m}$，$x_2 = -1 + \sqrt{4 + m}$
对于方程$x^2 + 2x - 3 - n = 0$，同理得：
$x = -1 \pm \sqrt{4 + n}$
$\because x_3 ＜ x_4$，$\therefore x_3 = -1 - \sqrt{4 + n}$，$x_4 = -1 + \sqrt{4 + n}$
$\because m ＞ n ＞ 0$，$\therefore \sqrt{4 + m} ＞ \sqrt{4 + n} ＞ 2$
$\therefore -1 - \sqrt{4 + m} ＜ -1 - \sqrt{4 + n} ＜ -1 + \sqrt{4 + n} ＜ -1 + \sqrt{4 + m}$，即$x_1 ＜ x_3 ＜ x_4 ＜ x_2$
答案：B
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4(3 + m)}}{2} = -1 \pm \sqrt{4 + m}$
$\because x_1 ＜ x_2$，$\therefore x_1 = -1 - \sqrt{4 + m}$，$x_2 = -1 + \sqrt{4 + m}$
对于方程$x^2 + 2x - 3 - n = 0$，同理得：
$x = -1 \pm \sqrt{4 + n}$
$\because x_3 ＜ x_4$，$\therefore x_3 = -1 - \sqrt{4 + n}$，$x_4 = -1 + \sqrt{4 + n}$
$\because m ＞ n ＞ 0$，$\therefore \sqrt{4 + m} ＞ \sqrt{4 + n} ＞ 2$
$\therefore -1 - \sqrt{4 + m} ＜ -1 - \sqrt{4 + n} ＜ -1 + \sqrt{4 + n} ＜ -1 + \sqrt{4 + m}$，即$x_1 ＜ x_3 ＜ x_4 ＜ x_2$
答案：B
10. 已知二次函数$y= ax^2+bx-3a$,函数图象向右平移3个单位后经过坐标原点,若$-4\leq x\leq0$时,函数值y有最大值5,则b的值为(
A.$-\frac{5}{2}$
B.1或$-\frac{5}{4}$
C.$-\frac{5}{2}$或2
D.2
C
).A.$-\frac{5}{2}$
B.1或$-\frac{5}{4}$
C.$-\frac{5}{2}$或2
D.2
答案
解：二次函数平移后解析式为$y=a(x-3)^2 + b(x-3) - 3a$，过原点$(0,0)$，代入得：
$0 = a(0-3)^2 + b(0-3) - 3a$，即$9a - 3b - 3a = 0$，化简得$6a - 3b = 0$，$\therefore b = 2a$。原函数为$y = ax^2 + 2ax - 3a = a(x^2 + 2x - 3) = a(x+1)^2 - 4a$，对称轴$x = -1$。
情况1：$a ＞ 0$
抛物线开口向上，在$-4 \leq x \leq 0$内，离对称轴越远函数值越大。$x = -4$离对称轴距离为$3$，$x = 0$离对称轴距离为$1$，$\therefore x = -4$时$y$最大。
$y_{max} = a(-4+1)^2 - 4a = 9a - 4a = 5a = 5$，解得$a = 1$，$\therefore b = 2a = 2$。
情况2：$a ＜ 0$
抛物线开口向下，在$-4 \leq x \leq 0$内，顶点$x = -1$处$y$最大。
$y_{max} = -4a = 5$，解得$a = -\frac{5}{4}$，$\therefore b = 2a = -\frac{5}{2}$。
综上，$b = 2$或$-\frac{5}{2}$。
答案：C
$0 = a(0-3)^2 + b(0-3) - 3a$，即$9a - 3b - 3a = 0$，化简得$6a - 3b = 0$，$\therefore b = 2a$。原函数为$y = ax^2 + 2ax - 3a = a(x^2 + 2x - 3) = a(x+1)^2 - 4a$，对称轴$x = -1$。
情况1：$a ＞ 0$
抛物线开口向上，在$-4 \leq x \leq 0$内，离对称轴越远函数值越大。$x = -4$离对称轴距离为$3$，$x = 0$离对称轴距离为$1$，$\therefore x = -4$时$y$最大。
$y_{max} = a(-4+1)^2 - 4a = 9a - 4a = 5a = 5$，解得$a = 1$，$\therefore b = 2a = 2$。
情况2：$a ＜ 0$
抛物线开口向下，在$-4 \leq x \leq 0$内，顶点$x = -1$处$y$最大。
$y_{max} = -4a = 5$，解得$a = -\frac{5}{4}$，$\therefore b = 2a = -\frac{5}{2}$。
综上，$b = 2$或$-\frac{5}{2}$。
答案：C
11. 已知正n边形的一个外角是$72^\circ$,则n=
5
.答案
【解析】：
本题主要考查正多边形的外角和性质。
根据正多边形的性质，所有外角之和为$360^\circ$。
题目中给出正n边形的一个外角是$72^\circ$，我们可以通过将总的外角和$360^\circ$除以一个外角的大小来求得边数n。
【答案】：
$n = \frac{360^\circ}{72^\circ} = 5$
故答案为：$5$。
本题主要考查正多边形的外角和性质。
根据正多边形的性质，所有外角之和为$360^\circ$。
题目中给出正n边形的一个外角是$72^\circ$，我们可以通过将总的外角和$360^\circ$除以一个外角的大小来求得边数n。
【答案】：
$n = \frac{360^\circ}{72^\circ} = 5$
故答案为：$5$。
12. 如图所示,AB与CD交于点O,连结AD和BC,要使$\triangle AOD\sim\triangle BOC$,请你添加一个条件:
$\angle A = \angle B$（答案不唯一）
.答案
【解析】：
本题考查了相似三角形的判定定理。
根据相似三角形的判定定理，如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似。
观察$\triangle AOD$和$\triangle BOC$，可以发现$\angle AOD = \angle BOC$（对顶角相等）。
因此，为了使$\triangle AOD \sim \triangle BOC$，只需要添加一个条件使得另一对角相等即可。
可以选择添加条件$\angle A = \angle B$（或者$\angle D = \angle C$，或者$\frac{AO}{BO} = \frac{DO}{CO}$，这几个条件都可以导致两个三角形相似）。
这里选择添加条件$\angle A = \angle B$作为答案。
【答案】：
$\angle A = \angle B$（答案不唯一）
本题考查了相似三角形的判定定理。
根据相似三角形的判定定理，如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似。
观察$\triangle AOD$和$\triangle BOC$，可以发现$\angle AOD = \angle BOC$（对顶角相等）。
因此，为了使$\triangle AOD \sim \triangle BOC$，只需要添加一个条件使得另一对角相等即可。
可以选择添加条件$\angle A = \angle B$（或者$\angle D = \angle C$，或者$\frac{AO}{BO} = \frac{DO}{CO}$，这几个条件都可以导致两个三角形相似）。
这里选择添加条件$\angle A = \angle B$作为答案。
【答案】：
$\angle A = \angle B$（答案不唯一）
13. 某汽车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)满足二次函数$y= 0.04x^2(x＞0)$,若该汽车某次的刹车距离为9 m,则开始刹车时它的速度为
15
m/s.答案
【解析】：
本题考查二次方程的建立与求解。
首先，根据题目描述，刹车距离y与开始刹车时的速度x之间满足二次函数关系 $y = 0.04x^2$。
题目给出刹车距离y为9m，需要求解的是开始刹车时的速度x。
将 $y = 9$ 代入二次函数 $y = 0.04x^2$，得到方程 $0.04x^2 = 9$。
接下来，需要解这个二次方程来找出x的值，题目未特别指明使用哪种方法解方程，因此可以使用直接开方法。
对方程 $0.04x^2 = 9$ 进行变形，得到 $x^2 = \frac{9}{0.04} = 225$。
对方程 $x^2 = 225$ 进行开方，由于 $x ＞ 0$（速度不能为负），得到 $x = \sqrt{225} = 15$（负值舍去）。
【答案】：
开始刹车时它的速度为 $15 m/s$。
本题考查二次方程的建立与求解。
首先，根据题目描述，刹车距离y与开始刹车时的速度x之间满足二次函数关系 $y = 0.04x^2$。
题目给出刹车距离y为9m，需要求解的是开始刹车时的速度x。
将 $y = 9$ 代入二次函数 $y = 0.04x^2$，得到方程 $0.04x^2 = 9$。
接下来，需要解这个二次方程来找出x的值，题目未特别指明使用哪种方法解方程，因此可以使用直接开方法。
对方程 $0.04x^2 = 9$ 进行变形，得到 $x^2 = \frac{9}{0.04} = 225$。
对方程 $x^2 = 225$ 进行开方，由于 $x ＞ 0$（速度不能为负），得到 $x = \sqrt{225} = 15$（负值舍去）。
【答案】：
开始刹车时它的速度为 $15 m/s$。
